专题02 基本不等式·积最大值·和最小值·对勾最值·1的整体代换五大最值问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 围绕基本不等式五大核心应用场景（积最大、和最小、对勾最值、恒成立、1的代换）设计专项训练，题型覆盖全面，逻辑清晰，通过问题情境发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |积的最大值|10题|给定和/线性关系求乘积最值，含多选辨析|基于“和定积最大”原理，强化正数条件与等号成立验证| |和的最小值|10题|给定积/比例关系求和式最值，涉及三元变量|基于“积定和最小”原理，构建定值条件训练转化能力| |对勾函数最值|10题|含分式函数最值、参数范围及命题判断|结合对勾函数图像特征，深化定义域对最值的影响分析| |恒成立问题|10题|不等式恒成立求参数范围，多结合最值转化|通过“最值法”建立不等式与函数值域的逻辑联系| |1的整体代换|10题|给定线性等式求分式和最值，含三元变量|通过“1”的代换构造基本不等式使用条件，强化模型意识|

专题02 基本不等式·积最大值·和最小值·对勾最值·1的整体代换五大最值问题 题型一 基本不等式求积的最大值 题型二 基本不等式求和的最小值 题型三 对勾函数求最值 题型四 基本不等式恒成立问题 题型五 1的整体代换 题型一 基本不等式求积的最大值 1．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 2．已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 3．（多选）已知，为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A，通过均值不等式求解；B，D，将用表示后代入原式求解范围；C，利用乘上原式不改变式子大小来求解范围. 【详解】选项A，因为，所以，解得， ，所以，故A错误； 选项B，，所以，且等号在时成立，故B正确； 选项C，，等号在时成立，故C正确； 选项D，，等号在时成立，故D正确； 4．（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 【答案】AB 【详解】对于A，由，，有， 则，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，若，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故B正确； 对于C，若，， 则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故C错误； 对于D，若，， 则，即， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故D错误. 5．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 6．（多选）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确； 对于D选项， ， 当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误. 7．（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 8．（多选）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 9．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 10．（多选）已知正实数，满足，则（  ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】利用基本不等式的知识逐一选项验证即可. 【详解】对于选项A，由基本不等式且有， ，所以选项A正确. 对于选项B，，所以最小值是9，故选项B不正确. 对于选项C， 所以的最大值为，故选项C正确. 对于选项D，因为，所以 所以. 配方得， 即，当时，有最小值.故选项D不正确. 题型二 基本不等式求和的最小值 11．（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 12．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 13．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 14．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 15．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 16．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 17．已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 18．若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【分析】将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 19．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 20．已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 题型三 对勾函数求最值 21．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 22．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 23．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 24．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 25．已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 26．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 27．（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 【答案】（1）4；（2）4；（3）. 【分析】（1）（2）应用基本不等式求函数的最小值，注意取值条件； （3）由基本不等式及凑配法求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，当且仅当时取等号，故的最小值为4； （2）由，， 当且仅当时取等号，则的最小值为4； （3）当时，,当，则， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 28．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 29．下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②,，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 30．（多选）已知，，，则下列结论正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求得，设，则，利用对勾函数 单调性求出的最小值，可判断B选项；利用重要不等式可判断C选项；由结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，设，则， 因为对勾函数在上单调递减，故当时，取最小值，即， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：ACD. 题型四 基本不等式恒成立问题 31．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 32．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 33．若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 【答案】 【分析】将展开，利用基本不等式可求出，结合对所有正实数都成立，即可求得答案. 【详解】由题意知为正实数， 则 ， 当且仅当，即时等号成立； 而， 故 ， 等号成立时． 结合不等式对所有正实数都成立， 则，即， 所以的最大值为． 34．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 35．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立的条件求出实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以，则， 因为， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4． 因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 36．已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 37．已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 【答案】 【分析】分离参数得，即，又，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得，恒成立，所以， 又，令， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，即实数a的最小值为， 故答案为：. 38．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【分析】由题设恒成立，结合条件及基本不等式求左侧的最小值，即可求参数的范围，即可得参数最大值. 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故答案为： 39．若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 40．设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B 题型五 1的整体代换 41．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 42．（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 43．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 44．（多选）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，可判定A正确、C错误；B正确；由 ，得到 ，化简得到 ，可判定D不正确. 【详解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 45．已知正实数，满足，则的最小值为____． 【答案】8 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 46．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 47．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 48．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 49．（多选）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 50．（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02基本不等式·积最大值·和最小值对勾最值1的整体代换五大 最值问题 题型归纳 题型一基本不等式求积的最大值 题型二基本不等式求和的最小值 题型三对勾函数求最值 题型四基本不等式恒成立问题 题型五1的整体代换 题型专练 题型一基本不等式求积的最大值 1.C 2.24 【详解】 日g小-286=6，所以-+号 所以2a+3b=1, 若ab≤0，其值必然小于正数，因此仅需考虑a>0,b>0, 根据基本不等式1=2a+36≥2、20x36,所以a6≤ 24,当且仅当a= =4b=石时等号成立， 所以ab的最大值为24 3.BCD 4.AB 5.4 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为0<x<2,可得0<2-x<2, 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则-=教-sxt2=4, 当且仅当x=2-x时，即x=1时，等号成立，所以4x(2-x)的最大值为4. 6.ABC 7.ABC 8.ABD 9.ABD 10.AC 题型二基本不等式求和的最小值 11.AD 12.D 13.C 14.3 【详解】由已知条件可得y=+32 2 :y=r+9z2+6肥= XZ 4xz 任生+小3臣空+03，当且仅气=y苦号取得最个省3 XZ 3 15. 、3 870.375 410.75 【详解】因为x2+4y2=y+z, y xy 1 所以zx2+4y-yx+4'-1, y 因为x>0,y>0,所以y+E 5+4≥24=4，当且仅当x=2y'y>0时等号成立， 所以当x=2y:y>0时，兰取最大值写， 所以当？取最大值时，x=2y号-号y>0: xy1 所以z=3y=6y2, 所--6-y--，0 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3 所以当y=4时，z-x-y取最小值8 此时，x=2y=2× 42,x+y=+ 11 _11_3 244 16.A 17.4 【详解】因为a+b=2, 5 4 2 则。+26的最小值是4，当且仅当a=3b=3时取等号. 18.2 a+252+4d≥2ab+40c=2, 【详解】因为a+2b+4c2=a2+b2+2+4c2≥2ab+4bc:所以b+2bc ab+2bc 当且仅当a=b=2c时取等号， 2+2b2+4c2 即 ab+2bc 的最小值是2 19.B 20.3 【详解1由题意得：+y-兮引+列-写5+士+兮5+225+4到-3， y4x x y 当14= 时，即 时，等号成立 =3 x y y=2x=2 题型三对勾函数求最值 21.10 【详解】若x>1,则x-1>0, 所以函数y=2x-+8+2≥22(x-归名+2=10， x-1 x-1 当且仅当2(x-)=8 -1,即x=3时等号成立， 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 故函数y=2x+x。的最小值为10 22.C 23. 【详解】因为关于x的不等式ax-b≤1解集为[3，+o),即不等式ax≤b+1解集为[3，+∞)， a<0 所以3a=b+1:所以6=3a-1 1 1 故2a+ b-2 =2a +3a-3令1=a-1<-1 30-32+0+=21+ 则2a+ 1 3t +2 3t 令f0=21++2,其中1<1 由对勾函数的单调性可知，函数0在()上为增函数，故0-)=-2-+2= -3； 1 因此2a+ 24.(1,4) 【详解】已知()=x+贺在L,2)上存在最小值。 当m>0时，函数为对勾函数，在x=Vm处取得最小值， 为使最小值点落在区间(1,2)内，需1<Vm<2,解得1<m<4, 当m≤0时，函数单调递增，在区间（山，2）内不存在最小值点， 因此实数m的取值范围是(1,4). 25.6 【详解】因为x>1,所以x-1>0, 所以f(x)=x+4 71=x-144 +x+222x-14+2=2x2+2=6, x-1 当且仅当x-1=4 =x-1即x=3时等号成立， 所以当x=3时，f(x)取得最小值，为f(3)=6. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：6. 26.ACD 1 27.(1)4:(2)4:(3)8 【详解】(1)由题设y=x+4≥2x4 -4，当且仅当x-2时取等号，故)=+的最小植为4 4 xV x -2-2+1 2)曲x-2>0y=x+ +2+22222+2=4， 当且仅当x=3时取等号，则y=x+1 +x-2的最小值为4； (3)当2x≤1时，y=x1-2x<0,当0≤x≤ 2,则 0≤y=01-2-22x1-24s)x2x+1-2- 2 4 8 当且仅当2x=1-2x台x=4时取等号，则y=x(1-2x)的最大值为8 28.C 29.B 30.ACD 题型四基本不等式恒成立问题 31.C 32.6 【详解】因“3a>b>0。+6>t欢 a-b ”是假命题，故命题的否定为0>b>0'a+6s口+36 a-b 为真命题， d+36-d +3 分离参数可得：1≤a-b a2+3b2 b b2 ab-b2= a-1 令g-1=4>0,所以2≤+旷+3_+21+4-1+4+2，所以1+4+2264+2=6， t t 当且仅当=7，即1=2时等号成立， 即当a=3b时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以九的最大值为6. 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33. 2V86 43 【详解】由题意知a,b为正实数， 则√20a+23b6 20a+23b+√23a+20b √23a+20b √23a+20b V20a+23b +222 V23a+20b√20a+23b +2=4, √20a+23b V23a+20b V√20a+23b√23a+20b √23a+20b√20a+23b 当且仅当J20a+23b 23a+206,即a=b时等号成立： 而V20a+23b+V23a+20b≤√2(20a+23b+23a+20b), 1 1 4 故J20a+236+J23a+206≥V20a+23b+V23a+206 4 √2(20a+23b+23a+20b)V86√a+b, 等号成立时a=b. 1 结合不等式20a+236+23a+206之Ja+b对所有正实数a,b都成立， 则m+b86.a+b,即2s=2V86 4 =≤ V8643, V86 所以，的最大值为 43 34.1,2] 【详解】因为2+y-y=(x+y)}-3y=1, 且白英木不等式得≤任+，当且仅当xy时特号成立。 4 所以(x+-3河2(x+-x+明=4(x+. 即4(c+≤1，得到(x+y)≤4，解得-2≤x+y≤2， 故x+y的最小值为-2，要使x+y≥k2-3k恒成立， 即-2≥k2-3k成立，解得k∈[1,2] 故答案为：1,2] 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(-00,2) 11=2-a+2b=1+1m1+1+1-1+1+1+1=2+1 【详解】因为a+26=2所以ab2a6-2aba+2b,则。+2b+aba+2b+a2ba+6 因后+e+2-+台别42鲁月-4 111 当且仅当。-方，即a=1,b=2时，等号成立，则。十26+6的最小值是4. 1,1,1、1 因为。+26+b>2m恒成立，所以m<8所以m<2 所以m的取值范围是（一o,2)】 故答案为：（-o,2)」 36.6+25 【详解】因为x>0,y>0,且x+y=l,由my≤4x+1=4x+x+y=5x+y, 可得m≤y+5r=1+5 xy x y' 2+5=x++3=6+2+5x≥6+2 由基本不等式可得。y 2.5x=6+25, x y Vx y x y x=5-1 当且仅当x+y=1时，即当 ·4时，等号成立， x>0,y>0 5-5 y= 4 15 所以x+的最小值为6+25，则m≤6+2W5,故实数m的最大值为6+25 故答案为：6+2V5. 37. V2+1 2 【详解】由愿意可得，a≥m+m”恒成立，所以a≥ m2+mn Γm2+n2 m2+n2 max m2+mn 1+n m 又m2+7 1+3’令】 令1+”=>01 m 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+口 则1+0--21*2+ t t 1 1 1V2+1 = 一≤ -22k.2-222-22 2 2 1+ 3 t 子即州=2-1时取等号。 当且仅当1= m 所以a22+1 2， 即实数a的最小值为5+l 2, 2+1 故答案为： 2 8 38.5 2x+3+2≥m+2恒成立， 【详解】不等式2中+v十2m-220恒成立，等价干x+y+2m1 由x,y>0,2x+y=1,得y+2=3-2x>0, .2x+322x+322(x+1)+1,2 x+1'y+2x+13-2xx+13-2x =2+21+1 气2x+23-2x -2+2x+246-22x2*2x 2x+23-2x =2+8 2x+2_3-2x 1 1 当且仅当3-=22x+2,即x= =2时，等号成立， 8 .8 所以m+2≤2+兮，即m≤亏 8 故答案为： 39.（-∞，2V2+1 等号成立时x=V2+1, 因x+ =2W2+1, x-11 故实数m的取值范围是（-∞，2V2+1. 8/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： -0,2W2+1 40.B 题型五1的整体代换 4 41.3 11=1 【详解】令m+2n=x,2m+n=y:所以x+y=3m+m,且x+y 因为m>0,n>0,所以x>0,y>0, 所以m+n=+x+ 11 =0+x+上+0 1 3 32+25-4 Vy x'3' 当且仅当疗立时，等号成立，即k=房以+2n=2m+n 一+。1=1，此时m=n= 2 所以m=n'又因为m+2n+2m+n 3 2 4 所以当m=n=与时，m+n的最小值为3 42.BC 43.A 44.AB 45.8 3 46.215 +4x+)=1+2+4红+4=5+2+4≥5+2 【详解】因为xy) 2.4x=5+4=9, x y x y x y }+功n 9/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又x+=等不等欢中的9， 1.4、31.43 解不等式得十之2，或十2 1,4、3 己知x>0:y>0:则x+少2： 14 3 故x+y的最小值为2： 47.8+4V3 x+(y+_(x+x+2y)y+x+2y)_(2x+2y)x+3y) 【详解】由x+2y=1可得 也 -2x2+8gy+6y_2x+y+8222x+8=8+4W5, y y x Vy x 2x_6y 当且仅当y=x,即x=V3y,也即x=2W5-3”y=2-V5时等号成立， x+1)(y+) 即 y 的最小值为g+43 48.4+√2 【详解】a>b>0,则 8 a+ +1-a+b+8+a-b+122,a+bx8+2,bxL=4+2 a+b'a-b 2 a+b 2 a-b 2a+b'2a-b a23 b=22时取等号， 2 当且仅当a+b=4时，即 a-b=2 2 即a+ 8 +a+ba-b的最小值为4+√2 49.BCD 50.BC 10110 专题02 基本不等式·积最大值·和最小值·对勾最值·1的整体代换五大最值问题 题型一 基本不等式求积的最大值 题型二 基本不等式求和的最小值 题型三 对勾函数求最值 题型四 基本不等式恒成立问题 题型五 1的整体代换 题型一 基本不等式求积的最大值 1．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 3．（多选）已知，为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 5．若，则的最大值为________． 6．（多选）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 7．（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 8．（多选）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 9．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 10．（多选）已知正实数，满足，则（  ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 题型二 基本不等式求和的最小值 11．（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 12．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 13．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 14．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 15．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 16．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 17．已知，满足，则的最小值是______________． 18．若，，都是正实数，则的最小值为____________． 19．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 20．已知实数，，且，则的最小值是__________． 题型三 对勾函数求最值 21．若，则函数的最小值为_____. 22．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 23．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 24．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 25．已知，若，的最小值为__________. 26．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 27．（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 28．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 29．下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 30．（多选）已知，，，则下列结论正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型四 基本不等式恒成立问题 31．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 32．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 33．若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 34．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 35．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 36．已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 37．已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 38．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 39．若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 40．设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 题型五 1的整体代换 41．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 42．（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 43．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 44．（多选）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 45．已知正实数，满足，则的最小值为____． 46．已知，且，则的最小值为_____________． 47．已知，，，则的最小值为____． 48．已知，则的最小值为_____． 49．（多选）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 50．（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $