第1章 再练一课(范围：1.1～1.4)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦直线与方程基础，通过多样题型系统覆盖倾斜角、斜率、直线方程及位置关系，以题明理构建概念-方程-应用逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|6（单选1-6）|倾斜角与斜率计算、直线方程求法|从倾斜角定义到斜率公式，再到点斜式等方程形式，形成概念生成链| |位置关系|3（多选7-9）|平行垂直判定、过定点问题|通过斜率关系推导位置条件，结合几何直观分析直线位置特征| |综合应用|3（解答13-15）|三角形面积、梯形判定、最值问题|整合方程与几何性质，运用数学语言表达实际问题中的数量关系|

再练一课(范围：1.1~1.4) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.直线3x－y＋1＝0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.135° 答案　B 解析　直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 2.设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的两倍，则点P的坐标为(　　) A.(－2，0) B.(－5，0) C.(2，0) D.(5，0) 答案　B 解析　设点P的坐标为(x，0)，由题意知，kPA＝，kPB＝，则＝2×，解得x＝－5，即点P的坐标为(－5，0). 3.已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各图形中，正确的是(　　) 答案　D 解析　对于D，l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx－a.由l1可知a<0，b>0，对应l2也符合. 4.若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为(　　) A.3x＋2y－1＝0 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y＋1＝0 D.2x－3y－1＝0 答案　A 解析　因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以kl＝－，由点斜式可得y－2＝－(x＋1)，即所求直线方程为3x＋2y－1＝0. 5.已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由直线l1∥l2，得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件. 6.已知A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A.k≥或k≤－4 B.k≥或k≤－ C.－4≤k≤ D.≤k≤4 答案　A 解析　因为直线l的方程为kx－y－k＋1＝0， 即y－1＝k(x－1)， 所以直线l过定点C(1，1)， 根据A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l与线段AB相交，可作出图象，如图所示. 因为kCA＝＝－4，kCB＝，所以直线l的斜率k的取值范围为k≥或k≤－4. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知直线l：x－ay＋1＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.直线l过定点(－1，0) B.直线l一定不与坐标轴垂直 C.直线l与直线l'：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行 D.直线l与直线l'：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直 答案　AD 解析　对于A，l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理为ay＝x＋1，恒过定点(－1，0)，故A正确；当a＝0时，直线l与x轴垂直，故B错误；当m＝－1时，两直线重合，故C错误；因为1×a＋1×(－a)＝0，故直线l与直线l'一定垂直，故D正确. 8.下列说法正确的有(　　) A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B.任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C.过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式为y＋1＝－(x－2) D.直线的斜率越大，倾斜角越大 答案　AC 解析　对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确；对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误；对于C，由点斜式知，过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式为y＋1＝－(x－2)，所以选项C正确；对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在内，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0，π)内，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项D错误. 9.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(　　) A.边BC与直线3x－2y＋1＝0平行 B.边BC上的高所在的直线的方程为3x＋2y－12＝0 C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 答案　BD 解析　直线BC的斜率为， 而直线3x－2y＋1＝0的斜率为， 两直线不平行，A错误； BC边上的高所在直线的斜率为－， 直线方程为y＝－(x－4)， 即3x＋2y－12＝0，B正确； 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0， 过原点时方程为y＝x，即7x－6y＝0，C错误； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为(3，5)，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知直线l的倾斜角为150°，则直线l的一个方向向量的坐标为　　　　　　　. 答案　(答案不唯一) 解析　由直线l的倾斜角为150°，得直线l的斜率k＝tan 150°＝－，所以直线l的一个方向向量的坐标为(答案不唯一). 11.已知点P(a，2)，Q(－3，b)，其中a，b∈R，若线段PQ的中点坐标为(2，0)，则直线PQ的方程为　　　　　　　　. 答案　2x－5y－4＝0 解析　由P(a，2)，Q(－3，b)， 得线段PQ的中点坐标为， 所以解得 即P(7，2)，Q(－3，－2)， 所以直线PQ的方程为， 即2x－5y－4＝0. 12.在平面直角坐标系内，已知点A(2，4)，B(－4，1)，C(－1，5)，则线段AB的中点坐标为　　　　　，若点D在直线AB上，且，则直线CD的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　　13x－6y＋43＝0或x－6y＋31＝0 解析　因为A(2，4)，B(－4，1)，所以AB的中点坐标为.因为，所以|AD|＝|BA|.设点D的坐标为(xD，yD)，若，则(xD－2，yD－4)＝(6，3)，解得所以kCD＝，故直线CD的方程为y－5＝(x＋1)，即x－6y＋31＝0.若，则(xD－2，yD－4)＝－(6，3)，解得所以kCD＝，故直线CD的方程为y－5＝(x＋1)，即13x－6y＋43＝0.故直线CD的方程为13x－6y＋43＝0或x－6y＋31＝0. 四、解答题(共37分) 13.(12分)如图，已知三角形的顶点为A(2，4)，B(0，－2)，C(－2，3)，求： (1)直线AB的方程；(4分) (2)AB边上的高所在直线的方程；(4分) (3)AB的中位线所在的直线方程.(4分) 解　(1)由已知得直线AB的斜率kAB＝＝3， ∴直线AB的方程为y＝3x－2， 即3x－y－2＝0. (2)设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2，3)， ∴3＝＋m，解得m＝， 故所求直线方程为y＝－x＋， 即x＋3y－7＝0. (3)AB边的中位线与AB平行且过AC的中点， ∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋， 即6x－2y＋7＝0. 14.(12分)已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形. 解　(1)如图，当∠A＝∠D＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC，且AD⊥AB. ∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1. (2)如图，当∠A＝∠B＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC，且AB⊥BC， ∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1. ∴ 解得m＝，n＝－. 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 15.(13分)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R). (1)求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限；(5分) (2)若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.(8分) (1)证明　因为直线l：kx－y＋1－2k＝0， 即y－1＝k(x－2)， 当x－2＝0，即x＝2时，y＝1， 即直线l过定点(2，1)且在第一象限， 所以无论k取何值，直线l始终经过第一象限. (2)解　方法一　因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以k<0， 令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝1－2k， 即A，B(0，1－2k)， 所以S＝|OA|·|OB|＝(1－2k) ＝， 因为k<0，所以－k>0， 则－4k＋≥2＝4， 当且仅当－4k＝，即k＝－时，取等号， 则S＝≥×(4＋4)＝4， 所以S≥4，从而S的最小值为4， 此时直线l的方程为y＝－x＋2， 即x＋2y－4＝0. 方法二　因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，设A(a，0)，B(0，b)， 设直线的方程为＝1(a>0，b>0)，则S＝ab， 又直线l过定点(2，1)，所以＝1， 又因为a>0，b>0， 所以1＝≥2＝2， 所以ab≥8，所以S≥4，即S的最小值为4， 此时，解得a＝4，b＝2， 所以直线l的方程为＝1， 即x＋2y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $