第1章 周末练2 范围：第1章§3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦不等式性质与应用，以作差法、特值法、基本不等式为核心方法，构建"概念理解-性质应用-实际建模"的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|第3题|反例验证法|从不等关系判定到充要条件推理| |比较大小|第2、4题|作差法、特值法|代数变形与实数大小关系的转化| |条件最值|第5、11、13题|基本不等式、配凑法|"一正二定三相等"的应用逻辑| |实际应用|第1、14题|建模转化|将实际问题抽象为不等式模型|

周末练2　范围：第一章§3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A.60＋30n≥300 B.60＋30n≤300 C.60＋30(n－1)≤300 D.60＋30(n－1)≥300 答案　D 解析　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万， ∴60＋30(n－1)≥300. 2.设M＝2a(a－1)＋9，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 答案　A 解析　∵M＝2a(a－1)＋9，N＝(a－2)(a－3)， ∴M－N＝2a2－2a＋9－(a2－5a＋6)＝2a2－2a＋9－a2＋5a－6 ＝a2＋3a＋3＝， ∵∀a∈R，>0恒成立， ∴M－N>0，∴M>N. 3.已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有(　　) A.若a>b>0，ac>bd>0，则c>d B.若<，则a>b C.若ac2>bc2，则a>b D.若>，则a>b 答案　C 解析　a＝3，c＝1，b＝1，d＝2满足a>b>0，ac>bd>0，但c<d，故A错误； a＝－1，b＝1满足<，但a<b，故B错误； 当ac2>bc2时，c2>0，∴a>b，故C正确； >⇒>0⇒b－a>0，故D错误. 4.已知实数0<a<1，则以下不等式关系正确的是(　　) A.a2>>a>－a B.a>a2>>－a C.>a>a2>－a D.>a2>a>－a 答案　C 解析　方法一　∵0<a<1， ∴0<a2<1，>1，－1<－a<0， 由0<a<1，得0<a2<a， 即>1>a>a2>0>－a， ∴>a>a2>－a. 方法二　特值法 取a＝，计算可得选C. 5.已知a>0，b>0，且，则4a＋b的最小值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案　C 解析　方法一　∵a>0，b>0，且， 即＝1， 从而4a＋b＝4(a＋4)＋b－16 ＝[4(a＋4)＋b]－16 ＝15＋－16 ≥2－1＝11， 当且仅当，即a＝，b＝9时，等号成立. ∴4a＋b的最小值为11. 方法二　∵a>0，b>0，， ∴b＝＝3＋. ∴4a＋b＝4a＋＋3＝4(a＋1)＋－1≥2－1＝11. 当且仅当4(a＋1)＝，即a＝，b＝9时，等号成立. ∴4a＋b的最小值为11. 6.“>2”是“>>0”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由>2得－2＝>0， 所以即a>0，b>0，a≠b或a<0，b<0，a≠b， 所以充分性不成立； 由>>0知，b>a>0， 所以≥2＝2， 当且仅当，即a＝b时等号成立， 又因为b>a>0，所以>2，所以必要性成立. 所以“>2”是“>>0”的必要不充分条件. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列不等式正确的是(　　) A.(x－1)2>x(x－2) B.≥ C.a2＋b2≥2(a－b－1) D.a2＋b2≥2ab 答案　ACD 解析　对于A，(x－1)2－x(x－2)＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1>0，∴(x－1)2>x(x－2)，A正确； 对于B，，则a2b2>0，但a2＋b2－1的符号不能确定，B不正确； 对于C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C正确； 对于D，a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，D正确. 8.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a－c)<0 答案　ABD 解析　∵c<b<a且ac<0，∴c<0，a>0，由b>c两边同时乘以a得ab>ac，即A一定成立； ∵b－a<0，∴c(b－a)>0，即B一定成立； b2是非负的，虽然a>c，但当b2＝0时，ab2＝cb2，即C不一定成立； ∵a－c>0，∴ac(a－c)<0，即D一定成立. 9.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.a2＋b2≥8 B.≥ C.≥2 D.≤1 答案　AB 解析　对于A，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴a2＋b2≥＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号，故A恒成立； 对于B，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴ab≤＝4， 当且仅当a＝b＝2时取等号， ∴≥，故B恒成立； 对于C，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴≤＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C不恒成立； 对于D，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴(a＋b)＝1， (a＋b)≥×2＝1， 当且仅当，即a＝b＝2时取等号，故D不恒成立. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.　　　 .(填“>”或“<”) 答案　> 解析　因为＝17＋2， ＝17＋2，所以>，故>. 11.设a>0，b>0，则的最小值为　　　　　　.  答案　6 解析　由a>0，b>0，得＝1＋＋1≥2＋2＝6， 当且仅当，即2a＝b时取等号. 12.已知2<a＋2b≤5，－2≤3a＋b≤1，则7a＋4b的取值范围为　　　　　.  答案　－2<7a＋4b≤7 解析　设7a＋4b＝x(a＋2b)＋y(3a＋b)＝(x＋3y)a＋(2x＋y)b， 所以解得 因为2<a＋2b≤5，－2≤3a＋b≤1， 则－4≤2(3a＋b)≤2， 因此，－2<7a＋4b≤7. 四、解答题(共27分) 13.(13分)(1)已知a，b∈R且a>0，b>0，4a＋b＝1，求ab的最大值；(6分) (2)已知正数a，b满足4ab＝3a＋5b，求5a＋3b的最小值.(7分) 解　(1)因为a，b∈R且a>0，b>0，由基本不等式可得1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时，等号成立，所以0<ab≤， 因此ab的最大值为. (2)由a>0，b>0，4ab＝3a＋5b，得＝4， 则5a＋3b＝(5a＋3b)××≥× ＝×(34＋30)＝16， 当且仅当，即a＝b＝2时，等号成立， 所以5a＋3b的最小值为16. 14.★★(14分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(6分) (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？(8分) 解　(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件的售价为 万元， 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q＝万元. ∴W＝48Q＋－32Q－3－x＝16Q＋(x≥0). (2)∵W＝(x≥0)， ∴W＝ ＝－＋50＝－＋50 ≤－2＋50＝42. 当且仅当，即x＝7时，等号成立. ∴Wmax＝42. ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 学科网（北京）股份有限公司 $