专题03 圆和圆的位置关系（弦长、切线） （高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆与圆位置关系的系统训练，通过五种题型构建从公共弦到公切线的完整知识链，强化几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交圆的公共弦方程|5题|以两圆方程为已知，求解公共弦直线方程|通过两圆方程相减推导公共弦方程，体现方程思想与几何直观的结合| |两圆的公共弦长|6题|已知圆方程或参数求公共弦长，含参数计算|基于弦长公式，结合圆心距与半径关系，培养运算能力与推理意识| |两圆的公切线条数|8题|判断不同位置关系下公切线条数，含最值问题|通过圆心距与半径和差关系判断位置，发展空间观念与逻辑推理| |两圆的公切线方程|4题|求解公切线方程，含轨迹与位置关系综合|结合点到直线距离公式，强化模型意识与数学表达能力| |两圆的公切线长|4题|计算公切线长度，含对称与四边形面积综合|利用勾股定理推导切线长公式，提升综合应用与创新意识|

专题03 圆和圆的位置关系（弦长、切线） 题型一 相交圆的公共弦方程 题型二 两圆的公共弦长 题型三两圆的公切线条数 题型四 两圆的公切线方程 题型五 两圆的公切线长 题型一：相交圆的公共弦方程 1．两圆与公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．两圆（x-1）2+y2=2与x2+（y-2）2=4的公共弦所在直线的方程是（　　） A． B． C． D． 3．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，，则（   ） A．时，和外离 B．时，和有三条公切线 C．若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D．若和相交且公共弦长为，则 5．已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 题型二 两圆的公共弦长 1．已知圆与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 3．若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（　　） A．实数的取值范围为 B．当时，两圆的公共弦长 C．当时， D．若，则 5．圆与圆的公共弦的长为___________． 6．圆：与圆：的公共弦长为________. 题型三两圆的公切线条数 1．已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 2．若圆：与圆：恰有三条切线，则的最大值为 A． B．-3 C．3 D． 3．已知两点，到直线的距离分别为1，4，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 7．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 8．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型四 两圆的公切线方程 1．已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 2．已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 3．写出与圆和圆都相切的一条切线方程______. 4．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 题型五 两圆的公切线长 1．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 2．圆与圆的公切线长为______. 3．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 4．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆和圆的位置关系（弦长、切线） 题型一 相交圆的公共弦方程 题型二 两圆的公共弦长 题型三两圆的公切线条数 题型四 两圆的公切线方程 题型五 两圆的公切线长 题型一：相交圆的公共弦方程 1．两圆与公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两圆方程相减即得公共弦所在的直线方程. 【详解】因为两圆与， 所以两圆方程相减得 故选：D 【点睛】本题考查两圆公共弦方程，考查基本求解能力，属基础题. 2．两圆（x-1）2+y2=2与x2+（y-2）2=4的公共弦所在直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把两个圆化为一般式，根据性质，两个圆方程相减即可得到公共弦所在的直线方程． 【详解】将两个圆的标准方程分别化为一般式为 ， 两式相减得 所以选A 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及相交弦所在直线方程的求法，属于基础题． 3．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，联立两圆方程消去二次项即得所求方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即两圆相交， 所以直线的方程为，即. 故选：B 4．已知圆，，则（   ） A．时，和外离 B．时，和有三条公切线 C．若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D．若和相交且公共弦长为，则 【答案】ABC 【分析】根据圆心间距离及与半径和及半径差的关系判断圆与圆的位置关系及圆与圆的公切线判断A，B，根据两圆的相交关系，结合圆的方程求相交弦方程判断C，由相交弦与圆的半径及弦心距的几何关系求弦长判断D. 【详解】A：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外离，A选项正确， B：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外切，和有三条公切线，B选项正确， C：由两圆方程相减可得，即为公共弦所在直线方程， 若和相交且公共弦所在直线方程为，则，所以，C正确； D：由知：到的距离为， 而圆的半径，所以，则，D错误； 故选：ABC. 5．已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答. （2）设出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离，借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】（1）因为圆与直线相切于点 所以过点与直线垂直的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 由，解得圆心.所以半径. 故圆的标准方程为：； （2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：， 即，所以圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得. 此时直线的方程为. ②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径， 弦长为，符合题意. 综上，直线的方程为或.    题型二 两圆的公共弦长 1．已知圆与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】两圆相减先求出公共弦方程，再设出圆心到直线的距离并结合弦长公式得到在直线上，最后将代入直线方程求解出即可. 【详解】由题意得圆，圆， 两圆相减可得， 故直线的方程为，由题意得， 设到直线的距离为，由弦长公式得， 解得，则在直线上，可得，解得，故C正确. 故选：C 2．圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求公共弦长. 【详解】设圆，圆， 圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径； 则，即，可知两圆相交， 用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长是. 故选：D. 3．若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由两圆方程相减得公共弦的方程为，再根据弦长求解即可. 【详解】当时，两圆是同心圆，没有公共弦，故， 已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为，即， 所以可得：圆心到直线的距离， 又因为两圆的公共弦长为，所以，解得. 故选：B. 4．已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（　　） A．实数的取值范围为 B．当时，两圆的公共弦长 C．当时， D．若，则 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系可判断A；根据公共弦方程以及弦长公式可判断B；根据公共弦方程，弦长公式以及面积公式可判断C；根据公共弦方程以及两三角形有公共底边得出可判断D. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，配方得， 圆心，半径， 两圆相交，圆心距离，满足， 即， 解不等式，故A错误； 当时，圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长，故B正确； 当时，圆圆心，半径， 两圆方程相减得公共弦方程为, 圆心到直线的距离， 所以公共弦长， ，故C正确； 两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 因为且两三角形有公共底， 所以，即，解得或，故D错误. 故选：BC 5．圆与圆的公共弦的长为___________． 【答案】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，判断两圆相交，得出两个圆公共弦所在直线方程，计算圆心到直线的距离，利用几何法求出弦长即可. 【详解】由圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径为， 所以圆心距为：， 由， 即， 所以圆与圆相交，联立， 相减得两个圆公共弦所在直线方程为：， 由圆心到直线的距离为：， 所以所求弦长为：， 故答案为：. 6．圆：与圆：的公共弦长为________. 【答案】 【分析】两圆作差得到公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】已知圆：，圆：，两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离，圆的半径为， 所以公共弦长为. 故答案为： 题型三两圆的公切线条数 1．已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值． 【详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，， 圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，， ， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为9． 故选：． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点． 2．若圆：与圆：恰有三条切线，则的最大值为 A． B．-3 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系，求得，再结合三角函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，圆，可化为， 可得圆心，半径为， 圆可化为， 可得圆心，半径， 又由圆恰有三条切线，所以两圆相外切，即， 可得，即， 设，则， 当时，取得最大值，此时最大值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，以及最值问题的求解，其中解答中熟练应用圆与圆的位置关系，合理利用三角换元求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 3．已知两点，到直线的距离分别为1，4，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得，可确定两圆外切，由此得到公切线为条. 【详解】由题意得： 以为圆心，半径为的圆与以为圆心，半径为的圆相外切 满足条件的直线为两个圆的公切线，共有条 故选 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想. 4．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解. 【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆， 到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 则所求直线即为两圆的公切线， 因为，且， 可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条. 故选：D. 5．已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】求出两圆的位置关系，再根据位置关系判断即可． 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 又，故， 得两圆外切，所以两圆的公切线条数为3． 故选：B． 6．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 7．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 8．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 题型四 两圆的公切线方程 1．已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 【答案】AC 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，判断直线与两圆的位置关系，可判断C选项；对于D，求出两圆的公共弦长，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B错； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：AC. 2．已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 3．写出与圆和圆都相切的一条切线方程______. 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】根据圆与圆的位置关系，先确定出切线条数，其中可直接根据位置关系求得，根据与圆心连线的位置关系以及与相切可求方程，根据直线关于直线的对称直线求法求解出的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 4．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 题型五 两圆的公切线长 1．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 2．圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    3．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 4．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1) 由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）略 （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $