第一章 集合 综合训练试卷02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合章节限时训练卷，通过单选、多选、填空、解答题全面考查集合知识，含社团统计（应用意识）、闭集合新定义（抽象能力）等题，兼顾基础巩固与数学思维训练，适配新授课需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合关系、运算、子集个数|单选6题社团统计（应用），多选10题集合元素个数（推理）| |填空题|3/15|集合关系判断、参数取值|14题“闭集合”新定义（抽象）| |解答题|5/77|集合运算、参数范围|16题含整数元素的集合（推理与数学语言表达）|

第一章 集合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 4．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知实数集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 11．（25-26高一上·全国·期末）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 13．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 14．（25-26高一上·全国·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 16．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 17．（25-26高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 18．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 19．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 2．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 4．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知实数集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个集合中的元素完全相同，结合集合中元素的互异性来确定、的值，进而求出的值. 【详解】因为，所以集合与集合中的元素完全相同， 已知，，由于在两个集合中都有，那么就有两种情况： 情况一：， 情况二：， 求解情况一： 由，可得或， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去， 当时，将代入，得到，即，解得， 此时，，满足； 求解情况二： 由和，将代入中，得到，即，解得， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去这种情况； ​所以，，所以. 故选：A. 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 所以. 6．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，结合容斥原理，列式计算，即可求解. 【详解】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”， 根据题意，可得，， 参加社团的总人数为， 因为有10名学生同时参加了两个社团，且没有学生同时参加三个社团， 可得， 所以， 所以三个社团都不参加的学生人数为人. 故选：C 7．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用集合的文氏图表示意义即可得到判断. 【详解】    由图可得：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 10．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 11．（25-26高一上·全国·期末）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 【答案】2 【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 13．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 14．（25-26高一上·全国·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】①②④ 【分析】对于①， 通过举反例，即可判断；对于②， 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于③，通过举反例，说明其为有限集合即可；对于④， 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】 ①，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故①正确； ②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确； ③，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集， 故③错误； ④，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故④正确． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 16．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由元素与集合的关系得到，求解即可； （2），集合中有且仅有3个整数元素，得到，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 17．（25-26高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2). 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 18．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 19．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）当时，求出集合A，根据题意可知，据此求解； （2）若则，则和3为方程的两个解，由韦达定理求解即可； （3）由，求出所有可能满足题意的m，由此得到集合D，再根据集合中恰有2个元素求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， ， ∴，故或, 解得或. （2）若则, 和3为方程的两个解, 由韦达定理得，解得, 此时, 故. （3），所以， ①若， 当时,则，不满足，所以； 当时,则， 当时,即，此时，满足, 当时,即，此时，满足, ②若 当时，, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时，即，由，得， 由根与系数的关系得解得. 且符合题意，此时, 综上所述，实数的所有可能值构成的集合，而，易知， 当时，，因为集合中恰有2个元素，所以，解得； 当时,，因为集合中恰有2个元素，所以，此不等式无解， 综上所述：. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $