专题04 分式不等式、高次不等式穿根法（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 以穿针引线法为核心，构建“高次整式-分式转化-含参综合”三级递进训练体系，强化化归思想与参数讨论的推理能力，培养模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高次整式不等式|核心题型|穿针引线法|概念生成：整式零点分布基础| |分式不等式|8题|转化为整式高次不等式|原理推导：分式化整式的等价变形| |含参数分式不等式|7题|参数分类讨论|应用拓展：结合集合、函数的值域综合应用|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04分式不等式、高次不等式穿根法 题型归纳 题型一高次整式不等式（穿针引线法核心题型） 题型二分式不等式（转化为整式高次不等式） 题型三含参数分式不等式 题型专练 题型一：高次整式不等式（穿针引线法核心题型） 1不等式x2-x)(x-12(x+1)3≥0的解集是( A.（-o,-1]U[0,2] B.[-1,0]U[2,+oo c.[-1,0]U[1,2] D.（-o,-1]U[0,1]U[2,+∞） 题型二分式不等式（转化为整式高次不等式） 1不等式2的解架为() A.{x<2或x≥5} B.{xx≤2或x25} c.{x2<x≤5到 D.{2≤x≤5列 x-3 2.在下列不等式中，与不等式2二≥0同解的是 A.(x-3(2-x)≥0 B. 3-x20 x-2 c.0 D.(x-3)(2-x)>0 4 3.不等式x+21的解集为() A.(-o,-2]U[2,+0) B.（-2,2) c.（-o,-2U[2,+∞) D.[-2,2] 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-3×>0的解集为 4.不等式x-1 A-,2 8号 c(-u1,*w0层 “x1≤2”的个充分不必要条件是 5.43 A0<x< B-1<x2 C.x<-1或x2> D.x>1 2 1-x≥0的解集为 6.不等式 A.{x|0≤x≤1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x≤0或x≥1} D.{x|x<0或x=1} X-3 7.不等式x-1 ≤0的解集是( ) A.{x|1<x≤3} B.{x1<x<3} C.{x|1≤x≤3} D.{x|x≤3} 3x-1 8.不等式2-x 21的解集为 2 {≤x<2 D. 3 题型三含参数分式不等式 x+b)(x+c) 1.不等式 ≤0的解集为x|-1≤x<2或x之3}，则b+c=( Q-X A.-5 B.-2 c.1 D.3 2.已知关于X的不等式aX+bx+c≥0的解失为灯[-2.3].则+书≥0的解朱为 ax-b A哈 B.[-3,2] c-,lu[-言+o) 。-1,-剖 4x+1 3,若不等式ax2+bx-2>0和不等式X+2 <0的解集相同，则a+b的值为 A.-18 B.-13 C.8 D.1 213 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.回答下面两个题 (1)解不等式： (x-2x-D20 (x+3)2 2)已知集合A={x2-4x-5≤0}，B={x2-2x-m<0} ①当m=3时，求A∩CB: ②若AnB={d-1≤x<4,求实数m的值 5.解关于x的不等式 -x-1276 x+2 (2)x2-2x+1-a2≤0 6.(1)求解高次不等式 x-2x≤0的解集A, x-1 （2)若f()=1-2xx42a 1 的值域为B,AUB=B求实数。的取值范围. 7.来含4x208=r+u-x-和：若4na-5小. 求的取 值范围： (2)设函数f)=m+2,不等式/x)<6的解集为(-1,2)试求不等式f可≤1的解集 313 专题04 分式不等式、高次不等式穿根法 题型一 高次整式不等式（穿针引线法核心题型） 题型二 分式不等式（转化为整式高次不等式） 题型三 含参数分式不等式 题型一：高次整式不等式（穿针引线法核心题型） 1..不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了高次不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题． 不等式化简为不等式，利用数轴穿根的方法从而解出的取值． 【解答】 解：不等式， 即， 利用数轴穿根法，根据“奇穿偶不穿”画大致图象如下： 所以不等式的解集为  故选A． 题型二 分式不等式（转化为整式高次不等式） 1．不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解. 【详解】由得，即， 解得或. 故原不等式的解集为或. 故选：A. 2．在下列不等式中，与不等式同解的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式不等式的解法，分别求得题设中的不等式和选项中的不等式的解集，即可求解. 【详解】由题意，不等式等价于，解得， 对于A中，不等式等价于，解得； 对于B中，不等式等价于不等式组，解得； 对于C中，不等式等价于，解得； 对于D中，不等式等价于，解得， 所以不等式与不等式的解集是相同的. 故选B. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法及应用，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 4.不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查分式不等式的解法，属于基础题． 将分式不等式转化为二次不等式求解即可． 【解答】 解：不等式可转化成， 解得． 故选：． 5.“”的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查充分不必要条件的应用，分式不等式与高次不等式，属于基础题． 求出不等式的解，逐个选项判断，即可得答案． 【解答】 解：可变形为， 解得或， 由于，均推不出或，故A，选项不合题意； 中条件和“”等价，为充要条件，不合题意， 中时，一定有或成立，反之不成立， 故是“”的一个充分不必要条件． 故选：． 6.不等式的解集为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查分式不等式的解法，属于基础题． 把分式不等式转化为整式不等式，即可解得． 【解答】 解：由原式得且，解得， 即不等式的解集为． 故选：． 7.不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键，是基础题． 将分式不等式转化为整式不等式即可得到结论． 【解答】 解：不等式等价为， 即， ， 则不等式的解集为：． 故选：． 8.不等式的解集为    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】  本题考查了分式不等式的解法，是基础题． 解分式不等式过程中一定要注意去分母时分母的正负以及其不为零的情况，故不等式两边同时乘以，最终求得正确答案 【解答】 解：由题意得， 则 所以不等式的解集为． 故选：． 题型三 含参数分式不等式 1.不等式的解集为或，则  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查分式不等式，含参数的不等式的解法． 根据不等式的解集为或，易得，，的值，进而求得结果． 【解答】 解：由不等式的解集为：或， 分析解集可得取不到，故必然为， 易得，，或，，， 故． 故选B． 2.已知关于的不等式的解集为，则的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查分式不等式与高次不等式，二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题． 由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得，，的关系，然后结合分式不等式的求解即可． 【解答】 解：因为不等式的解集为， 所以且，是的根， 所以， 所以，，， 则可转化为， 即， 解得，． 故选：． 3.若不等式和不等式的解集相同，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了分式不等式的解法和一元二次方程与相应不等式的关系，属于一般题． 解不等式，得到不等式的解集，从而得到方程的两根，由韦达定理求、的值即可解题． 【解答】 解：不等式等价于， 解得：， 不等式和不等式的解集相同， 不等式的解集为， 由方程与不等式的关系可知：的两根为：， 由韦达定理：，解得：，， 故． 故选B． 4．回答下面两个题 (1)解不等式： (2)已知集合． ①当时，求： ②若，求实数的值 【答案】(1) (2)①；②8 【分析】（1）首先将分式不等式转化为，即可求解； （2）①分别求解两个不等式，再求集合的运算结果；②根据不等式的解集与不等式对应方程的根的关系，即可求解. 【详解】（1），解得：或，且， 所以不等式的解集为； （2）①，得，即， 当时，，解得：，即， ； ②， 的根， 即． 当时．此时，满足条件， . 5．解关于x的不等式 (1) (2) 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）解分式不等式可化为整式不等式（即高次不等式），然后求出不等式左边的根，按从小到大顺序排列在数轴上（可画出正负变化趋势），然后写出解集； （2）求出对应方程的两根和，根据两根的大小分类写出不等式的解集． 【详解】（1）原不等式化为，等价于， 所以或． 故不等式的解集为. （2）由， 即[][]≤0， ①当时，， ②当时，≤≤， ③当时，≤≤， 综上：当时，不等式解集为{1}；       当时，不等式解集为；       当时，不等式解集为. 6．（1）求解高次不等式的解集A； （2）若的值域为B,AB=B求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围． 【详解】（1）①当时，原不等式成立． ②当时，原不等式等价于， 解得. 综上可得原不等式的解集为， ∴． （2）由题意得函数在区间上单调递减， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义． 7．（1）集合，，若，求的取值范围； （2）设函数，不等式的解集为，试求不等式的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先分别求出集合，再根据，即可求解； （2）先根据的解集为，求出，再利用分式不等式的解法即可求出的解集． 【详解】解：（1）， 即， 即， 解得：， ， 即， 又， 故， 即； （2）， 即， 即， 即的解集为， 方程的两根分别为：， 由韦达定理得： ， 解得：， ， ，即， 即， 即， 即， 解得：或， 故原不等式的解集为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $