第一章 集合与常用逻辑用语 重难点检测试卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语单元重难点，通过票房调查情境（填空14题）、条件开放设计（解答17题）等，分层考查子集、充分必要条件等核心知识，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合表示、孤立元、充分条件|基础概念辨析，如第2题“孤立元”定义应用| |多选题|3/18|集合运算、命题真假|多角度辨析，如第11题结合子集与补集关系| |填空题|3/15|集合元素个数、容斥原理|情境化应用，第14题用票房调查考容斥原理| |解答题|5/77|集合关系、逻辑条件|综合性探究，第17题三条件任选考参数范围|

第一章 集合与常用逻辑用语重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 3．已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 4．下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 5．集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 6．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 8．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．若，则 11．已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．设，，，，是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是______． 13．设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 14．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 16．（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 17．已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 18．已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 19．已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 2．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 3．已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得. 【详解】由，再由，得，. 由CB，根据集合C中的元素个数分3类： ①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个； ②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个； ③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个； 所以满足且C⫋B的集合的个数为个. 故选：D. 4．下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 5．集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 【答案】A 【详解】，故A正确； ，故B错误； 集合可以表示为，其中， 即集合可描述为形式，故C错误； 集合A有6个元素，子集总数为，故D错误． 6．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 7．下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【答案】D 【分析】根据反例可判断AB的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C的正误，就的奇偶性讨论后可判断D的正误. 【详解】对于A，可以被5整除的整数，但末尾数字是，故A错误； 对于B，为偶数且为素数，故B错误； 对于C，因为必有一个偶数，故必为偶数，故C错误； 对于D，若，则，故不是4的倍数， 若，则，因为4的倍数， 故不是4的倍数， 故任意一个整数n，都不是4的倍数，故D正确. 故选：D. 8．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 10．下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用元素与集合的关系判断A，利用相等集合的概念判断BC；利用集合相等，结合集合元素的互异性求解即可判断D. 【详解】对于A，不是的元素，，故A错误； 对于B，集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集， 集合表示为整数的数组成的集合，则， 即，也是偶数集，所以两个集合相等，故B正确； 对于C，集合，而集合，不是同一集合，故C错误． 对于D，由，由可知，所以， 则，所以，解得或， 由集合元素的互异性可知，所以.故D正确． 故选：BD 11．已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．设，，，，是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是______． 【答案】 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，并得到中元素个数至少4个，进而对元素的个数由小到大进行分类分析验证是否满足． 【详解】因为,， 所以元素个数为4，所以中元素个数至少个, ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故答案为：. 13．设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 【答案】8 【分析】先求，再根据，列举分析即可． 【详解】，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 14．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 【答案】120 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案． 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为:120. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 16．（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 17．已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 18．已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 【答案】(1)存在，； (2)存在，． 【分析】（1）直接根据充分条件的定义可得； （2）直接根据必要条件的定义可得. 【详解】（1）由，得. 若是的充分条件，则，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． （2）若是的必要条件，则，因，所以，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． 19．已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $