专题01 倾斜角与斜率的取值范围（高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦倾斜角与斜率的概念关系及应用，通过三个递进题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|5题|倾斜角与斜率变化关系及转化|以概念关系为起点，建立倾斜角与斜率的对应转化| |题型二|10题|已知斜率求参数|深化斜率计算，训练参数求解的运算推理| |题型三|10题|直线与线段相交求斜率/倾斜角范围|综合应用概念与计算，解决动态范围问题，形成完整逻辑链条|

专题01 倾斜角与斜率取值范围 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 题型二 已知斜率求参数 题型三 直线与线段相交关系求斜率 / 倾斜角范围 题型一：斜率与倾斜角的变化关系 1．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 2．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．m＜1 B．m＞－1 C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1 4．经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 题型二：已知斜率求参数 1．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　） A．－6 B．－4 C．0 D．6 3．直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 6．已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 7．过点的直线的倾斜角为，则等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．1 D．2 10．已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 题型三：直线与线段相交关系求斜率/倾斜角范围 1．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 3．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．   6．过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．   7．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 10．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 倾斜角与斜率取值范围 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 题型二 已知斜率求参数 题型三 直线与线段相交关系求斜率 / 倾斜角范围 题型一：斜率与倾斜角的变化关系 1．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 2．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．m＜1 B．m＞－1 C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则，∴，解得，故选C. 点睛：本题考查直线的倾斜角，要求学生结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系，进行分析求解；根据正切函数的单调性：当时，且随的增大而增大，当时，且随的增大而增大． 4．经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C 5．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    题型二：已知斜率求参数 1．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点间的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以，则4. 故选：C 2．已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　） A．－6 B．－4 C．0 D．6 【答案】C 【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值． 【详解】直线经过两，，． 又直线的倾斜角为，斜率一定存在， 则直线的斜率为 ，即． 故选：C． 3．直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 4．设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率的范围，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角， 当时，， 直线的斜率，此时倾斜角． 综上所述，直线的倾斜角的范围是． 故选：C． 5．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 6．已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】应用斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：B 7．过点的直线的倾斜角为，则等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】利用两点斜率公式和倾斜角正切值表示斜率求解即可. 【详解】因为斜率，所以， 故选：D. 8．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 9．已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解析  因为直线的倾斜角为，所以它的斜率为，所以，故选D． 10．已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 【答案】D 【分析】由斜率的定义式计算即可. 【详解】因为点，， 所以直线AB的斜率为． 由题意得，解得. 故选：D． 题型三：直线与线段相交关系求斜率/倾斜角范围 1．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 2．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 3．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 4．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 5．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.    6．过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B    7．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 8．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 9．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 10．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $