专题02 直线与圆位置关系（弦长、切线）（高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系核心考点，以切线和弦长为主线，通过五类题型系统覆盖切线方程、切线长、切点弦、参数求解及弦长计算，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求切线的方程|6题|过圆上/外点求切线，含斜率存在与不存在情况|基于圆的标准方程，结合切线性质推导方程，体现分类讨论思想| |切线长公式计算|6题|动点引切线求切线长最值，结合点到直线距离|运用勾股定理（切线长²=圆心距²-半径²），渗透转化思想| |切点弦及其方程|2题|过圆外点引两条切线，求切点弦方程及相关问题|通过切点坐标关系推导切点弦方程，强化方程思想| |已知切线求参数|6题|由切线条件（相切、夹角）反求参数值|利用圆心到切线距离等于半径，培养运算能力与推理意识| |已知圆的弦长求方程或参数|5题|由弦长条件求圆方程参数或直线参数|应用垂径定理（弦长=2√(r²-d²)），构建方程模型解决问题|

专题02 直线与圆位置关系（弦长、切线） 题型一 求切线的方程 题型二 切线长公式计算 题型三 切点弦及其方程 题型四 已知切线求参数 题型五 已知圆的弦长求方程或参数 题型一 求切线的方程 1．过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 2．过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 【答案】 【分析】计算，根据垂直关系得到，得到切线方程. 【详解】圆的圆心，在圆上，则，， 故切线斜率为，故直线方程为：，即. 故答案为：. 3．过点作圆的切线，则切线的方程为_________． 【答案】或 【分析】讨论切线的斜率是否存在.当斜率存在时，设斜率为，得到直线方程，根据圆心到直线的距离，得到，解出，代入直线方程即可. 【详解】由已知圆心，半径. 又，所以，点在圆外. 当直线斜率不存在时，直线的方程为. 此时，圆心到直线的距离，所以直线不是圆的切线； 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 整理可得，. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，整理得，， 解得，或. 当时，直线方程为； 当时，直线方程为，化为一般式方程为. 所以切线的方程为或. 故答案为：或. 4．经过点作圆的切线，则切线的方程为__________． 【答案】 【解析】点在圆上，由，则切线斜率为2，由点斜式写出直线方程. 【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2， 故切线方程为，整理得． 故答案为： 5．过点且与圆相切的切线方程是______. 【答案】．和（答对一个给3分） 【详解】试题分析：设切线的斜率为，可将方程设为，整理得，根据直线与圆相切，可得，解得，由图可知，当斜率不存在时也可以，所以所求的切线方程为和. 考点：求过圆外一点的圆的切线方程. 6．过点且与圆相切的直线的方程为______． 【答案】或. 【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况看是否成立；斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】当过点的直线斜率不存在时：方程为：，此时直线到圆心的距离，满足题意； 当过点的直线斜率存在时：设方程为：， 即，因为直线与圆相切， 所以，解得：， 所以直线方程为：， 所以过点且与圆相切的直线的方程为或. 故答案为：或. 题型二 切线长公式计算 1．从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：圆的方程转化为，圆心到直线的距离 最短的切线长为 考点：直线与圆相切问题 2．点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可． 详解：∵圆， ∴圆心 ，半径． 由题意可知， 点到圆的切线长最小时，直线． ∵圆心到直线的距离 ， ∴切线长的最小值为． 故选C． 点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 3．已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得， 则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， ， 所以. 故选：D. 4．由直线上一点P向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须直线上一点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可． 【详解】∵圆， ∴圆心C（4，0），半径r＝1． 由题意可知， 直线上的点P到圆的切线长最小时， CP⊥直线． ∵圆心到直线的距离， ∴切线长的最小值为． 故选：A． 5．过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当直线上的点与圆心的连线与该直线垂直时，切线长最小求解. 【详解】圆的标准方程为， 若切线长的最小，则直线上的点与圆心的连线与该直线垂直， 圆心到直线的距离为： 所以切线长的最小值为， 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及切线长的最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 6．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 题型三 切点弦及其方程 1．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用圆外切线的几何性质得出四点共圆，求出辅助圆的方程，联立两圆方程求出切点弦方程，再通过联立所在直线方程求出定点． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 2．若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 题型四 已知切线求参数 3．已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 4．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 5．直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 6．已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 题型五已知圆的弦长求方程或参数 1．已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 2．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 3．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 4．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆位置关系（弦长、切线） 题型一 求切线的方程 题型二 切线长公式计算 题型三 切点弦及其方程 题型四 已知切线求参数 题型五 已知圆的弦长求方程或参数 题型一 求切线的方程 1．过圆上的点的切线方程为______. 2．过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 3．过点作圆的切线，则切线的方程为_________． 4．经过点作圆的切线，则切线的方程为__________． 5．过点且与圆相切的切线方程是______. 6．过点且与圆相切的直线的方程为______． 题型二 切线长公式计算 1．从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 A． B． C． D． 2．点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 4．由直线上一点P向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．2 D．4 5．过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型三 切点弦及其方程 1．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 2．若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 题型四 已知切线求参数 3．已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 6．已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 题型五已知圆的弦长求方程或参数 1．已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 2．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 3．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $