专题01 直线与圆的对称问题（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以“对称对象-对称中心/轴”双维度构建9类题型体系，通过公式推导+典例变式系统突破直线与圆的对称问题，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点关于点|1典例+3变式|中点坐标公式|从基础对称概念出发，构建坐标关系| |点关于直线|1典例+3变式|垂直平分关系推导坐标公式|深化点线位置关系，培养几何直观| |直线关于点|1典例+3变式|轨迹法/斜截式速算对称直线|迁移点对称思想，发展推理能力| |直线关于直线|1典例+3变式|对称点性质推导方程|综合线线关系，提升转化能力| |圆关于点/直线|各1典例+3变式|圆心对称+半径不变|结合圆的性质，强化模型意识| |应用（反射/最值/存在性）|各1典例+3变式|对称转化思想解决实际问题|体现数学应用，培养创新意识|

专题01 直线与圆的对称问题 （题型突破·举一反三） 题型01 点关于点的对称 题型02 点关于直线的对称 题型03 直线关于点的对称 题型04 直线关于直线的对称 题型05 圆关于点的对称 题型06 圆关于直线的对称 题型07 利用对称性解决光线反射问题 题型08 利用对称性求最值 题型09 对称点的存在性问题 ▌题型01 点关于点的对称 点关于点对称 设点对称中心为, 则关于的对称点为 【典例1】（25-26高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 【变式1-3】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b=___________. 【答案】0 【分析】由中心对称的含义即得. 【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心， ∴b+4=2×2，即b=0. 故答案为：0. ▌题型02 点关于直线的对称 点关于线对称 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 【典例2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·四川雅安·期中）已知点关于直线对称，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】∵， ∴， 又的中点， ∴ 整理得：. 故答案为：. ▌题型03 直线关于点的对称 线关于点对称 设原直线, 对称中心则对称直线方程为： 或 推导：由轨迹法，将代入整理即得。 公式2：斜截式速算 若, 对称中心则方程为： 结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。 【典例3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式3-1】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 【变式3-2】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. ▌题型04 直线关于直线的对称 线关于线对称 对于任意直线和对称轴, 对称直线的方程可由对称点性质推导，公式如下： 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】解析 ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 【变式4-1】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. ▌题型05 圆关于点的对称 【典例5】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 【变式5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）求圆关于点对称的圆的方程． 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，得到圆心坐标与半径，求出圆心关于点对称的点的坐标，即可求出对称的圆的方程. 【详解】圆，即，圆心，半径， 圆心关于点对称的点为，即， 所以圆关于点对称的圆的方程为.    【变式5-2】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）圆关于点对称的圆的方程是________. 【答案】 【解析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心. 【详解】圆，化为标准方程：， 设关于点对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆关于点对称的圆的方程是： ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆与圆的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 【变式5-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________． 【答案】 【分析】先根据圆的方程得出圆心及半径，再得出对称点，进而得出圆的标准方程. 【详解】圆圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. 故答案为：. ▌题型06 圆关于直线的对称 【典例6】（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案． 【详解】圆的圆心为，半径为1， 设所求圆的圆心为， 则与关于直线对称， 故， 则所求圆的圆心为，半径为1， 所以所求圆的方程为． 故选：A 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设对称圆的圆心坐标为， 由题意得，，解得， 对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得圆的圆心与半径，利用对称求得圆心关于直线的对称点，可求对称圆的方程. 【详解】方程，可化为， 则圆心的坐标为，半径， 设圆关于直线对称的圆的圆心为，则半径仍为， 则，解得． 所以圆的方程为. 故选：C． 【变式6-3】（25-26高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】圆，圆心为，半径为2， 设圆心关于直线对称的点是， 则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：D ▌题型07 利用对称性解决光线反射问题 【典例7】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 【变式7-1】（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式7-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故选：D. 【变式7-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. ▌题型08 利用对称性求最值 【典例8】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】设点，记点、，可得出，结合将军饮马问题可得出所求代数式的最小值. 【详解】设点，记点、， 则，如下图所示： 点关于直线的对称点为，由对称性可知， 所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. ▌题型09 对称点的存在性问题 【典例9】（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 【变式9-1】（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【答案】，12 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故P的坐标为时，取到最小值为12. 【变式9-2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知点，，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】对于A，求出直线的中垂线方程，与直线方程联立可求出点坐标；对于B，设，根据选项结合向量垂直关系即可判断B；对于C，利用两点间的距离公式依次求解判断即可；对于D，利用对称关系即可求解. 【详解】对于A：由于点，，则的方程为， 则直线的中垂线方程为， 联立，解得， 所以当时，，故A正确； 对于B：设，则，， 要使， 则， 则，方程无解，故与不垂直，故B错误； 对于C：设，若， 则，即， 由，所以方程有解，则存在点，使得，故C正确； 对于D：设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 因为，所以存在点，使得.D正确. 故选：ACD 【变式9-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得倾斜角的范围. 【详解】直线方程可化为：， 令得，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，， 要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：B 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆的对称问题 （题型突破·举一反三） 题型01 点关于点的对称 题型02 点关于直线的对称 题型03 直线关于点的对称 题型04 直线关于直线的对称 题型05 圆关于点的对称 题型06 圆关于直线的对称 题型07 利用对称性解决光线反射问题 题型08 利用对称性求最值 题型09 对称点的存在性问题 ▌题型01 点关于点的对称 点关于点对称 设点对称中心为, 则关于的对称点为 【典例1】（25-26高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【变式1-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-3】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b=___________. ▌题型02 点关于直线的对称 点关于线对称 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 【典例2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【变式2-1】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【变式2-2】（25-26高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·四川雅安·期中）已知点关于直线对称，则直线的方程为__________. ▌题型03 直线关于点的对称 线关于点对称 设原直线, 对称中心则对称直线方程为： 或 推导：由轨迹法，将代入整理即得。 公式2：斜截式速算 若, 对称中心则方程为： 结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。 【典例3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【变式3-2】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. ▌题型04 直线关于直线的对称 线关于线对称 对于任意直线和对称轴, 对称直线的方程可由对称点性质推导，公式如下： 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【变式4-1】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【变式4-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型05 圆关于点的对称 【典例5】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）求圆关于点对称的圆的方程． 【变式5-2】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）圆关于点对称的圆的方程是________. 【变式5-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________． ▌题型06 圆关于直线的对称 【典例6】（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______． 【变式6-2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． ▌题型07 利用对称性解决光线反射问题 【典例7】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【变式7-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． ▌题型08 利用对称性求最值 【典例8】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【变式8-2】（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 【变式8-3】（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. ▌题型09 对称点的存在性问题 【典例9】（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【变式9-2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知点，，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【变式9-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 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