2.5.1 椭圆的标准方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“椭圆的标准方程”核心知识点，从椭圆的实际背景出发，引导学生经历抽象椭圆模型的过程，系统梳理椭圆定义（平面内两定点F1,F2，常数2a>|F1F2|，动点P满足|PF1|+|PF2|=2a）及焦点在x轴、y轴上的标准方程（含a,b,c关系a²=b²+c²），搭建从概念到应用的学习支架。 该资料设计亮点突出，通过随学随练即时巩固定义理解，分题型（椭圆定义应用、求标准方程、综合应用）整合期中真题，培养学生用数学眼光抽象现实模型、用数学思维推导方程的能力。课中助力教师分层教学，课后便于学生通过基础通关与素养提升练习查漏补缺，强化知识应用。

第二章 平面解析几何 2.5.1　椭圆的标准方程 课标要点 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 学习重难点 重点： 1.椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 难点： 椭圆标准方程的推导． 知识点一 椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 随学随练 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 2．（25-26高二上·广东汕头·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 知识点二 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 随学随练 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型椭圆的定义 ▌例1（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 ▌对点练1-1．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最小值与最大值的和为（   ） A．18 B．19 C．20 D．22 题型求椭圆的标准方程 ▌例1（25-26高二上·河北张家口·期中）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 题型 椭圆的定义及标准方程的应用 ▌例1（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 基础通关 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 8．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为曲线上的动点，，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．（25-26高二上·重庆·期中）已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 10．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 素养提升 11．（25-26高二下·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（   ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．三角形 13．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 迁移创新 15．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）（多选）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 16．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 17．（25-26高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 18．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 19．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______. 20．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.5.1　椭圆的标准方程 课标要点 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 学习重难点 重点： 1.椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 难点： 椭圆标准方程的推导． 知识点一 椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 随学随练 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 【答案】B 【分析】表示点到点，的距离之和为，结合椭圆的定义即可进行判断. 【详解】表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东汕头·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 知识点二 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 随学随练 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 题型椭圆的定义 ▌例1（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程及题意知，，所以， 所以．由椭圆的定义，得，又， 所以． 故选：D． ▌对点练1-1．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最小值与最大值的和为（   ） A．18 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可． 【详解】如图，由圆的方程可知两圆圆心分别为，半径均为1， 由椭圆的方程可知恰好是其两个焦点， 由椭圆定义知，， 连接分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为； 连接并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为， 则的最小值与最大值的和为20． 故选：C． 题型求椭圆的标准方程 ▌例1（25-26高二上·河北张家口·期中）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】由两点间距离公式，方程， 其表示的几何意义为点到与的距离之和， 即，则， 根据椭圆的定义，点点在以和为焦点的椭圆上， 其中，可得，则， 所以所求轨迹的方程为为． 故选：C． ▌对点练1-1（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 题型 椭圆的定义及标准方程的应用 ▌例1（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C ▌对点练1-1（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 基础通关 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据所给的焦点坐标，判断出焦点所在的轴及的值，再根据椭圆中的关系计算即可得解. 【详解】由椭圆的焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且. 所以，解得. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 3．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用椭圆的标准方程求，再求椭圆的左焦点坐标即可． 【详解】由椭圆方程可得，， 所以，解得， 又椭圆焦点在轴， 所以该椭圆左焦点坐标为， 故选：D 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【详解】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 8．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为曲线上的动点，，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得，进而可得. 【详解】因为，且， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 所以. 故选：C. 9．（25-26高二上·重庆·期中）已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点，对分母和进行分类讨论即可得的范围. 【详解】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 10．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆方程求得半焦距c，进而可求得焦点坐标. 【详解】因为，所以椭圆是焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得， 所以椭圆的焦点坐标是. 故选：B 素养提升 11．（25-26高二下·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（   ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．三角形 【答案】B 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式将几何条件转化为代数方程，再配方得到圆的标准方程，从而确定点的轨迹. 【详解】以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设, 则由得， 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 13．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简给定的曲线方程并确定与椭圆的位置关系，再结合椭圆的定义求解判断. 【详解】曲线方程化为，它表示顶点分别为的菱形， 以为焦点，长轴长为26，短轴长为10的椭圆方程为， 在直角坐标系中，作出曲线和椭圆，如下图： 由图形以及椭圆的定义知：若在椭圆上，又在曲线上时， 即或时，； 若在椭圆内部，又在曲线上时，， 所以. 故选：C 14．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质、等腰三角形的性质，结合圆的定义、对勾函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C      迁移创新 15．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）（多选）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】AC 【分析】根据椭圆的方程确定椭圆的，由定义可得，，结合椭圆焦点三角形的几何性质逐项分析就可得答案. 【详解】椭圆中，，则， 由椭圆的定义得，， 对于A，若，则， 由余弦定理得：，所以，故A错误； 对于B，因为，又， 所以，故面积的最大值为，故B正确； 对于C，，又， 所以，故C正确； 对于D，由于时，，则，即的最大角为， 故满足使得是直角三角形的点P有4个，如下图： 使得是直角三角形的点P有2个，使得是直角三角形的点P有2个，如下图： 综上，满足是直角三角形的点P共有8个，故D不正确. 故选：AC. 16．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 17．（25-26高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质结合三角形面积公式判断B，根据椭圆的定义结合基本不等式分析判断C，可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况判断D即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大， 则的面积最大值为，故B错误， 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故C正确； 对于D，作出符合题意的图形， 若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 故不存在点，使得，故D错误. 故选：AC 18．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【答案】BD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 19．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【详解】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 20．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用椭圆的定义对进行转化，再结合点与圆的位置关系、两点间距离公式求出最小值. 【详解】 根据椭圆的定义可知， 所以， 又为圆上任意一点，则， 所以，当且仅当、、、共线且、在和之间时，等号成立. 由题意知，，， 所以，即， 所以的最小值为. 故答案为： 试卷第2页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $