专题01 集合中的含参数问题五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参数问题，以“解题通法+题型模版”构建系统方法体系，覆盖元素关系、集合包含、交并补运算等核心题型，注重逻辑推理与规范检验 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|提炼空集优先讨论、元素互异性检验两条底线原则，数轴辅助分析连续数集|以元素与集合关系、集合间关系、集合运算为逻辑起点，构建问题解决基础框架| |题型归纳|5题型（1典例+3变式/题型）|元素关系：代入-检验法；包含关系：空集优先分类讨论；交并补运算：结果反推参数+回代验证|从单一关系（元素、包含）到复合运算（交、并、补混合），形成“概念-关系-运算”递进链条| |压轴挑战|15题|综合运用分类讨论、参数范围动态分析，结合创新情境（如“阶集”定义）提升思维上限|衔接基础题型与高考创新考法，强化知识迁移与逻辑推理能力|

专题01 集合中的含参数问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系求参数 题型二、根据集合的包含关系求参数 题型三、根据交集运算结果求参数 题型四、根据并集运算结果求参数 题型五、根据交、并、补混合运算结果求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合中的含参数问题是高中数学入门重难点，所有题型均围绕元素与集合关系、集合包含关系、集合交并补运算三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是涉及子集关系必须优先讨论空集情况，二是求出参数取值后要检验集合元素的互异性，连续数集范围问题可借助数轴辅助分析，所有参数结果最终均需回代合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系求参数 典例1 （多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD.． 题型模版 1.特征：已知元素属于（或不属于）集合，集合中含有参数，利用元素与集合的隶属关系求解参数取值. 2.方法：① 将元素代入集合对应的方程 / 不等式，解出参数候选值； ② 回代检验：把候选参数代回集合，检验集合元素互异性、是否满足题设条件，舍去不符合的解。 注意：集合元素具有互异性，求出参数后必须检验，避免出现重复元素. 变式1-1已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为：． 变式1-2（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD． 变式1-3（多选）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（    ） A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则 【答案】ABC 【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可. 【详解】对于A，若是“阶集”，则，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故B正确； 对于C，若是“阶集”，则，由得出， 当时，，所以，当时，取，，满足， 但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故C是正确； 对于D，若是“阶集”，则， 当，，时，，故不成立，故D错误. 故选：ABC. 类型二、根据集合的包含关系求参数 典例2 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故.． 题型模版 1.特征：给已知两个集合存在包含关系(A⊆B)、(A⊇B)，集合含有参数，求解参数取值或取值范围，容易忽略空集情况. 2.方法：优先考虑空集（空集是任何集合的子集）；再分析非空集合情况，列条件求解参数；最后检验参数，保证条件成立. 变式2-1已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为.． 变式2-2（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD．． 变式2-3设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为.． 题型三、根据交集运算结果求参数 典例3 设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或.． 题型模版 1.特征：给出两个集合的交集结果，集合含有参数，利用交集含义求参数的值或范围；交集是两个集合的公共元素； 2.方法：利用交集结果确定公共元素，得到参数方程求解；求出参数后回代检验集合，保证元素互异性与交集结果符合题意。 变式3-1（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 变式3-2设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10．．． 变式3-3已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为，故. （2）因为，则，且，． 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得，无解， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，且， 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得或，解得. 综上所述，实数的取值范围是.. 题型四、根据并集运算结果求参数 典例4 设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，．． 题型模版 1.特征：给出两个集合并集的运算结果，集合含参数，利用并集含义求参数；并集包含两个集合全部的元素 2.方法：由并集结果找出缺失元素，列方程求参数；务必回代检验集合元素互异性，核对并集结果是否和题干一致 变式4-1设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【分析】先求出集合，再由可知，通过对参数进行分类讨论求出的取值集合. 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为：． 变式4-2（多选）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的并集性质转化为子集关系，再分情况讨论的可能取值，结合元素互异性验证结果即可得解. 【详解】由已知，则，所以的值可能为,或. 由元素互异性可知，， 当时，解得，此时 或，满足题意. 当时，解得，若， 则集合中会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 当时，解得或1，若， 则集合和集合中均会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 因此，实数的值可以为. 故选：ACD.． 变式4-3已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）因为，可知是方程的根， 则，解得． （2）因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． （3）因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为．． 题型五、根据交、并、补混合运算结果求参数 典例5 已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：．． 题型模版 1.特征：题干同时出现交集、并集、补集多种集合运算，集合含有参数，综合多种运算条件求参数的值或者取值范围 2.方法：① 先根据补集运算，确定全集下哪些元素属于集合、哪些不属于集合； ② 再结合交集、并集锁定公共元素与全部元素，列出关于参数的等式或不等式； ③ 求解参数后代回原题检验，核对交、并、补运算结果是否完全匹配题意 变式5-1（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD． 变式5-2设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或.． 变式5-3已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2) 选条件①②③，均有． 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是．． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ，，， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 2．已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 4．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值． 【详解】解：集合，， ，， 若，则， 即有； 若，可得，， 不满足； 若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得或，解得或． 综上可得，或或2. 故选：A. 5．(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 6．（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 7．（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出. 【详解】若，则，得，故A正确； 若，则，则，得，故B正确； 若，则， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，，，得， 综上，，故C正确； 若，则，，且，由C选项可知，， 假设，则，得，故， 综上，，故D错误； 故选：ABC 8．设集合，集合，若且，则实数____. 【答案】0或或1 【分析】且，关于x的方程的根只能是或，但要注意方程有两个相等根的条件是. 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1． 9．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先根据集合非空，得出，然后根据当时，有，得到集合之间的包含关系，计算不等式即可得出答案. 【详解】解：因为非空，故； 当时，，， 当时，有，即，但，矛盾； 当时，，， 当时，有，即，即，故； 当时，，， 当时，有，即，即，解得， 综上，m的取值范围为. 故答案为：． 10．设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件得，即可求解； （2）根据条件得，再对进行讨论，即可求解. 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 12．已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的包含关系，分类讨论建立不等式即可解出结果； （2）根据集合交集得包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1），或，且是的真子集， 当时，则，即时，符合题意； 当时，则或，解得， 综上，的取值范围是； （2）由，可得， 因为或，若或， 当，即时，，满足； 当，即时，或，不满足； 当，即时， 要使，需使，解得． 综上，的取值范围为或. 13．设集合，集合. （1）若集合，求实数的取值范围 （2）若集合中只有一个元素，求实数的值. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）集合中对应表达式为二次函数，等价于，求解即可； （2）解出集合，由集合中只有一个元素判断集合中元素只能有一个，再进行求解即可 【详解】（1），，解得 （2）集合中只有一个元素，若集合， 将代入得或， 将代入得，解得集合，与题设矛盾，舍去； 将代入得，解得集合，符合题意，则满足； 同理，若，将代入得或， 题（1）中不满足条件，舍去， 将代入得，集合，符合题意，则满足 综上所述，实数的值为或． 14．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为.． 15．设集合，，均为实数． (1)当时，求； (2)证明：当时，； (3)若，且，求与的值． 【答案】(1) (2) 解不等式，解得，即， ． 解不等式，解得， ． ，． 要证明，等价于证明且． ，，则， ，，则． 当时，． (3) 【分析】（1）先分别求出集合，再根据并集的定义求解； （2）先分别解出集合，再根据已知条件及集合间的包含关系证明即可； （3）根据集合间的关系，结合已知条件，列出关于和的不等式，进而求解的值． 【详解】（1）当时，， 解不等式得， ， ，解得， ， ． （2）略 （3），则且，解得， ，即集合与的交集不为， 且，解得， 此时满足以下不等式： ① ，②，③，④． 由④可知， 结合不等式②可知必须有，即； 结合不等式③和，可知，即． ． 将代入条件③和④中，得，解得， ，解得， 又②，，经检验，符合所有不等式， 唯一满足的解是．． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合中的含参数问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系求参数 题型二、根据集合的包含关系求参数 题型三、根据交集运算结果求参数 题型四、根据并集运算结果求参数 题型五、根据交、并、补混合运算结果求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合中的含参数问题是高中数学入门重难点，所有题型均围绕元素与集合关系、集合包含关系、集合交并补运算三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是涉及子集关系必须优先讨论空集情况，二是求出参数取值后要检验集合元素的互异性，连续数集范围问题可借助数轴辅助分析，所有参数结果最终均需回代合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系求参数 典例1 （多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 题型模版 1.特征：已知元素属于（或不属于）集合，集合中含有参数，利用元素与集合的隶属关系求解参数取值. 2.方法：① 将元素代入集合对应的方程 / 不等式，解出参数候选值； ② 回代检验：把候选参数代回集合，检验集合元素互异性、是否满足题设条件，舍去不符合的解。 注意：集合元素具有互异性，求出参数后必须检验，避免出现重复元素. 变式1-1已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 变式1-2（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 变式1-3（多选）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（    ） A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则 类型二、根据集合的包含关系求参数 典例2 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 题型模版 1.特征：给已知两个集合存在包含关系(A⊆B)、(A⊇B)，集合含有参数，求解参数取值或取值范围，容易忽略空集情况. 2.方法：优先考虑空集（空集是任何集合的子集）；再分析非空集合情况，列条件求解参数；最后检验参数，保证条件成立. 变式2-1已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 变式2-2（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 变式2-3设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 题型三、根据交集运算结果求参数 典例3 设 ．若 ，求 的取值范围． 题型模版 1.特征：给出两个集合的交集结果，集合含有参数，利用交集含义求参数的值或范围；交集是两个集合的公共元素； 2.方法：利用交集结果确定公共元素，得到参数方程求解；求出参数后回代检验集合，保证元素互异性与交集结果符合题意。 变式3-1（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 变式3-2设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 变式3-3已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 题型四、根据并集运算结果求参数 典例4 设 ，若 ，求 的值． 题型模版 1.特征：给出两个集合并集的运算结果，集合含参数，利用并集含义求参数；并集包含两个集合全部的元素 2.方法：由并集结果找出缺失元素，列方程求参数；务必回代检验集合元素互异性，核对并集结果是否和题干一致 变式4-1设，，且，则实数组成的集合是_______. 变式4-2（多选）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 变式4-3已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 题型五、根据交、并、补混合运算结果求参数 典例5 已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 题型模版 1.特征：题干同时出现交集、并集、补集多种集合运算，集合含有参数，综合多种运算条件求参数的值或者取值范围 2.方法：① 先根据补集运算，确定全集下哪些元素属于集合、哪些不属于集合； ② 再结合交集、并集锁定公共元素与全部元素，列出关于参数的等式或不等式； ③ 求解参数后代回原题检验，核对交、并、补运算结果是否完全匹配题意 变式5-1（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 变式5-2设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 变式5-3已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 2．已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 4．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 6．（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 8．设集合，集合，若且，则实数____. 9．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 10．设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 12．已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 13．设集合，集合. （1）若集合，求实数的取值范围 （2）若集合中只有一个元素，求实数的值. 14．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 15．设集合，，均为实数． (1)当时，求； (2)证明：当时，； (3)若，且，求与的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $