2.5.2 圆与圆的位置关系（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一：判断两圆的位置关系 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内含 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】根据条件，利用两圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以两圆心距为，又， 则，所以两圆相交， 故选：D. 2．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 3．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 4．已知圆和，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 【答案】B 【分析】先分别求出两个圆的圆心和半径，然后判断圆心间的距离和半径之间的关系，最后判断两个圆的位置关系即可. 【详解】圆以为圆心，半径的圆， 圆，所以圆心，半径， 所以，所以两个圆外切， 故选：B 5．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．相切 D．内含 【答案】B 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和比较，即可判断. 【详解】解：圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 又，所以两圆外离. 故选：B 题型二：求公共弦方程及弦长 1．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 2．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减即可得解. 【详解】两圆相减可得， 经检验，该方程满足题意， 故公共弦所在直线的方程为. 故选：A. 3．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设公共弦的方程为：， 整理得到：即， 故选：B. 4．圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 5．已知圆与圆相交，则相交弦的长为 . 【答案】 【分析】运用两圆相交得到相交弦直线方程，再借助垂径定理和勾股定理计算即可. 【详解】设两圆相交弦所在直线为，则直线的方程为， 即到直线的距离，则相交弦的长为. 故答案为： 6．若圆与圆的公共弦长为，则 ． 【答案】 【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长公式列出方程，解方程即可. 【详解】圆与圆两式相减可得公共弦所在直线方程为， 又，圆心为，半径为2，公共弦长为， 则圆心到直线的距离， 化简得， 解得：． 故答案为：. 题型三： 公切线条数问题 1．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 2．已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 【答案】B 【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径； 由圆，整理可得，则圆心，半径； 由，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条. 故选：B. 3．圆与圆的公切条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据题意，判断出两圆的位置关系，即可得到结果. 【详解】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条． 故选：B 4．圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距离即半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数. 【详解】由可知圆心为，半径， 由，即， 则圆心为，半径， 则两圆圆心距离为，，， 故，即两圆相交，故公切线条数为2条. 故选：B. 5．两个圆和的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆可化为， 圆的圆心为，半径， 圆可化为， 圆的圆心为，半径， ， 又，， ， 圆与内切，即公切线有1条. 故选：A. 题型一：根据圆与圆的位置关系求参数范围 1．已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外切可得圆心距为半径之和，故可求参数的值. 【详解】由圆与圆外切，可得，即，． 故选：C. 2．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 3．若圆和相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】求出圆的标准方程得到球心与半径，利用两圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为3， 因为两圆相交， 所以， 解得或， 故选：D 4．已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆相交的性质直接得出. 【详解】由题意知：圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 所以， 解得：. 故选：D 5．已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 题型二：公切线问题 ①求公切线方程 1．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 2．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 3．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 4．平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心 ，半径， 圆， 其圆心 ，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 5．圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 6．已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； ②求公切线长 1．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 2．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图， 设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 3．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 4．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. 求圆和圆公切线段的长度； 【答案】或 【分析】将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案. 【详解】圆：，即， ， 圆：，即， ，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. 题型三：圆系方程问题 1．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 2．求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【分析】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：，求出圆心坐标再代入直线方程即可求解． 【详解】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 3．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 4．求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，求得两圆的公共弦的方程为，再设出所求圆的方程，结合题意和圆的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为， 过直线与圆的交点的圆， 可设为，即， 要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心必在公共弦所在直线上， 即，解得， 代回圆系方程得所求圆方程. 5．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 1．（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可 【详解】由，得，则圆心，半径， 所以A正确， 对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误， 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切，所以C正确， 对于D，圆的圆心为，半径， 因为，， 所以圆与圆C相交，所以D正确， 故选：ACD 2．（多选）圆和圆的交点为，则有（　　） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D． 【详解】对于A，由与，两式作差可得，即， ∴公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为， 圆的圆心， 由圆的性质可得的中垂线为，可得的中垂线方程为， 即，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离，半径为， 则，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径， 则到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD 3．（多选）已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（    ） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 【答案】AC 【分析】根据、与圆相切，得到直线的方程，可判断A选项；由勾股定理得当最小时最小，可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由可得到，可判断D选项. 【详解】 对于A，圆的圆心为，半径为， 设， 在直线上， ， 、为圆的切线， 以为直径的圆的方程为， ，两式作差可得直线的方程为， 将代入得：， 满足，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B， ，当最小时，最小， ，， ，此时，故B错误； 对于C，， 到的距离， ， 当时，，故C正确； 对于D，若，则，即， ， 存在两个点使，故D错误. 故选：AC. 4．（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出. 【详解】圆的圆心坐标，半径 圆 ，即的圆心坐标，半径 ∴圆心距 又 在圆上，在圆上 则的最小值为，最大值为． 故A、B正确； 两圆圆心所在的直线斜率为，C正确； 圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误. 故答案为：ABC 5．（多选）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BCD 【分析】根据对称性判断直线过圆心，即可判断A，将直线的方程整理为，即可说明直线所故定点，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，根据弦长公式判断B，根据圆系方程，可判断C，根据几何关系，设出过四点的圆的方程，再求过圆和圆的交点的直线的方程，代入定点，即可判断D. 【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误； B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短， 圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确； C. 当时，直线， 曲线，即， 所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确； D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心， 的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以， 圆的方程为，整理为， 直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得 所以直线的方程是， 将直线所过的定点坐标代入上式得，得， 所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确. 故选：BCD 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一：判断两圆的位置关系 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内含 C．相切 D．相交 2．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 3．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 4．已知圆和，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 5．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．相切 D．内含 题型二：求公共弦方程及弦长 1．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 2．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．圆：与圆：相交于、两点，则 ． 5．已知圆与圆相交，则相交弦的长为 . 6．若圆与圆的公共弦长为，则 ． 题型三： 公切线条数问题 1．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 3．圆与圆的公切条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．两个圆和的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 题型一：根据圆与圆的位置关系求参数范围 1．已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 2．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若圆和相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 题型二：公切线问题 ①求公切线方程 1．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 2．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 3．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 4．平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 5．圆与圆的公切线的方程为 ． 6．已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． ②求公切线长 1．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 2．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 3．圆与圆的公切线长为 . 4．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. 求圆和圆公切线段的长度； 题型三：圆系方程问题 1．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 3．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 4．求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 5．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 1．（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交 2．（多选）圆和圆的交点为，则有（　　） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 3．（多选）已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（    ） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 4．（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 5．（多选）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $