1.2.4 圆与圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 2．4　圆与圆的位置关系 知识点一　两圆位置关系的判断 1．已知0＜r＜＋1，则圆x2＋y2＝r2与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是(　　) A．外切 B．内含 C．相交 D．相离 答案　C 解析　设圆x2＋y2＝r2的圆心为O1，半径为r1，圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O2，半径为r2，则两圆的圆心距为|O1O2|＝，r1＋r2＝r＋，|r1－r2|＝|－r|，因为0<r<＋1，所以<r＋<2＋1，－<r－<1．所以|－r|<|O1O2|<r＋，所以两圆相交．故选C． 2．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，如果圆心距|O1O2|＝8，则两圆的位置关系是(　　) A．外离 B．外切 C．内切 D．相交 答案　A 解析　由方程x2－7x＋12＝0得两根之和为7，故两圆半径之和为7，而两圆的圆心距为8，故两圆外离． 3．[多选]设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系可能是(　　) A．外切 B．相交 C．内切或内含 D．外离 答案　BC 解析　因为圆心距d＝＝，且点(1，－3)在圆x2＋y2＝16内，但半径r大小不确定，所以两圆可能相交或内切或内含．故选BC． 知识点二　与两圆相切有关的问题 4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0 D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0 答案　B 解析　已知圆的圆心坐标为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，相切于原点，故所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，可得所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2＋6x－8y＝0．故选B． 5．已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36 答案　D 解析　由题意，可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，故所求圆的方程是(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36． 6．已知圆x2＋y2－6x＋12y－19＝0和圆x2＋y2＋6x－4y－k＝0相切，则k＝________． 答案　－9或311 解析　将两圆方程分别化为(x－3)2＋(y＋6)2＝64，(x＋3)2＋(y－2)2＝k＋13，则两圆圆心距d＝10．当两圆外切时，10＝8＋，得k＝－9；当两圆内切时，10＝|－8|，得k＝311． 知识点三　与两圆相交有关的问题 7．圆x2＋y2－2x＋F＝0与圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在直线的方程是x－y＋1＝0，则E，F的值分别为(　　) A．－4，8 B．4，－8 C．－4，－8 D．4，8 答案　C 解析　由题意联立两圆方程得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8．故选C． 8．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________． 答案　 解析　圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2＋y2－1－(x2＋y2－2x－2y＋1)＝0，即x＋y－1＝0．圆心C3到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝2＝． 9．求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与x2＋y2＋2x＋2y－8＝0交点的圆的方程． 解　解法一：解方程组 得交点坐标为(0，2)，(－4，0)． 设所求圆的圆心坐标为(a，－a)，则有 ＝＝r， 解得a＝－3，r＝， 因此圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10． 解法二：同解法一，得两已知圆的交点坐标为(0，2)，(－4，0)， 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则有解得 因此圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0． 解法三：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)． 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0， 因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上， 所以－－＝0，解得λ＝－2， 因此圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0． 一、选择题 1．若圆(x＋1)2＋y2＝4和圆(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是(　　) A．(0，2) B．(－4，－2)∪(0，2) C．(－4，－2) D．(－2，0)∪(2，4) 答案　B 解析　设圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心为C1，半径为r1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为C2，半径为r2，则两圆圆心的坐标分别为(－1，0)和(a，0)，半径r1＝2，r2＝1，∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a＋1|<3，∴0<a<2或－4<a<－2．故选B． 2．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　　) A．(0，－1) B．(0，1] C．(0，2－ ] D．(0，2] 答案　C 解析　由M∩N＝N得N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥，即0＜r≤2－． 3．已知圆C：x2＋y2＝1，圆D：x2－6x＋y2－8y＋25－m＝0，则“0<m<16”是“圆C与圆D外离”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由题意得，圆D：(x－3)2＋(y－4)2＝m，圆C与圆D的圆心距为5，若0<m<16，则两圆的半径之和小于5，两圆外离，反之亦成立，故“0<m<16”是“圆C与圆D外离”的充要条件．故选A． 4．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 答案　C 解析　由题意知圆C1的圆心为C1(－3，1)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(1，－2)，半径为r2＝2．因为两圆的圆心距d＝＝5>r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9．故选C． 5．[多选]已知圆M：x2＋y2－2x－3＝0，圆N：x2＋y2－8x－8y＋23＝0，则下列说法正确的是(　　) A．两圆是外切的位置关系 B．直线MN的方程为4x－3y－4＝0 C．若P，Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则|PQ|的最大值为5 D．圆M和圆N的一条公切线段长为2 答案　ABD 解析　由题意可知，圆M：(x－1)2＋y2＝4的圆心为M(1，0)，半径为r1＝2，圆N：(x－4)2＋(y－4)2＝9的圆心为N(4，4)，半径为r2＝3，两圆的圆心距|MN|＝＝5＝r1＋r2，即圆心距等于两半径之和，所以两圆外切，故A正确；由圆心坐标可知，kMN＝＝，所以直线MN的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0，故B正确；由圆与圆之间的位置关系可得，|PQ|的最大值为|MN|＋r1＋r2＝10，如图所示， 当P，M，N，Q四点共线且P，Q在M，N两侧时，取得最大值，故C错误；设AB为两圆的一条公切线，切点分别为A，B，易知MA⊥AB，NB⊥AB，作MC⊥NB于点C，则|NC|＝r2－r1＝1，又|MN|＝5，则|AB|＝|MC|＝＝2，可得公切线段长为2，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________． 答案　(x－5)2＋(y＋1)2＝1 解析　圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，则C，A所在直线的方程为y＝－1，所以可设所求圆的圆心为D(a，－1)．由|DA|＝a－4＝1，得a＝5．故所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1． 7．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________． 答案　 解析　题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0，0)到该直线的距离d＝＝．设公共弦的长为l，则l＝2＝． 8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 答案　 解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2．则≤2，整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤．故k的最大值为． 三、解答题 9．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0． (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系； (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？ 解　(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径为r1＝3， 圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1，0)，半径为r2＝1， 两圆的圆心距d＝＝2， 又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， 所以r1－r2<d<r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交． (2)圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3． 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含， 则圆心距d＝<3－1， 即(m＋1)2<0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 10．求半径为4，且与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0和直线y＝0都相切的圆的方程． 解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为A． 又圆A与直线y＝0相切且半径为4，故圆心为A(a，4)或A(a，－4)． 圆C的圆心为C(2，1)，半径为r＝3． 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1． 当取A(a，4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2，此时所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16； 当取A(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2，此时所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16． 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$