专题02 直线与圆的最值与范围问题（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题02 直线与圆的最值与范围问题 （题型突破·举一反三） 题型01 斜率、倾斜角有关的范围问题 题型02 两点距离有关的最值与范围 题型03 点到直线距离有关的最值与范围 题型04 两条平行直线间的距离有关的最值与范围 题型05 斜率型、直线型最值与范围 题型06 定点到圆上点的最值与范围 题型07 圆上点到定直线上的最值与范围 题型08 过圆内定点的弦长最值与范围 题型09 圆的切线长度最值与范围 题型10 与面积有关的最值与范围 题型11 与角度有关的最值与范围 题型12 与长度有关的最值与范围 ▌题型01 斜率、倾斜角有关的范围问题 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 【典例1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象，求出直线的斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围. 【详解】如图，当过点时，，当过点时，， 故直线和连接点的线段总有公共点，则， 又，所以 故答案为：    【变式1-2】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据的几何意义，作图分析可知. 【详解】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式1-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． ▌题型02 两点距离有关的最值与范围 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 【变式2-1】（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 【变式2-2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 【变式2-3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C ▌题型03 点到直线距离有关的最值与范围 1、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 【典例3】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 【变式3-1】（25-26高一下·全国黄浦·期末）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 【变式3-3】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． ▌题型04 两条平行直线间的距离有关的最值与范围 1、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 【典例4】（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 【变式4-1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 【变式4-2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 【变式4-3】（25-26高二·全国·寒假作业）过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）结合点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得； （2）结合（1）中所得与点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得. 【详解】（1）当两直线的斜率都不存在时，方程分别为，满足题意； 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为与， 即与， 由题意得，解得， 所以所求的直线方程分别为， 综上，所求的直线方程为或； （2）由（1）知，当两直线的斜率都不存在时，； 当两直线的斜率都存在时，， 则，即有， ，故， 即，由，解得，故， 此时有，即，解得， 此时对有， 对有， 即此时两直线的方程分别为. ▌题型05 斜率型、直线型最值与范围 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 【典例5】（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 【变式5-1】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】整理出圆的方程，得出圆心和半径，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解. 【详解】由，则， 表示以为圆心，3为半径的圆，即点在该圆上， 设，则圆心到直线的距离为， 解得，则的最大值是. 故选：B 【变式5-2】（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 【变式5-3】（25-26高二上·广东·期中）（多选）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用方程的几何意义，结合圆的性质逐项判断即得. 【详解】实数，满足，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 对于A，，解得，因此的最大值为，A正确； 对于B，令，则直线与圆有公共点，， 解得，因此的最小值为，B错误； 对于C，令，则直线与圆有公共点，，解得， 因此的最小值为，C正确； 对于D，表示圆上的点到定点距离的平方， 而圆心与点距离为，则， 即，因此的最大值为9，D正确. 故选：ACD ▌题型06 定点到圆上点的最值与范围 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 【典例6】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【变式6-1】（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 【变式6-2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 【变式6-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设关于直线的对称点为，利用对称性可求得，进而数形结合可求得的最小值. 【详解】由圆，可知圆心，半径， 因为M是圆C上的动点，所以， 设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 所以， 当且仅当在同一直线上且在点之间时取得等号成立， 故的最小值. 故选：C. ▌题型07 圆上点到定直线上的最值与范围 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 【典例7】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 【变式7-1】（25-26高一下·全国·期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 【变式7-2】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 【变式7-3】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. ▌题型08 过圆内定点的弦长最值与范围 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 【典例8】（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. 【变式8-1】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 【变式8-2】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 【变式8-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. ▌题型09 圆的切线长度最值与范围 【典例9】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【变式9-1】（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】先确定点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】如图： 设， 因为在线段的垂直平分线上，所以. 又直线与相切，所以. 所以， 所以，整理得：. 即点的轨迹为直线. 所以的最小值为点到直线的距离，为. 【变式9-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 【变式9-3】（2026·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，，，，的欧拉线为直线，点为上的一个动点，过作圆Q：的切线，其中一个切点为．当面积取得最小值时，切线长为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求出欧拉线方程，当三角形面积最小时，可得切线长最小，利用点到直线的距离求最值即可. 【详解】因为, 所以，三角形是以为直角顶点的直角三角形， 所以垂心为，外心为斜边中点， 所以的欧拉线为，即， 由圆Q：知圆心，半径为 如图， 因为， 所以当面积取得最小值时，有最小值， 因为， 所以当最小时，有最小值， 因为点在直线上运动， 所以 所以. ▌题型10 与面积有关的最值与范围 【典例10】（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 【变式10-1】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【详解】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 【变式10-2】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】先求定点，再求和直线的方程，利用点到直线的距离公式求圆上点到直线距离的最小值，最后利用三角形面积即可求解. 【详解】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为. 【变式10-3】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. ▌题型11 与角度有关的最值与范围 【典例11】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 【变式11-1】（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点Q的坐标为，根据题意得曲线的方程为结合图形特征及正弦函数单调性得出即可求解. 【详解】设动点Q的坐标为，，直线，恒过定点， 所以，所以Q点的轨迹为以为直径的圆的方程， 圆的圆心为的中点，半径为， 所以曲线的方程为， 根据题意，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B， 则，， 所以当取最小值时，取最大值，即取最大值， 所以最小值为，此时，即得， 此时， 则 . 所以正弦值的最大值为． 【变式11-2】（2026·安徽黄山·一模）（多选）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．的最小值为3 D．的最大值为1 【答案】ABD 【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，求得圆心坐标可判定A；求得圆心到直线的距离，结合圆的性质可判定B；根据圆的切线长公式可判定C，连接，设，和，结合正弦的倍角公式，以及基本不等式可判定D. 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为，正确. 故选：ABD    【变式11-3】（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. ▌题型12 与长度有关的最值与范围 【典例12】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线与圆交于、两点，则（   ） A．直线l过定点 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．使得弦长为整数的直线l有4条 【答案】ABC 【分析】通过整理直线方程，即可求得定点坐标，判断A选项；直线与圆的交点弦中最长的是直径，判断B选项；当圆心与定点所在直线与直线垂直时，弦长最小，由弦长为求得最小值，判断C选项；由B、C选项可知弦长的取值范围，然后写出可能取到的整数集，分别求出对应直线即可判断D选项. 【详解】直线，∴直线过定点，A选项正确； 当直线经过圆心时，的值最大，此时，B选项正确； 圆心，则，当时，圆心到直线的距离最大， 此时，即，C选项正确； ∴，∵弦长为整数，∴， 当时，直线经过点及，有且只有一条， 当时，圆心到直线的距离，又∵， ∴，∴，∴， ∵，即方程存在两个根， ∴这样的直线由2条，故使得弦长为整数的直线l有3条，D选项错误； 故选：ABC 【变式12-1】（25-26高二上·广东广州·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定方程确定曲线形状，再利用圆的性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由，得，，即（）， 因此曲线是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，，如图：    而，则， 当且仅当，即时取等号，即面积取最大值， 此时，圆心到直线的距离为， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因此，解得. 故选：A 【变式12-2】（25-26高二下·广西河池·阶段检测）（多选）已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（   ） A．过点与圆相切的直线有两条 B．点在直线上运动 C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】将点代入圆的方程即可判断A；易得，再利用勾股定理即可判断C；根据求出两点横纵坐标的关系，再结合为线段的中点求出点的轨迹方程，即可判断C；由，当最小时，最大，结合B选项求出的最小值，即可判断D. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，因为， 所以点在圆外， 所以过点与圆相切的直线有两条，故A正确； 对于C，因为为线段的中点，所以， 所以，故C正确； 对于B， ， 所以， 而， 所以， 所以点在直线上运动，故B错误； 对于D，由， 当最小时，最大， 而最小值为到的距离为， 此时Q在圆的内部， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式12-3】（25-26高二上·北京顺义·期末）已知平面直角坐标系中，，为圆：上的两个动点，，为弦的中点，设点，则最大值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】分析可知，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当D为直线CO与圆在第三象限的交点时，取最大值，即可得解． 【详解】如下图所示， 因为、是圆上的两个动点，且满足，D为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆上运动， 设为直线CO与圆在第三象限的交点（同时设对应弦）， 则，等号当且仅当D和重合时成立． 故选：D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆的最值与范围问题 （题型突破·举一反三） 题型01 斜率、倾斜角有关的范围问题 题型02 两点距离有关的最值与范围 题型03 点到直线距离有关的最值与范围 题型04 两条平行直线间的距离有关的最值与范围 题型05 斜率型、直线型最值与范围 题型06 定点到圆上点的最值与范围 题型07 圆上点到定直线上的最值与范围 题型08 过圆内定点的弦长最值与范围 题型09 圆的切线长度最值与范围 题型10 与面积有关的最值与范围 题型11 与角度有关的最值与范围 题型12 与长度有关的最值与范围 ▌题型01 斜率、倾斜角有关的范围问题 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 【典例1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【变式1-2】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________. 【变式1-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 两点距离有关的最值与范围 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【变式2-2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌题型03 点到直线距离有关的最值与范围 1、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 【典例3】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【变式3-1】（25-26高一下·全国黄浦·期末）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． ▌题型04 两条平行直线间的距离有关的最值与范围 1、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 【典例4】（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【变式4-1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【变式4-3】（25-26高二·全国·寒假作业）过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． ▌题型05 斜率型、直线型最值与范围 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 【典例5】（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D． 【变式5-2】（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式5-3】（25-26高二上·广东·期中）（多选）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 ▌题型06 定点到圆上点的最值与范围 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 【典例6】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【变式6-1】（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 ▌题型07 圆上点到定直线上的最值与范围 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 【典例7】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式7-1】（25-26高一下·全国·期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【变式7-2】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【变式7-3】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． ▌题型08 过圆内定点的弦长最值与范围 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 【典例8】（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【变式8-1】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【变式8-2】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． ▌题型09 圆的切线长度最值与范围 【典例9】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式9-1】（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 【变式9-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【变式9-3】（2026·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，，，，的欧拉线为直线，点为上的一个动点，过作圆Q：的切线，其中一个切点为．当面积取得最小值时，切线长为（     ） A．2 B． C． D．4 ▌题型10 与面积有关的最值与范围 【典例10】（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【变式10-2】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【变式10-3】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． ▌题型11 与角度有关的最值与范围 【典例11】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【变式11-1】（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2026·安徽黄山·一模）（多选）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．的最小值为3 D．的最大值为1 【变式11-3】（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌题型12 与长度有关的最值与范围 【典例12】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线与圆交于、两点，则（   ） A．直线l过定点 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．使得弦长为整数的直线l有4条 【变式12-1】（25-26高二上·广东广州·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高二下·广西河池·阶段检测）（多选）已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（   ） A．过点与圆相切的直线有两条 B．点在直线上运动 C． D．的最大值为 【变式12-3】（25-26高二上·北京顺义·期末）已知平面直角坐标系中，，为圆：上的两个动点，，为弦的中点，设点，则最大值为（    ） A． B．4 C． D．6 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $