专题30.3 正多边形和圆（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦正多边形和圆的核心知识点，系统梳理正多边形的概念、与圆的关系（内接、外切）、相关计算（中心角、内角、半径、边心距）、性质（对称性、相似性）、画法（量角器、尺规）及实际应用（镶嵌、割圆术），通过知识框架图构建从基础到应用的完整学习支架。 该资料以知识结构化设计为亮点，结合“即学即练”“典例变式”“中考链接”分层培养数学思维与推理能力，融入“割圆术”“镶嵌问题”等实例发展数学眼光与应用意识。课中助力教师系统授课，课后通过A、B、C组分层练习帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题30.3 正多边形和圆 教学目标 1.掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各元素。 2.掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟练应用。 3.掌握正多边形的画法；能够熟练的画出正多边形。 教学重难点 1.重点 （1）正多边形及其相关概念； （2）正多边形的有关计算及实际应用； （3）正多边形的画法。 2.难点 （1）利用正多边形计算相关计算； （2）正多边形在计算时对隐藏条件的应用。 知识点01 正多边形的相关概念及计算 1.正多边形的概念 相等， 也相等的多边形是正多边形。 2.判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件 (1)各边相等； (2)各角相等；缺一不可。 如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形)。 3.正多边形与圆的关系 (1)内接正多边形：把圆分成相等的一些弧，依次连接各分点，得到的多边形是这个圆的内接正多边形。这个圆是该正多边形的 。 (2)外切正多边形：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。这个圆是该正多边形的 。 4.正多边形的核心要素 以圆内接正多边形为例，如图。 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 。 (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 。 (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ；正n边形的中心角度数为 。 (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。 5.正多边形的相关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ； (3)正ｎ边形每个外角的度数是 。 重要关系：正n边形的中心角与外角的大小相等，均为 。 【即学即练】 1．已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 2．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 3．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（ ） A． B． C． D． 4．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 5．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 7．如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（    ） A． B． C． D． 8．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 9．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是_____； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____． 知识点02 正多边形的性质 1.正多边形都 外接圆，圆有 个内接正多边形。 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 个全等的直角三角形。 3.正多边形都是 图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心； 当边数是偶数时，它也是 图形，它的 就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有 外接圆和 内切圆，这两个圆是 。 【即学即练】 10．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 11．中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（   ） A． B． C． D． 知识点03 正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 ；根据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。 ①正四、八边形 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分。 【即学即练】 12．使用量角器画出圆的内接正九边形． 13．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 知识点04 正多边形的实际应用与拓展 1.生活应用 （1）六角螺帽（螺母）、八角宝塔（如延安宝塔）、五角星、齿轮。 （2）亭子基座、圆形铁片截正方形、篱笆围场地（最大面积问题：周长相等的正多边形，边数越多 ，圆面积最大）。 2.图案设计与平面镶嵌 （1）镶嵌条件 用多边形镶嵌平面，必须满足：共顶点的各多边形的内角之和等于 。 （2）单一正多边形的镶嵌 只有三种正多边形能单独镶嵌平面：正三角形（内角）、正方形（内角）、正六边形（内角）。 原因：这些内角度数均可以整除。 （3）组合镶嵌 如果用多种正多边形进行组合，能够镶嵌的组合形式有很多（如利用正方形与正八边形、正三角形与正六边形等组合镶嵌）。 据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。 【即学即练】 14．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 15．小斌家买了一套新房正在进行装修，星期天小斌陪父母一起到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设客厅地面（需无缝），则购买的瓷砖形状不可以是（　　） A．三角形地砖 B．正方形地砖 C．正六边形地砖 D．正五边形地砖 16．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（ ） A．正四边形和正五边形 B．正四边形和正六边形 C．正四边形和正七边形 D．正四边形和正八边形 题型01 正多边形的相关计算 【典例1】北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为___________． 【典例2】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【典例3】如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（    ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查正多边形中心角/内角/外角互求及利用圆周角反求边数，重点考察半径、边心距、半边长在直角三角形中的勾股计算。 （2）核心方法：核心为熟记中心角=360°/n，将正多边形分割为n个等腰三角形，结合30°/60°特殊角比例关系求值。 【变式1】如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式2】正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【中考链接1】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【中考链接3】如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 题型02 正多边形与圆的综合 【典例1】如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【典例2】作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【典例3】如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（ ） A． B． C． D．没有确定值 （1）考查方向：考查内接/外切多边形的转化、组合图形不规则阴影面积、弧长及尺规作图原理。 （2）核心方法：连接圆心构建中心三角形，运用扇形面积“割补法”（扇形±三角形）求解阴影，并熟记等分圆周（正六边边长为半径、正方形垂直平分线）的尺规构造逻辑。 【变式1】如图所示，正六边形为一个机械零件的截面图，已测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为__________． 