2.1.1 倾斜角与斜率（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 题型一：倾斜角与斜率概念及辨析 1．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 2．（多选）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定即可． 【详解】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确． 故选：ABC． 3．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】CD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故C正确； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：CD. 题型二：求斜率 方法一：定义法求斜率 1．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解出斜率． 【详解】直线的斜率为， 故选：C． 2．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的倾斜角为， 则l的斜率为， 故选：C 方法二：斜率公式求斜率 1．已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 2．已知点，，则直线的斜率为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】由斜率公式计算． 【详解】根据题意可得直线的斜率. 故选：C． 3．已知，则直线与的斜率之和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点求斜率公式求出直线与的斜率，再相加即可 【详解】， 则直线与的斜率之和为， 故选：A． 方法三：利用方向向量求斜率 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为. 故选：B 2．若直线的一个方向向量是，则其斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量，可求得直线的斜率. 【详解】由于直线的一个方向向量是，则直线的斜率为． 故选：D. 题型三：倾斜角和斜率求参数 1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，. 故选：B 2．过两点、的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为斜率，所以，解得. 故选：D. 3．三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，即，解得. 故选：D. 4．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 题型一：已知倾斜角范围求斜率范围 1．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 2．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 题型二：已知斜率范围求倾斜角范围 1．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 2．已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 题型三：直线与线段相交求倾斜角、斜率范围 1．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出图，由图可知，从而可求出直线 的倾斜角的取值范围 【详解】解：设直线 的倾斜角为（）， 由图可知，要使直线与连接的线段总有公共点，只要， 所以，即， 所以或， 故选：D 2．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B 3．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】画出图形分析，即可得出或，求出即可. 【详解】 如图，要使直线与线段相交，则应满足或， ，， 或. 选：A. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 3．已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式构建不等式组即可求出的取值范围. 【详解】由题设有即， 故选：B. 4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．m＜1 B．m＞－1 C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则，∴，解得，故选C. 点睛：本题考查直线的倾斜角，要求学生结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系，进行分析求解；根据正切函数的单调性：当时，且随的增大而增大，当时，且随的增大而增大． 5．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围. 【答案】斜率的范围：；倾斜角的范围：. 【分析】根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】如图所示. ∵，， 又直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 所以由图像可得：， 因此倾斜角的范围为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 倾斜角与斜率 题型一：倾斜角与斜率概念及辨析 1．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 2．（多选）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 3．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 题型二：求斜率 方法一：定义法求斜率 1．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 方法二：斜率公式求斜率 1．已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 2．已知点，，则直线的斜率为（   ） A． B． C．3 D．2 3．已知，则直线与的斜率之和为（    ） A． B．2 C． D． 方法三：利用方向向量求斜率 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．若直线的一个方向向量是，则其斜率等于（    ） A． B． C． D． 题型三：倾斜角和斜率求参数 1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．过两点、的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 3．三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 题型一：已知倾斜角范围求斜率范围 1．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二：已知斜率范围求倾斜角范围 1．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：直线与线段相交求倾斜角、斜率范围 1．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 2．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 2．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．m＜1 B．m＞－1 C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1 5．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$