精品解析：四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高三上学期入学摸底测试数学试题

2025-2026学年成都实验外国语学校高三上入学摸底测试数学 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 3. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】 ，即 ，等价于 ，解得 或 ； 故选：D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 7. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、多选题 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 10. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 D. 函数与函数是同一个函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为， 又二次函数的对称轴为， 所以，解得，故A正确； 对于B：当时，可得成立，满足题意， 当时，可得，解得， 综上k的取值范围为，故B错误； 对于C：当时，，所以，充分性成立， 若，则或，解得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：函数定义域为R，函数的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，故D错误， 故选：AC 11. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知正实数x，y满足，则最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可. 【详解】正数，满足：， ， 当且仅当，即，时 “”成立， 故答案为：. 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理可得三边比值，利用勾股定理即可得解. 【详解】由和正弦定理可知，， 设， 因为，所以. 故答案为： 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求x的值； （2）若向量，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再由关系结合向量垂直的坐标表示列方程可求， （2）先求，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求，根据向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以x的值为， 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，，， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【小问1详解】 由正弦定理可得，，即，解得：； 【小问2详解】 由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 17. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 18. 某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算与的相关系数； （3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】（1）13；11 （2） （3） 由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解； （3）根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【小问1详解】 由题可知，； 【小问2详解】 计算得， 故； 【小问3详解】 略 19. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关； （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式，并求出使的的最小值． 附 ，其中n=a+b+c+d． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有把握； （2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）；6. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）（i）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）求出的递推公式，利用构造法求出通项公式，再按奇偶分类讨论求出的最小值. 【小问1详解】 根据列联表中的数据，得， 所以没有的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关. 【小问2详解】 （i）X的可能取值为0，1，2，3， ；； ；， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P . （ii）依题意，， 则，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 当为奇数时，，不合题意； 当为偶数时，，令，得， 当时，，当时，，又数列单调递增，则， 所以的最小值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年成都实验外国语学校高三上入学摸底测试数学 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 7. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 D. 函数与函数是同一个函数 11. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 三、填空题 12. 已知正实数x，y满足，则最小值为______． 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____. 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求x的值； （2）若向量，，求与的夹角的余弦值. 16. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算与的相关系数； （3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 19. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关； （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式，并求出使的的最小值． 附 ，其中n=a+b+c+d． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $