专题03 常用逻辑用语综合问题五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴提升”为主线，系统构建常用逻辑用语问题的解题方法体系，强化推理意识与逻辑联系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|四大核心（条件判定、参数求解、命题真假、充要证明）+四底线原则（方向、集合转化、变量范围、双向证明）|从逻辑概念本质出发，建立条件与集合、命题与参数的关联| |题型归纳|5类（含5典例+15变式）|条件判定用双向推出，参数求解转化集合包含，充要证明分双向书写，命题真假用否定转化，综合应用融合多模块|按“概念理解-简单应用-综合迁移”递进，覆盖逻辑用语全考点| |压轴挑战|15题|复杂情境下逻辑关系分析，多知识点交叉应用|通过高难问题提升逻辑推理上限，强化知识间逻辑链条|

专题03 常用逻辑用语综合问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件、必要条件的判定与探求 题型二、利用充分条件、必要条件求参数 题型三、充要条件的证明 题型四、根据命题的真假求参数 题型五、常用逻辑用语的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 常用逻辑用语问题是高中数学逻辑推理板块的核心题型，所有题型均围绕充分条件与必要条件判定、利用条件求参数、命题真假辨析、充要条件证明四大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是精准区分充分性与必要性，理清推导方向不可颠倒，二是充分利用集合包含关系转化充分、必要条件，三是命题类问题留意变量取值范围，谨防隐含限制条件，四是充要条件证明务必分充分性、必要性双向书写，所有参数结果与推导结论最终均需回代检验逻辑是否成立。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件、必要条件的判定与探求 典例1-1是的______条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空）． 典例1-2（多选）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出命题（方程、不等式、集合），判定充分、必要条件；或已知命题成立，探求参数的充分、必要、充要条件. 2.方法：①分清条件与结论，判断双向推出关系； ②探求充要条件：写出命题成立全部限制条件，解出参数范围； ③探求充分不必要条件：在充要条件范围内选取部分范围； ④探求必要不充分条件：扩大充要条件的范围。 易错警示：探求条件时，区分 “充要”“充分不必要”，不要混淆子集方向. 变式1-1请写出“”的一个必要不充分条件：________________________． 变式1-2现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-3记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 类型二、利用充分条件、必要条件求参数 典例2 设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 题型模版 1.特征：已知p是q的充分条件、必要条件或者充要条件，以此为依据求解参数的取值或取值范围；常以集合、不等式、方程为命题背景. 2.方法：（1）把将充分、必要条件转化为集合之间的包含关系 若p是q的充分条件，则p对应的集合是q对应集合的子集 若p是q的必要条件，则q对应的集合是p对应集合的子集 若p是q的充要条件，则两个集合相等 （2）易错警示 搞反子集方向：充分条件⇒条件集合被包含，必要条件⇒结论集合被包含，做题最容易写反； 忽略区间端点，直接写不等号，不检验等号成立是否满足题意。 变式2-1条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 变式2-2若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 变式2-3已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 题型三、充要条件的证明 典例3 已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 题型模版 1.特征：证明命题p是命题q的充要条件；分为充分性与必要性两个方向完成证明，背景可以是等式、不等式、集合、几何、方程等； 2.方法：（1）充要条件证明必须分两步： ①证明充分性：由条件p出发，推导得到结论q ②证明必要性：由结论q出发，推导得到条件p 只有两个方向都推得成立，才能说明p是q的充要条件。 （2）书写规范注意：看清题意，分清谁是条件，谁是结论，不要把充分性、必要性搞颠倒。 变式3-1已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 变式3-2已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 变式3-3已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 题型四、根据命题的真假求参数 典例4 设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：已知全称量词命题、存在量词命题为真或者为假，求解参数的取值范围；命题背景常为不等式、方程、函数 2.方法：（1）分清命题类型： 全称命题：对集合内所有元素都满足条件，命题才为真；只要有一个不满足，命题即为假。 存在命题：集合内至少有一个元素满足条件，命题就为真；全部元素都不满足，命题才为假。 （2）转化处理思路 ①命题为真：直接写出对应的不等式、等式恒成立或有解条件； ②命题为假：可以先写出它的否定命题，将 “原命题为假” 等价转化为 “否定命题为真”，再求参数。 （3）求解不等式之后检验边界取值。 变式4-1已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 变式4-2已知命题任意满足，都有恒成立； 命题：存在，使得成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个为真，求实数的取值范围. 变式4-3已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 题型五、常用逻辑用语的综合应用 典例5 已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：把充分必要条件、全称存在命题、命题真假判断融合在一起，经常和集合、不等式结合；题干一般给出两个命题，已知命题的真假关系，求解参数范围，是本章章末综合大题 2.方法：范围与最值问题需要命题转为对应取值集合。 ①小范围可以推出大范围，注意空集。 ②都成立取公共部分，有一个成立就合并范围。 ③全部满足：整个范围落在解区内；存在满足：两个范围有重叠。 ④算完检验边界数值。 变式5-1（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 变式5-2 （1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 变式5-3已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 4．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 5．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（　　） A． B． C． D． 8．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 9．“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 10．已知命题，命题有实数根，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________. 11．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 12．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 13．已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 14．已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 15．根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 常用逻辑用语综合问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件、必要条件的判定与探求 题型二、利用充分条件、必要条件求参数 题型三、充要条件的证明 题型四、根据命题的真假求参数 题型五、常用逻辑用语的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 常用逻辑用语问题是高中数学逻辑推理板块的核心题型，所有题型均围绕充分条件与必要条件判定、利用条件求参数、命题真假辨析、充要条件证明四大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是精准区分充分性与必要性，理清推导方向不可颠倒，二是充分利用集合包含关系转化充分、必要条件，三是命题类问题留意变量取值范围，谨防隐含限制条件，四是充要条件证明务必分充分性、必要性双向书写，所有参数结果与推导结论最终均需回代检验逻辑是否成立。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件、必要条件的判定与探求 典例1-1是的______条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空）． 【答案】必要不充分 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】依题意，，则， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分． 典例1-2（多选）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 题型模版 1.特征：给出命题（方程、不等式、集合），判定充分、必要条件；或已知命题成立，探求参数的充分、必要、充要条件. 2.方法：①分清条件与结论，判断双向推出关系； ②探求充要条件：写出命题成立全部限制条件，解出参数范围； ③探求充分不必要条件：在充要条件范围内选取部分范围； ④探求必要不充分条件：扩大充要条件的范围。 易错警示：探求条件时，区分 “充要”“充分不必要”，不要混淆子集方向. 变式1-1请写出“”的一个必要不充分条件：________________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 变式1-2现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件．． 变式1-3记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D.． 类型二、利用充分条件、必要条件求参数 典例2 设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】若是的充分不必要条件，则是的真子集，结合集合包含关系即可求解； 若是的必要条件，则，结合集合包含关系即可求解． 【详解】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为.． 题型模版 1.特征：已知p是q的充分条件、必要条件或者充要条件，以此为依据求解参数的取值或取值范围；常以集合、不等式、方程为命题背景. 2.方法：（1）把将充分、必要条件转化为集合之间的包含关系 若p是q的充分条件，则p对应的集合是q对应集合的子集 若p是q的必要条件，则q对应的集合是p对应集合的子集 若p是q的充要条件，则两个集合相等 （2）易错警示 搞反子集方向：充分条件⇒条件集合被包含，必要条件⇒结论集合被包含，做题最容易写反； 忽略区间端点，直接写不等号，不检验等号成立是否满足题意。 变式2-1条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以.． 变式2-2若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是.． 变式2-3已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为． 题型三、充要条件的证明 典例3 已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证.．． 题型模版 1.特征：证明命题p是命题q的充要条件；分为充分性与必要性两个方向完成证明，背景可以是等式、不等式、集合、几何、方程等； 2.方法：（1）充要条件证明必须分两步： ①证明充分性：由条件p出发，推导得到结论q ②证明必要性：由结论q出发，推导得到条件p 只有两个方向都推得成立，才能说明p是q的充要条件。 （2）书写规范注意：看清题意，分清谁是条件，谁是结论，不要把充分性、必要性搞颠倒。 变式3-1已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 变式3-2已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 变式3-3已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】 必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】略. 题型四、根据命题的真假求参数 典例4 设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 题型模版 1.特征：已知全称量词命题、存在量词命题为真或者为假，求解参数的取值范围；命题背景常为不等式、方程、函数 2.方法：（1）分清命题类型： 全称命题：对集合内所有元素都满足条件，命题才为真；只要有一个不满足，命题即为假。 存在命题：集合内至少有一个元素满足条件，命题就为真；全部元素都不满足，命题才为假。 （2）转化处理思路 ①命题为真：直接写出对应的不等式、等式恒成立或有解条件； ②命题为假：可以先写出它的否定命题，将 “原命题为假” 等价转化为 “否定命题为真”，再求参数。 （3）求解不等式之后检验边界取值。 变式4-1已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是.． 变式4-2已知命题任意满足，都有恒成立； 命题：存在，使得成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意有，解出即可求解； （2）先求命题为真命题时的取值范围，再分类讨论即可求解. 【详解】（1）由命题为真命题，所以，即， 所以实数的取值范围； （2）若命题为真命题，当时，满足题意， 当时，若，则总有解， 若，结合， 所以命题为真命题，实数的取值范围为， 若，有且只有一个为真， 当真假时， ， 当假真时， ， 综上所述，实数的取值范围为. 变式4-3已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，．． 题型五、常用逻辑用语的综合应用 典例5 已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 题型模版 1.特征：把充分必要条件、全称存在命题、命题真假判断融合在一起，经常和集合、不等式结合；题干一般给出两个命题，已知命题的真假关系，求解参数范围，是本章章末综合大题 2.方法：范围与最值问题需要命题转为对应取值集合。 ①小范围可以推出大范围，注意空集。 ②都成立取公共部分，有一个成立就合并范围。 ③全部满足：整个范围落在解区内；存在满足：两个范围有重叠。 ④算完检验边界数值。 变式5-1（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 变式5-2 （1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1）；（2）； （3）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， 所以，即，又， 所以，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可； （3）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得， 即实数的取值范围是； （3）略 变式5-3已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【答案】(1)是“复活集”， 因为， 所以集合是 “复活集”. (2) (3) 若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及充要条件概念即得. 【详解】（1）略 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）略． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 2．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：若，由，可得；若，由，可得， 不满足充分性，故A错误； 选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误； 选项C：由，可得；不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：“”不能得出，也不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 3．如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，结合物理常识，逐一检验，可得答案. 【详解】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的充分不必要条件，A错误； 对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即， 所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L一定亮，即， 所以是的充分必要条件，D错误； 故选:C. 4．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 5．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 6．（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件. 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件. 故选：ABD. 7．（多选）已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先明确充要条件的定义：若是的充要条件，则（能推出，也能推出）；再由已知的含义是且，逐一分析选项即可. 【详解】选项A：若且，则，，是其中较大的数， 一定大于这个较大的数，充分性成立； 若，说明和都不为0（若其中一个为0，比如， 则，不满足不等式），即且，必要性成立； 因此A是充要条件； 选项B：若且，则，，故，充分性成立； 若，则且，即且，必要性成立； 因此B是充要条件； 选项C：若且，则，分式有意义且分子， 故分式≠0，充分性成立； 若，则（分母不为0）且， 因此且，必要性成立； 因此C是充要条件； 选项D：存在反例：取，，此时， 满足，但， 故，不满足“”， 所以充分性不成立， 因此D不是“”的充要条件. 综上，符合条件的选项是ABC. 故选：ABC.． 8．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.分充分性和必要性两步证明即可. 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为：．． 9．“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的性质，求得，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程至多有一个实数解，则满足，解得， 因为方程至多有一个实数解的一个必要不充分条件是“， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 10．已知命题，命题有实数根，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【分析】根据为真命题，为假命题，解出实数的取值范围，之后再取交集即可解出答案. 【详解】由命题为真命题可得，，故； 由命题有实数根为真命题可得，，即. 而为假命题，则为真命题，即. 若为真命题，为假命题只需：，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：.． 11．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 12．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出集合A，根据已知条件得是的真子集，列出关于的不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，分析可得.列出关于的不等式，即可求解； （3）由命题“，”是真命题，得.可先求得“时，的取值范围”，再求得“当时，的取值范围”. 【详解】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是.． 13．已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是．． 14．已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)R. 【分析】（1）直接由三角不等式可得； （2）由两集合的交集为空集，对一元二次方程的根的情况进行分类讨论，进而可得所求结果. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R.． 15．根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，且或，. (2) 【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可得出实数的值；对实数的取值进行分类讨论，根据可得出关于实数的等式或不等式，即可得出实数的取值范围； （2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题，根据二次不等式分类讨论求解，进而得解. 【详解】（1）因为，则且， ，且， 若，即，此时，，则，合乎题意； 若，即，此时，， 因为，则，此时，， 又因为，当时，，解得； 当时，，此时，， 当且时，，解得且， 因为， 若，即，则， 若，则，因为，此时，不存在. 综上所述，存在满足题设条件的实数、，且或，. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题不等式有解， 当时，不等式为，解得，合乎题意， 当时，，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $