第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学复习讲义以思维导图统领“直线与圆的位置关系”知识体系，通过表格对比呈现直线与圆的三种位置关系及判定方法，分模块梳理切线性质与判定、三角形内切圆、正多边形与圆等核心内容，突出位置与数量关系转化、切线辅助线构造等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固概念，B组能力题综合切线与相似知识，C组拓展题结合动态几何培养创新意识。如切线证明典例引导学生用“连半径证垂直”培养逻辑推理，中考链接题强化几何直观，助力教师实施分层教学，学生自主复习有方向。

第三十章 直线与圆的位置关系 复习讲义 教学目标 1.类比点与圆的位置关系，理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），掌握从“位置”和“数量”两个维度（圆心到直线的距离d与半径r）刻画直线与圆位置关系的方法。 2.掌握切线的性质定理与判定定理，探索并证明切线长定理，掌握用尺规作图作圆的切线与三角形的内切圆的方法，并能进行相关的几何计算与证明。 3.通过测量计算与尺规作图，了解正多边形与圆的关系，掌握画正多边形的方法及其在图案设计等方面的应用，进一步体会类比、数形结合等数学思想，提升逻辑推理能力，养成用数学思维思考问题的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）理解直线与圆的三种位置关系，掌握用圆心到直线的距离 dd 与半径 rr 的数量关系进行判定与转化。 （2）掌握切线的性质定理与判定定理，探索并运用切线长定理，理解“连半径、作垂线”等辅助线在证明中的核心作用。 （3）掌握三角形的内切圆相关概念及尺规作图方法，了解正多边形与圆的关系及画正多边形的方法。 2.难点 （1）在动态变化或复杂图形中，利用分类讨论和数形结合思想，准确解决直线与圆相切时的多解问题及临界状态问题。 （2）综合运用切线性质、判定及相似、勾股定理等知识，灵活构造辅助线，进行复杂几何计算的逻辑推演与转化。 知识点01 直线与圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为r，点O到直线l的距离为d： 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与⊙O相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线。 直线l与⊙O相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点。 直线l与⊙O相离 直线与圆没有交点。 2．圆和圆的位置关系 (1)两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。 (2)两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 (3)两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。 (4)两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切；这个唯一的公共点叫做切点。 (5)两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 知识点02 圆的切线和切线长定理 1.切线长定理 （1）切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理 从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。圆心与这一点的连线平分切线的夹角。 2.弦切角定理 （1）弦切角的定义 顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 （2）弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。 知识点03 三角形的内切圆与圆的外切四边形 1.三角形的内切圆与内心 (1)三角形内切圆的定义 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 (2)三角形的内心 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 (3)直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为或。 (4)三角形的面积与内切圆半径的关系 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：。 2．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。 (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示。 (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示。 (4)垂心：是三角形三边高线的交点。 3.圆的外切四边形 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。 知识点04 正多边形与圆 1.正多边形的概念 各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。 2.圆的内接正多边形 把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 3.圆的内接正多边形的相关概念 （1）中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 （3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 （4）边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。 4.正多边形的有关计算 (1)正多边形的内角计算：正n边形的每个内角计算公式为。 (2)正多边形的中心角：正n边形的中心角度数为。 (3)正多边形的外角：正n边形的外角度数为。 (4)正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为。 (5)正多边形的周长和面积：边长为a的正n边形的周长为；面积为。 题型01 直线与圆、圆与圆的位置关系 【典例1】已知⊙O的面积为 ，若点0到直线的距离为 ，则直线与⊙O的位置关系是（      ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【典例2】已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【变式1】如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 【变式2】如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 【变式3】如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3． (1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴； (2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1． 【变式4】如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径． 【中考链接1】如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【中考链接2】矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是__________． 题型02 切线的性质与判定 【典例1】如图，为的直径，与相交于点，且点是线段的中点， 过点作，垂足为点，求证：直线是的切线． 【典例2】如图，在中，，于点D，E是AC上一点，以为直径的交于点F，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式1】已知AB是的直径，C，D是上AB同侧的两点，. （Ⅰ）如图①，若，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点C作的切线，交AB延长线于点E，若，求的大小． 【变式2】综合与探究 课堂上，老师和同学们一起探讨一道课本习题． 习题再现 (1)如图①，为的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，则与的数量关系为________； 习题变式 (2)善思小组对（1）中题目的条件和结论进行了置换，请你解答：如图①，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线； 拓展探究 (3)智慧小组对（1）中的题目进行了改编：如图②，是的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线交于点．的平分线交于点，交于点． ①若，求的度数； ②观察图形，直接写出图中与相等的一条线段． 【变式3】如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 【变式4】如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【变式5】课本再现： (1)如图①，是的两条切线，切点分别为．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由？ (2)知识应用：如图②，分别与相切于点，且，连接，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【中考链接1】如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【中考链接2】如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【中考链接3】如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 题型03 切线长定理与弦切角定理 【典例1】如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【变式1】如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【变式2】将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 【中考链接1】在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 题型04 三角形的内切圆与内心 【典例1】如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【典例2】如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【变式1】22．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【中考链接1】如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【中考链接2】如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________． 题型05 正多边形与圆 【典例1】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【典例2】如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【变式1】如图，正六边形的边长为2，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，则长________，当最大时，线段的长为________． 【中考链接1】如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【中考链接2】如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． A组·基础过关 1．如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 5．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 6．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 7．如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 9．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 10．如图，在中，． (1)若点O为的外心，求的度数； (2)若点I为的内心，求的度数． 11．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 13．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，的半径为2，将沿x轴向右平移4个单位长度得． (1)画出，并直接判断与的位置关系； (2)设与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧与弦围成的图形的面积（结果保留）． 15．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． B组·能力提升 16．如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 17．如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 18．如图，点A在半径为2的上，P是半径上一个动点（不与A重合），过P的直线与过A的的切线交于点B，且，设，的面积为，那么关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 19．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 20．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 21．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 22．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 23．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 24．等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． (1)求证：是的切线； (2)如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 25．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． C组·拓展延伸 26．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 27．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 28．如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 29．如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 30．探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $ 第三十章 直线与圆的位置关系 复习讲义 教学目标 1.类比点与圆的位置关系，理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），掌握从“位置”和“数量”两个维度（圆心到直线的距离d与半径r）刻画直线与圆位置关系的方法。 2.掌握切线的性质定理与判定定理，探索并证明切线长定理，掌握用尺规作图作圆的切线与三角形的内切圆的方法，并能进行相关的几何计算与证明。 3.通过测量计算与尺规作图，了解正多边形与圆的关系，掌握画正多边形的方法及其在图案设计等方面的应用，进一步体会类比、数形结合等数学思想，提升逻辑推理能力，养成用数学思维思考问题的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）理解直线与圆的三种位置关系，掌握用圆心到直线的距离 dd 与半径 rr 的数量关系进行判定与转化。 （2）掌握切线的性质定理与判定定理，探索并运用切线长定理，理解“连半径、作垂线”等辅助线在证明中的核心作用。 （3）掌握三角形的内切圆相关概念及尺规作图方法，了解正多边形与圆的关系及画正多边形的方法。 2.难点 （1）在动态变化或复杂图形中，利用分类讨论和数形结合思想，准确解决直线与圆相切时的多解问题及临界状态问题。 （2）综合运用切线性质、判定及相似、勾股定理等知识，灵活构造辅助线，进行复杂几何计算的逻辑推演与转化。 知识点01 直线与圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为r，点O到直线l的距离为d： 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与⊙O相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线。 直线l与⊙O相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点。 直线l与⊙O相离 直线与圆没有交点。 2．圆和圆的位置关系 (1)两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。 (2)两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 (3)两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。 (4)两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切；这个唯一的公共点叫做切点。 (5)两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 知识点02 圆的切线和切线长定理 1.切线长定理 （1）切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2）切线长定理 从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。圆心与这一点的连线平分切线的夹角。 2.弦切角定理 （1）弦切角的定义 顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 （2）弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。 知识点03 三角形的内切圆与圆的外切四边形 1.三角形的内切圆与内心 (1)三角形内切圆的定义 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 (2)三角形的内心 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 (3)直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为或。 (4)三角形的面积与内切圆半径的关系 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：。 2．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。 (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示。 (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示。 (4)垂心：是三角形三边高线的交点。 3.圆的外切四边形 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。 知识点04 正多边形与圆 1.正多边形的概念 各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。 2.圆的内接正多边形 把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 3.圆的内接正多边形的相关概念 （1）中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 （3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 （4）边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。 4.正多边形的有关计算 (1)正多边形的内角计算：正n边形的每个内角计算公式为。 (2)正多边形的中心角：正n边形的中心角度数为。 (3)正多边形的外角：正n边形的外角度数为。 (4)正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为。 (5)正多边形的周长和面积：边长为a的正n边形的周长为；面积为。 题型01 直线与圆、圆与圆的位置关系 【典例1】已知⊙O的面积为 ，若点0到直线的距离为 ，则直线与⊙O的位置关系是（      ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】求出圆的半径，然后利用半径和比较大小即可判断位置关系． 【详解】∵设⊙O 半径为r，则 ∴r=2 ∵ ∴直线和圆相离， 故选C． 【典例2】已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 【变式1】如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的值， 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，构建腰长为的等腰直角，和半径为的，发现在点的位置时，满足条件； 如图，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以、为圆心，以为半径画弧，与的交点就是满足条件的点，再以为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论取何值，以为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以为腰的三角形有两个即可． 【详解】解：分三种情况： 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，以为圆心，以为半径画圆，当与相切时，设切点为，与交于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当与重合时，即时，同理可知：点恰好有三个； 如图，取，以为圆心，为半径画圆， 则与除了外只有一个交点，此时，即以为顶角，为腰，符合条件的点有一个，以为圆心，以为半径画圆，与直线相离，说明此时以为顶角，以为腰，符合条件的点不存在，还有一个是以为底边的符合条件的点； 点沿运动，到时，发现与直线有一个交点； 当时，圆在移动过程中，则与除了外会有两个交点，满足点恰好有三个； 综上所述，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法，以及找到临界点． 【变式2】如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 【答案】(1) 证明：分别过作垂足分别为， 是的中点， ， 在和中 ， ， ， 根据题意可得 ， ∴， ∵， ∴． ∴． (2)2 【分析】（1）分别过作垂足分别为，由已知条件证，所以，进而可证明． （2）根据，得出，根据垂径定理得出，则，设，则，根据题意，在和中，根据勾股定理得，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 根据题意， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， 则． 【变式3】如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3． (1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴； (2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1． 【答案】(1)扇形面积S＝，阴影部分面积S＝﹣ (2)π 【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积； （2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算． 【详解】（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3， ∴S＝＝， ∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴S△OAB＝， ∴阴影部分的面积S阴＝﹣． （2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E， ∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°， 在Rt△OO1E中， ∵∠EOO1＝30°， ∴OO1＝2O1E， ∵OC=OO1+O1C，O1E=O1C， ∴O1E＝1， ∴⊙O1的半径O1E＝1． ∴S1＝πr2＝π． 【点睛】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径． 【变式4】如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，代入、的横坐标求出的值，得到、的坐标后，用交点式直接求出抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的坐标，再利用、两点求出直线的解析式，设出直线上点的坐标，结合轴得到抛物线上点的坐标，进而表示出的长度即的半径，接着分与轴相切、与轴相切两种情况，依据圆心到坐标轴的距离等于半径列绝对值方程，求解后舍去使为0的解，最终得到的半径． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和，对称轴为直线， ∴，解得． ∴， ∴；． 设抛物线解析式为； （2）解：由抛物线， 令，得，故． 设直线的解析式为， 代入、，得： ， 解得， 即直线的解析式为． 设点， ∵轴， ∴， ∴， 即的半径． ①当与轴相切时， ，即． 当时，，此时，舍去； 当时，，解得或， 对应或． ②当与轴相切时， 即，即． 当时，，舍去； 当时，，解得或， 对应或． 综上，的半径为或． 【中考链接1】如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】 ，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 【中考链接2】矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是__________． 【答案】6或或 【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，延长交的另一侧于点E，则此时是直角三角形，易得点到直线的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处， 可知点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动， 如图，延长交的另一侧于点E，则此时是直角三角形， 点到直线的距离为的长度，即，    当过点D的直线与圆相切与点E时，是直角三角形，分两种情况， ①如图，过点E作交于点H，交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， ②如图，过点E作交于点N，交于点M，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， 综上，6或或， 故答案为：6或或． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键． 题型02 切线的性质与判定 【典例1】如图，为的直径，与相交于点，且点是线段的中点， 过点作，垂足为点，求证：直线是的切线． 【答案】 证明：连接， 是的中点，是的中点， ， ， 直线是的切线 【分析】本题考查了切线的判定定理，准确作辅助线是解题的关键．连接，利用两个中点，证明出，从而利用平行线的性质证明出，从而得到，即可证明出直线是的切线． 【详解】略． 【典例2】如图，在中，，于点D，E是AC上一点，以为直径的交于点F，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴，即． 又∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． (1)由，于点D，得，而，根据三角形的中位线定理得，则，即可证明是的切线； (2)连接，由，得到，由垂直平分，得，由 是的直径，得，则，． 【详解】（1）证明：略； （2）连接， ∵，， ∴． ∵，，即垂直平分， ∴． 又∵是的直径， ∴． 中， 中， 【变式1】已知AB是的直径，C，D是上AB同侧的两点，. （Ⅰ）如图①，若，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点C作的切线，交AB延长线于点E，若，求的大小． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，从而求出的度数，再根据一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据等腰三角形的性质得出，继而根据角的和差以及等腰三角形的性质得出的度数． （Ⅱ）连接OC，根据切线的性质得出,再根据圆周角的性质定理得出,从而得出，然后根据平行线的性质和圆周角的性质定理得出的度数. 【详解】解：（Ⅰ）连接 是直径， ， . ， （II）连接OC 与相切， ， 在中， 【变式2】综合与探究 课堂上，老师和同学们一起探讨一道课本习题． 习题再现 (1)如图①，为的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，则与的数量关系为________； 习题变式 (2)善思小组对（1）中题目的条件和结论进行了置换，请你解答：如图①，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线； 拓展探究 (3)智慧小组对（1）中的题目进行了改编：如图②，是的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线交于点．的平分线交于点，交于点． ①若，求的度数； ②观察图形，直接写出图中与相等的一条线段． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； (3)①；② 【分析】（1）连接，由切线性质及已知条件，结合平行线的判定与性质得到，在中由半径相等得到，等量代换即可确定与的数量关系； （2）连接，在中由半径相等得到，再由角平分线定义得到，等量代换得出，进而判定，再由平行线的性质及判定，从而由切线的判定即可得证； （3）①连接，由切线性质及已知条件，结合平行线的判定与性质得到，在中由半径相等判定是等边三角形，由等边三角形性质及切线性质，数形结合表示出，代入角度计算即可； ②先由切线性质、直径所对的圆周角是直角得到，，再由圆的半径相等得到，确定、然后由外角性质及已知得到、，再由角平分线定义得到，即可得到，最后由等角对等边即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 为的切线，切点为点， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：①连接，如图所示： 为的切线，切点为点， ，则， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； ② 为的切线，切点为点， ，则， ， 是的直径， ，则， ， ， ，， ， 是的一个外角， ， 平分， ， ， ，则． 【变式3】如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【分析】先求出为直角三角形，且，由圆周角定理可得是圆的直径，设的中点为，圆与边的切点为，连接、、，则，、为圆的半径，从而得出，由，并结合垂线段最短可得，当时，的值最小，最后利用三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴是圆的直径，， 设的中点为，圆与边的切点为，连接、、， 则，、为圆的半径， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值是． 【变式4】如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1) 解：四边形为菱形，理由如下： 连接， ， ， 为劣弧的中点， ，， ， 又， ， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形为菱形； (2) 证明：方法：， ， ， ， 在中，， ， 又与圆相切于点， ， ， 又， ； 方法：连接并延长交圆于点，连接， 为圆的直径， ， 又， ， 直线与圆相切于点， ， ． 【分析】（1）利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合为劣弧中点的条件，证明和为等边三角形，进而判定四边形的形状； （2）方法：利用切线性质得到，结合圆周角定理与等腰三角形性质，通过角的计算进行等量代换，证明； 方法：构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合同弧所对圆周角相等，通过角的互余关系完成等量代换，证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5】课本再现： (1)如图①，是的两条切线，切点分别为．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由？ (2)知识应用：如图②，分别与相切于点，且，连接，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【答案】(1)解：；；理由如下： 如图①，连接和． 和是的两条切线， ， ∵， ， ． (2) 证明：根据解析（1）可得：， 同理可得：， ， ∴， ， ， ， ∴， ， 经过半径的外端点M， 是的切线． 【分析】（1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）根据题意求证，即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【中考链接1】如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 【中考链接2】如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【详解】（1）略 （2）略 【中考链接3】如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 题型03 切线长定理与弦切角定理 【典例1】如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 【变式1】如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 【变式2】将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 【答案】 【分析】设钟表的圆心为，连接，利用切线性质和切线长定理求出，，再在中求解即可． 【详解】解：如图，设钟表的圆心为，连接， ∵A，B所对应的钟表刻度分别是8，4， ∴ ， ∵和均为的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即圆形钟表的半径为． 【中考链接1】在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 题型04 三角形的内切圆与内心 【典例1】如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 【典例2】如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】22．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 【中考链接1】如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 25．如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________． 【答案】/度 【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与分别相切于点，， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∴， 故答案为：．    题型05 正多边形与圆 【典例1】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 【典例2】如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，正六边形的边长为2，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，则长________，当最大时，线段的长为________． 【答案】 【分析】连接、交于点，由题意可得点为正六边形的对称中心，且中心角为，，从而得出和均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，进而求得的长，由题意可得，由对称性可得，直线必过对称中心，证明点在以为直径的上，结合是定线段，得出当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵六边形为正六边形， ∴点为正六边形的对称中心，且中心角为，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵是定线段， ∴当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且， ∴， ∴， 【中考链接1】如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴，故答案为：． 【中考链接2】如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． A组·基础过关 1．如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 2．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 3．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 5．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 6．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 7．如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 8．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 9．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 10．如图，在中，． (1)若点O为的外心，求的度数； (2)若点I为的内心，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解∶点O为的外心， 由圆周角定理得． ， ． （2）解：为的内心， ，． ， ． ，即， ． 11．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情况的半径即可得到r的取值范围． 【详解】解：∵半径为4，两圆圆心距， 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当时，两圆相交，有两个公共点，符合要求； ∴与有公共点时，的半径r的取值范围是． 12．若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】9 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 13．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，的半径为2，将沿x轴向右平移4个单位长度得． (1)画出，并直接判断与的位置关系； (2)设与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧与弦围成的图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)与外切 (2) 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，求扇形面积： （1）根据圆与圆的位置关系解答即可； （2）根据劣弧与弦围成的图形的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵的半径为2，将沿x轴向右平移4个单位长度得， ∴，的半径为2， ∵， ∴与外切； （2）解：根据题意得：， ∴， ∵． ∴劣弧与弦围成的图形的面积为． 15．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 【答案】当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法． 判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． ． ①当与相离时，有，即，解得． 又点O在上（不与点重合），，； ②当与相切时，有，即，解得； ③当与相交时，有，即，解得． 又． 综上所述，当与相离时，； 当与相切时，； 当与相交时，． B组·能力提升 16．如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点在外，点在外， 故选项A正确；选项B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴、是的中位线， ∴，， ∴与相切，与相交， 故选项C、D正确． 故选：B． 17．如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 根据三角形外心的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接 ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 18．如图，点A在半径为2的上，P是半径上一个动点（不与A重合），过P的直线与过A的的切线交于点B，且，设，的面积为，那么关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线的性质得出，在中用表示出的长，根据三角形面积公式列出与的函数关系式，根据二次函数的性质及自变量取值范围判断图象． 【详解】解：是的切线， ，即， ，， ， 在Rt中，， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线 是半径上一个动点（不与重合）， ， 当时，，随的增大而减小． 故选项D的图象符合题意． 19．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 20．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由切线长定理可得，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 21．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】先根据切线性质得到的半径，再用勾股定理计算两圆圆心距，结合点B在内和两圆相交的条件得到r的取值范围，最终选出符合范围的选项． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 22．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 23．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 24．等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． (1)求证：是的切线； (2)如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 25．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)， 证明如下：连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3） 略 C组·拓展延伸 26．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，交于点，连接，求得的长度即可求得的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， ， 在中，， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 若线段与有2个交点，则， 即， ， x的值可能是， 故选：C． 27．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 28．如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 【答案】C 【分析】令的圆心为点，连接，根据切线长定理证明，得出，得出，确定当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：如图，令的圆心为点，连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积最大，最大值为， 即面积的最大值是． 29．如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 证明：在正方形中，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． (3) 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理(圆周角等于对应圆心角的一半)、圆周角定理的推论、切线的判定定理、全等三角形的判定()与性质等知识． （1）先利用圆内接正方形的性质得到圆心角；再根据圆周角定理，直接计算出的度数； （2）先结合与得到，可推出；又因为是的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明是的切线； （3）延长至，使，连接；利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据判定定理可证；由全等三角形的性质得、，进而推出，即是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形斜边与直角边的关系，可算出；再根据直径所对的圆周角，在中，设，则，结合，利用勾股定理列方程，解得或；最后结合在劣弧上的位置特征，以及正方形边长(由对角线推导)，可知，排除，最终确定． 【详解】（1）解：，∵内接正方形 ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，延长至，使，连接，则． 四边形是正方形， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则． 为的直径， ， 在Rt中，， 即，解得， ， 等腰中，， 是的劣弧上的任意一点， ， ． 30．探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】(1)A (2)A (3) (4) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了勾股定理的运用，掌握圆的性质是做题的关键． （1）根据圆的性质得到相关结论． （2）根据三角形内切圆的定义得到三角形内切圆的圆心是三角形的内心． （3）利用三角形的内切圆半径公式分别表示出 和 的内切圆半径，进而求解 的长． （4）根据三角形内切圆的性质求解． 【详解】（1）原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的． （2）三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的． （3）已知在直角三角形 中， ， ， ， 则 ， 设 ，则 ， 由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为， 因为，所以， 由题意知 的面积为， 的半周长， 其内切圆半径为，即， 令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此． （4）对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误． 对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确． 对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确． 对于选项D，如图所示： 两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED 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