【变式3】如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，的长度为________，曲线的长度是________ 【变式4】用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【中考链接1】我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【中考链接3】如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型03 正多边形的实际应用 【典例1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【典例2】如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为，中心大圆周长为，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【典例3】在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖_______块． （1）考查方向：考查工程建筑（基座/螺帽）建模、铺砖镶嵌数量计算及“割圆术”（正多边形面积逼近圆面积）相关估算。 （2）核心方法：抽象几何建模并利用顶角和或面积比算铺砖，处理组合图案时运用对称性，采用“整体面积减去空白面积”或面积分割法进行计算。 【变式1】南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【变式2】平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【中考链接1】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【中考链接2】如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个． 【中考链接3】图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形． （1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ． A组·基础过关 1．如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．半径为的圆内接正六边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 5．如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． B组·能力提升 6．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 10．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． C组·拓展延伸 11．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 13．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 14．如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 15．【给出问题】如图1，正方形内接于 ，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于 ，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.3 正多边形和圆 教学目标 1.掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各元素。 2.掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟练应用。 3.掌握正多边形的画法；能够熟练的画出正多边形。 教学重难点 1.重点 （1）正多边形及其相关概念； （2）正多边形的有关计算及实际应用； （3）正多边形的画法。 2.难点 （1）利用正多边形计算相关计算； （2）正多边形在计算时对隐藏条件的应用。 知识点01 正多边形的相关概念及计算 1.正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2.判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件 (1)各边相等； (2)各角相等；缺一不可。 如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形)。 3.正多边形与圆的关系 (1)内接正多边形：把圆分成相等的一些弧，依次连接各分点，得到的多边形是这个圆的内接正多边形。这个圆是该正多边形的外接圆。 (2)外切正多边形：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。这个圆是该正多边形的内切圆。 4.正多边形的核心要素 以圆内接正多边形为例，如图。 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；正n边形的中心角度数为 。 (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 5.正多边形的相关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是 。 重要关系：正n边形的中心角与外角的大小相等，均为 。 【即学即练】 1．已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【分析】先根据正多边形中心角和为求出正多边形边数，再结合正多边形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 2．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【答案】十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 3．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 4．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 5．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为，∴， ∴外接圆的面积． 6．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 7．如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴， 解得． 8．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 9．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是_____； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____． 【答案】 14 21 【详解】【分析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC=2x，先表示中间正多边形的边数：外角为180°﹣2x，根据外角和可得边数=，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论． 【详解】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14； 设∠BPC=2x， ∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：， 以∠APB为内角的正多边形的边数为：， ∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6， 根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°， 当x越小时，周长越大， ∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标， 则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21， 故答案为14，21． 【点睛】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题． 知识点02 正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心； 当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 【即学即练】 10．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正多边形定义和性质，中心对称和中心对称图形的定义和性质，是解题的关键．每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么这个两个图形叫做成中心对称； 根据正多边形的定义和性质，中心对称的定义和性质，中心对称图形的定义和性质，对各个选项一一判断即可得出答案. 【详解】A．正多边形不一定是中心对称图形． 正确，正奇边形绕着中心点旋转后，不能与原来的图形重合， ∴正多边形不一定是中心对称图形， 故本选项正确； B．中心对称图形一定是正多边形． 错误，平行四边形是中心对称图形，不是正多边形， ∴中心对称图形不一定是正多边形， 故本选项错误； C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． 正确，经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线，将该中心对称图形分成的两个图形，绕对称中心转后，互相重合， 故本选项正确； D．关于中心对称的两个图形是全等形． 正确，成中心对称的两个图形，绕着对称中心旋转后互相重合， 故本选项正确． 故选：B． 11．中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，证明为等边三角形，设，根据勾股定理得出，求出，则黑色部分的面积为，求出，即可得出答案． 【详解】解：设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴黑色部分的面积为， ∵， ∴图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是： ， 故选：A． 知识点03 正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。 ①正四、八边形 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分。 【即学即练】 12．使用量角器画出圆的内接正九边形． 【答案】 【分析】先用量角器在圆心画出圆心角为的九个圆心角，再顺次连接，即可得出圆的内接正九边形． 【详解】略 13．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1) 正六边形如图所示， (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 平方米． 知识点04 正多边形的实际应用与拓展 1.生活应用 （1）六角螺帽（螺母）、八角宝塔（如延安宝塔）、五角星、齿轮。 （2）亭子基座、圆形铁片截正方形、篱笆围场地（最大面积问题：周长相等的正多边形，边数越多面积越大，圆面积最大）。 2.图案设计与平面镶嵌 （1）镶嵌条件 用多边形镶嵌平面，必须满足：共顶点的各多边形的内角之和等于。 （2）单一正多边形的镶嵌 只有三种正多边形能单独镶嵌平面：正三角形（内角）、正方形（内角）、正六边形（内角）。 原因：这些内角度数均可以整除。 （3）组合镶嵌 如果用多种正多边形进行组合，能够镶嵌的组合形式有很多（如利用正方形与正八边形、正三角形与正六边形等组合镶嵌）。 据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。 【即学即练】 14．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 15．小斌家买了一套新房正在进行装修，星期天小斌陪父母一起到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设客厅地面（需无缝），则购买的瓷砖形状不可以是（　　） A．三角形地砖 B．正方形地砖 C．正六边形地砖 D．正五边形地砖 【答案】D 【详解】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能用来铺设无缝地板； B、正方形的每个内角是90°，能整除360°，能用来铺设无缝地板； C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能用来铺设无缝地板； D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能用来铺设无缝地板； 故选D． 16．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（ ） A．正四边形和正五边形 B．正四边形和正六边形 C．正四边形和正七边形 D．正四边形和正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角，利用它们的和为360度即可求解． 【详解】解：A. 正四边形的每一个内角为，正五边形的每一个内角为，不能拼成，不符合题意； B. 正四边形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，不能拼成，不符合题意； C. 正四边形的每一个内角为，正七边形的每一个内角为，不能拼成，不符合题意； D. 正四边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，能拼成，符合题意；故选：D． 题型01 正多边形的相关计算 【典例1】北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例2】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 【典例3】如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵如图所示的风车为正五边形， ∴中心角的度数为：， ∴当旋转角度为的倍数时，如图所示的风车能与自身重合， 故旋转角至少为， 故选：． （1）考查方向：考查正多边形中心角/内角/外角互求及利用圆周角反求边数，重点考察半径、边心距、半边长在直角三角形中的勾股计算。 （2）核心方法：核心为熟记中心角=360°/n，将正多边形分割为n个等腰三角形，结合30°/60°特殊角比例关系求值。 【变式1】如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 【变式2】正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆综合，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边，根据该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，得到，利用勾股定理可推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可求出的度数，再求出该正多边形的边数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边， 过点O作于C，连接， ∴， ∵该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为， ∴正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴该正多边形的边数为，即该正多边形为正方形， ∴该正多边形的内角和为360度，故选：B． 【中考链接1】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：    ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 【中考链接2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 【中考链接3】如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 题型02 正多边形与圆的综合 【典例1】如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 【典例2】作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【典例3】如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（ ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． （1）考查方向：考查内接/外切多边形的转化、组合图形不规则阴影面积、弧长及尺规作图原理。 （2）核心方法：连接圆心构建中心三角形，运用扇形面积“割补法”（扇形±三角形）求解阴影，并熟记等分圆周（正六边边长为半径、正方形垂直平分线）的尺规构造逻辑。 【变式1】如图所示，正六边形为一个机械零件的截面图，已测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由六边形是正六边形， 可得，，即得，得到，即得到，再利用勾股定理可得，再根据四边形是菱形即可求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理可得，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积为． 【变式2】如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据正九边形的性质求出内角的度数，再根据切线的性质得到，由三四边形的内角和是求出的度数，由周角的定义以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 正九边形的两条邻边分别与相切于点、， ， 又正九边形的一个内角， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，的长度为________，曲线的长度是________ 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的外角性质与弧长公式，灵活运用弧长公式是解题的关键．根据正六边形的每个外角为，可确定每段弧的圆心角；再依次确定各段弧的半径，进而求出曲线的长度． 【详解】解：正六边形的每个外角为，的圆心是，半径，圆心角，根据弧长公式； 同理得，， ， ， ， ， 曲线的长度是， 故答案为：；． 【变式4】用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 【中考链接1】我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 【中考链接2】如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【中考链接3】如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 题型03 正多边形的实际应用 【典例1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】得到圆的内接正十二边形的圆心角为 ，根据三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为 ， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 【典例2】如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为，中心大圆周长为，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角，圆的周长，弧长公式，熟练掌握相关的公式是解题的关键； 连接，，证得是等边三角形，进而求解； 【详解】解：如图，连接，，    设圆的半径为，则圆的周长为， 内部的六边形是的内接正六边形， ， ， 是等边三角形， ， 半圆弧的长为， ， ，故选：C 【典例3】在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖_______块． 【答案】2400． 【分析】先求出边长为10m的正六边形的面积，边长为50cm的正三角形的面积，继而可得需要瓷砖的数量． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为10m，高为5m， ∴正六边形的面积为6××10×5=150m2， 同理可得边长为50cm的正三角形的面积为××=m2， ∴150÷=2400．故答案为2400． （1）考查方向：考查工程建筑（基座/螺帽）建模、铺砖镶嵌数量计算及“割圆术”（正多边形面积逼近圆面积）相关估算。 （2）核心方法：抽象几何建模并利用顶角和或面积比算铺砖，处理组合图案时运用对称性，采用“整体面积减去空白面积”或面积分割法进行计算。 【变式1】南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【答案】/ 【分析】利用圆面积公式，根据已知半径求出圆的面积，把圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，通过正十二边形中心角求出为等边三角形，得到相关边长和高，求出单个等腰三角形面积，乘以12得到正十二边形面积，用圆的面积减去正十二边形的面积，得出面积差． 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 【变式2】平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，则，根据计算求解即可． 【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    【变式3】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 【中考链接1】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 【中考链接2】如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个． 【答案】10 【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10．    【中考链接3】图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形． （1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ． 【答案】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求； （2）． 【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求； （2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD的度数，得到的长，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOD=×3=135°， ∵OA=5，∴的长==， 设这个圆锥底面圆的半径为R， ∴2πR=， ∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为． 故答案为． A组·基础过关 1．如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】设正多边形的边数为，计算出正多边形内角和中心角，根据数量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 2．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ．故选：C． 3．半径为的圆内接正六边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆内接正六边形可以分割为6个全等的等边三角形，且等边三角形的边长等于圆的半径，先计算单个等边三角形面积，再乘以6即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径，已知外接圆半径为， ∴正六边形的边长为，正六边形可被中心与各顶点的连线分为6个全等的边长为的等边三角形． 对单个等边三角形，由勾股定理得高， ∴单个等边三角形的面积， ∴正六边形的面积． 4．如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 【答案】 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是， 是正五边形的外接圆，半径为， ， 解得， 这个圆锥底面圆的半径是， 故答案为：． 5．如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． B组·能力提升 6．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 7．如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 8．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 9．如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可得，由图形可知阴影部分6条圆心角为的弧围成，由此求解即可． 【详解】解：如下图， ∵六边形为正六边形，且边长为1， ∴，， ∴阴影部分的周长和． 10．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． C组·拓展延伸 11．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 12．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 13．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和. 【详解】如图： ∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为， ∴半径之比为， 设AB是正多边形的一边，OC⊥AB， ， 在直角△AOC中，， ∴∠AOC=30°， ∴∠AOB=60°， 则正多边形边数是：， ∴多边形的内角和为：， 故选：A． 14．如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设含的直角三角形中所对直角边长为，则另一个直角边，， ∴，且， ∴是等边三角形，则， 同理，， 是等边三角形，， ∴， ∴大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 ． 15．【给出问题】如图1，正方形内接于 ，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于 ，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【答案】 [给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考]  ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 【分析】[给出问题] 证明，即可得到； [深入思考]过点作交于点，取圆心，连接，，证明，进而根据全等三角形的性质，勾股定理，即可求解． [拓展应用]以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，根据圆周角定理可得在上，进而通过勾股定理求出的长度，从而得出矩形的面积． 【详解】[给出问题]略 [深入思考]略 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $