专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式六大常考问题（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式六大常考问题 题型一 解不含参数的一元二次不等式 题型二 解含参数的一元二次不等式 题型三 利用一元二次不等式的解集求参数 题型四 一元二次方程根的分布问题 题型五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 题型六 一元二次不等式的实际应用问题 题型一：解不含参数的一元二次不等式 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 6．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 7．不等式的解集为____________． 8．不等式 的解集为__________． 9．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 10．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 题型二：解含参数的一元二次不等式 1．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 3．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 4．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 7．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 8．若，则关于的不等式的解集为________________． 9．解关于的不等式． 10．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 题型三：利用一元二次不等式的解集求参数 1．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 6．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 8．不等式的解集为，则k的取值范围是__________. 9．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式有且只有3个整数解，求实数的取值范围. 10．已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 题型四：一元二次方程根的分布问题 1．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 3．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 6．（多选）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 7．方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 8．若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 9．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 10．已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 题型五：一元二次不等式的恒成立与有解问题 1．已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的不等式.对任意恒成立，则k的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 5．（多选）命题“”为真命题的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 7．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 8．若，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 9．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 10．记不等式为不等式（*）． (1)当时，解关于的不等式（*）； (2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； (3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 题型六：一元二次不等式的实际应用问题 1．为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 2．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（   ） A．2816元 B．3116元 C．3276元 D．3600元 3．若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 4．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 5．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 6．某科技公司拟安装一种使用寿命为6年的自来水净化设备，这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（，单位：平方米）成正比，比例系数为0.5.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系式为．将该企业的净水设备购置费与安装后6年需缴纳的水费之和记为y（单位：万元）．要使y不超过10万元，则x的最大值为______；当______时，y的值最小． 7．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 8．某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车车速有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为_______ 9．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式六大常考问题 题型一 解不含参数的一元二次不等式 题型二 解含参数的一元二次不等式 题型三 利用一元二次不等式的解集求参数 题型四 一元二次方程根的分布问题 题型五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 题型六 一元二次不等式的实际应用问题 题型一：解不含参数的一元二次不等式 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】ABD 6．【答案】ACD 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】(1)(2)(3) 10．【答案】(1)(2)(3) 题型二：解含参数的一元二次不等式 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】ABD 6．【答案】ABD 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 10．【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 题型三：利用一元二次不等式的解集求参数 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】ABD 6．【答案】BC 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】(1)(2)(3) 10．【答案】(1)因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即， 所以，且，即为定值 (2) (3) 题型四：一元二次方程根的分布问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】ABD 6．【答案】ABC 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】(1)(2)2 10．【答案】(1)(2) 题型五：一元二次不等式的恒成立与有解问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】BD 6．【答案】CD 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 10．【答案】(1)时，解集为，时，解集为(2)(3)1 题型六：一元二次不等式的实际应用问题 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】ACD 6．【答案】 11 7 7．【答案】公里小时 8．【答案】 9．【答案】(1)人；(2)存在，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式六大常考问题 题型一 解不含参数的一元二次不等式 题型二 解含参数的一元二次不等式 题型三 利用一元二次不等式的解集求参数 题型四 一元二次方程根的分布问题 题型五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 题型六 一元二次不等式的实际应用问题 题型一：解不含参数的一元二次不等式 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 或， 所以. 2．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 3．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 5．（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 6．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 7．不等式的解集为____________． 【答案】 【详解】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 8．不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 9．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程的根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 10．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）将不等式化简为，即 解得x＞1或，则解集为. （2）将不等式化简为， 因为， 所以该不等式无实数解，即解集为. （3）因为，即，所以通分可得， 则，解得， 所以解集为． 题型二：解含参数的一元二次不等式 1．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 2．当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由，不等式可化为，因为的解集为，，结合一元二次不等式解法可得结论. 【详解】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确． 故选：D 3．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况讨论，结合一元二次函数图象解不等式. 【详解】若，则等价于， 若，则不等式的解集为，故B不符合题意； 若，则不等式的解集为，故D不符合题意； 若，则不等式的解集为，故C不符合题意； 若，则等价于， 则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为， 综上可知，A选项符合题意. 故选：A 4．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 5．（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 6．（多选）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对不等式中的参数讨论分析即可． 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：ABD 7．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．若，则关于的不等式的解集为________________． 【答案】 【分析】根据的范围，判断根的大小关系，结合二次函数开口方向即可得解. 【详解】， 因为，方程的两根为，且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 9．解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 10．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 题型三：利用一元二次不等式的解集求参数 1．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 2．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 3．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 4．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于的不等式的解集是，分析得到且即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是，所以可知， 所以原不等式可化为 显然是方程的两根， 所以只须，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 5．（多选）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【分析】根据已知得，结合各项的描述及一元二次不等式的解法依次分析各项的正误即可. 【详解】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 6．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分析可知方程有两个根和2，且，利用韦达定理可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为不等式的解集为， 可知方程有两个根和2，且，故A正确； 则，解得， 则，故B错误； 则，故C错误； 则，故D正确. 故选：BC. 7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论， 数形结合列出不等式，求解即得参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，符合题意； 当时，需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 8．不等式的解集为，则k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论.当时，可看作函数恒成立，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】①当,得,解集为,符合题意； ②当,要使在时恒成立，则有, 解得. 综上，. 9．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式有且只有3个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）解一元二次不等式即可得解； （3）根据的不同取值范围分类讨论解不等式，再由解集中含有3个整数求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不是； 当时，恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 所以不等式的解集为. （3）当时，，解得，不符合题意； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为，至多有1个整数解， 因为有且只有3个整数解，所以不符合题意； 当，即时，的解为空集，不符合题意； 当，即时，的解为， 因为有且只有3个整数解，所以，解得； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为或，不符合题意； 综上，实数的取值范围为. 10．已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) 因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即， 所以，且，即为定值 (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与对应方程的根的关系得，，再整体代换即可证明； （2）根据基本不等式“1”的用法求解即可； （3）由题知，，进而代入化简整理得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为 （3）因为，所以， 因为，所以，即，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 题型四：一元二次方程根的分布问题 1．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 2．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 3．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可. 【详解】令 由题可知： 则，即 故选：C 4．方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 5．（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 6．（多选）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【分析】A将代入方程左侧使其值小于零即可；B依据以及韦达定理即可判断；C根据求出其充要条件再判断；D化简得出方程无实根. 【详解】A选项，方程有一个正根一个负根，等价于，即， 是方程有一个正根一个负根的充要条件，A正确； B选项，方程有两个正根，等价于，即， 是方程有两个正根的充要条件，B正确； C选项，方程无实数根，等价于，即， 而是的必要不充分条件， 则方程无实数根的一个必要条件是，C正确； D选项，当时，方程无实数根，D错误． 故选：ABC． 7．方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 8．若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 【答案】 【分析】设，根据题意，且，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，， 且两根均大于1， 设， 则，则， 且，则， 所以，则整数m的值为. 故答案为： 9．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以． 10．已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）分析可知方程有两个正实根，根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为、，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. （2）由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 题型五：一元二次不等式的恒成立与有解问题 1．已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求得的最小值为，通过解不等式，求得实数m的取值范围. 【详解】由，得. 因为x，y为正实数，所以，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以. 所以. 若存在上述x，y，使得不等式有解，则，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 2．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 3．当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 4．已知关于x的不等式.对任意恒成立，则k的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】依题意，分和两种情况，结合二次函数的图象列出不等式，求解即得. 【详解】由关于x的不等式.对任意恒成立， 当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时，需使，解得, 综上，可得k的取值范围是. 故选：C. 5．（多选）命题“”为真命题的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论研究命题为真时的参数范围，再由必要不充分条件的定义确定满足要求的范围即可. 【详解】当时，恒成立，满足要求， 当时，要使命题为真，则，可得， 综上，命题为真的充要条件为， 所以，是该命题为真对应必要不充分条件的真子集，显然只有B、D满足. 故选：BD 6．（多选）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得， 选项中满足是集合真子集的是CD. 所以所求充分不必要条件是CD. 故选：CD 7．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 8．若，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 9．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以，解得：． （2）由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 10．记不等式为不等式（*）． (1)当时，解关于的不等式（*）； (2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； (3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 【答案】(1)时，解集为，时，解集为 (2) (3)1 【分析】（1）分和两种情况解不等式即可； （2）以为主元进行因式分解得，结合可求解集，根据题意可得，求解即可； （3）令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质可求解. 【详解】（1）当时， 当时，易知的解集是； 当时，不等式（*）为， 于是， 由知，则（*）的解集是． 综上所述：当时，的解集是； 由，（*）的解集是． （2）当时，， 即． 当时，， 则不等式（*）的解集是 注意到， 故解集中三个整数为0，1，2，则，即 所以实数的取值范围是． （3）不等式（*）整理为 令，注意到为的零点． 当时，在不恒成立； 当时，由及二次函数图像知， 是的不变号零点且二次函数图象开口向下 则且，则 则，当时，取最大值为1． 此时，，则满足题意． 所以的最大值为1． 题型六：一元二次不等式的实际应用问题 1．为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 【答案】A 【分析】使用换元法将问题转化为一元二次函数的最值问题求解即可. 【详解】当甲大棚的投入资金为时，乙大棚的投入资金为， 所以， 由，可得，令，则， 得到， 因为，所以当， 即时，最大，最大值为282，故A正确. 2．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（   ） A．2816元 B．3116元 C．3276元 D．3600元 【答案】B 【分析】由题意建立利润的函数，结合二次函数性质求最值可得. 【详解】设红灯笼每对售价提高元，一天获得利润为元. 由题意得. 因为销售单价不高于每对68元，所以， 所以当时， 即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得利润最大，最大值为3116元. 故选：B. 3．若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】A 【分析】设销售定价为元，根据题意求出销售量，月利润的表达式，利用二次函数即可求出. 【详解】设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 4．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 设投资这两座城市收益为， 则有， 令，则有， 该二次函数的对称轴为，且开口向下， 所以， 故选：B 5．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 6．某科技公司拟安装一种使用寿命为6年的自来水净化设备，这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（，单位：平方米）成正比，比例系数为0.5.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系式为．将该企业的净水设备购置费与安装后6年需缴纳的水费之和记为y（单位：万元）．要使y不超过10万元，则x的最大值为______；当______时，y的值最小． 【答案】 11 7 【分析】建立起关于的函数，令，解不等式可得第一个空答案；利用基本不等式求函数最值，可得到第二空答案. 【详解】由题意得（）． 要满足题意，即，即：， 整理得：， 解得：， 故的最大值为11. ， 当且仅当，即时等号成立．所以当时，的值最小． 故答案为：11；7 7．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 8．某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车车速有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为_______ 【答案】 【解析】利用函数关系式，根据在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，建立不等关系，解不等式即可求得结论． 【详解】因为这种车的刹车距离不小于， 所以， 移项、整理、化简得不等式． 即 ， 因为 所以可得． 这辆汽车刹车前的车速至少为80． 故答案为：80 9．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $