2.5.2 椭圆的几何性质 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.5.2椭圆的几何性质 一、知识点 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 ，，， ，，， 轴长 长轴长，短轴长 焦点 ， ， 焦距 对称性 对称轴轴和轴，对称中心 离心率 2.椭圆的离心率 1）定义式 2）离心率的范围为： 3）公式拓展： 4）越大，椭圆越扁平，越小，椭圆越接近于圆 3.椭圆的通径 过焦点作垂直于长轴的弦，则线段称为通径，且. 4.第三定义、中点弦斜率积结论 如图，设，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不与，重合的任意一点，则； 注：上述结论中，是椭圆的左、右顶点，可将其推广为椭圆上关于原点对称的任意两点，如图，只要直线，的斜率都存在，就仍满足. 中点弦斜率积结论：（为弦中点） 二、题型训练 1.椭圆的几何性质 例1.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： （1）； （2）； （3） 例2.曲线与曲线的（    ）. A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等 练习： 1.（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A. B.椭圆的焦距为 C.点到左焦点距离的最大值为 D.的最大值为 2.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是，另一个顶点是，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3.已知椭圆，与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ） A. ， B. ， C. ，或， D. ， 4.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆标准方程为（ ） A. B. C. D. 5.若方程表示点焦在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.设椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2.点与椭圆的位置关系 例3.若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A.点不在椭圆上 B.点不在椭圆上 C.点在椭圆上 D.无法判断上述点与椭圆的关系 练习： 1.函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 2.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 3.设是椭圆长轴，点在椭圆上，则，椭圆的两个焦点之间的距离为___________. 3.离心率问题 例4. 已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 例5.椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（     ） A. B. C. D. 例6.椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 例7.若椭圆上存在点，满足（为坐标原点），则的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 例8.设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A. B. C. D. 练习： 1.已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 2.已知右焦点为的椭圆上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（    ） A. B. C. D. 3.设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（     ） A. B. C. D. 4.已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 5.已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为_______. 6.若椭圆上存在一点，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率的取值范围为_________. 7.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率的取值范围为________． 8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一点，使得的内切圆的半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A. B. C. D. 9.已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为，是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以为半径的圆内切于（的面积满足），则椭圆的离心率的取值范围是_________． 10.已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 11.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点，满足，且，，三点共线，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A. B. C. D. 12.已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是_________． 13.已知点是椭圆的右焦点，点关于的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为_______. 14.已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于、两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为______. 15.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16.已知椭圆的左顶点为，左焦点为，为椭圆上任意一点，若椭圆的上顶点到焦点的距离为，离心率，则的取值范围是________. 17.已知椭圆的焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且与轴垂直，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 18.如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点、，若直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，面积最大值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 20.椭圆短轴的端点和两个焦点相连构成的三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为________. 21.设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为______. 22.已知、是椭圆两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 23.已知直线与椭圆交于，两点，右焦点的坐标为，且与垂直，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 24.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C D. 25.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是________. 26.已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，该椭圆离心率的取值范围为______. 27.设椭圆的两焦点，，若在椭圆上存在一点，则，求椭圆离心率的取值范围. 28.如图，圆与椭圆相切，已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且为线段的中点，求椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 29.设椭圆两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 30.已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，（），若椭圆离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 31.已知、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 32.已知椭圆，和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为，.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 33.设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在一点，使，则椭圆的离心率的取值范围为_______. 34.已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，求该椭圆的离心率. 4.直线与椭圆的位置关系 例9.已知椭圆，直线，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 例10.若直线与椭圆有两个公共点，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 练习： 1.直线与椭圆的位置关系为（     ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定又，即在椭圆的内部， 2.直线与椭圆的位置关系是（    ） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判断 3.已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 4.直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 5.直线与椭圆的位置关系是（     ） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 6.已知直线与曲线C恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.弦长问题 例11.通过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长等于（    ） A. B. C. D. 例12.（多选）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（     ） A. B. C. D. 练习： 1.已知椭圆，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则________． 2.过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为________. 3.已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，，经过点的一条直线与椭圆交于，两点.若直线的倾斜角为，则弦长为______. 4.设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆被直线截得的弦长. 5.直线被椭圆所截得的弦长为，求实数的值． 6.已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为. 7.椭圆上有一点，若过点的动直线与的另一个交点为，并且满足原点到的距离为，弦长，求直线的方程. 8.椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点.若的周长最大值是，求的值等于（ ） A. B. C. D. 9.椭圆，被直线截得的弦长为_______. 10.已知直线与椭圆椭圆交于、两点，且，则_______. 6.中点弦问题 例13.直线与椭圆相交于不同的两点，，若的中点的横坐标为，则弦长的值. 练习： 1.已知、为椭圆上两点，为坐标原点，（异于点）为弦中点，若两点连线斜率，则两点连线斜率为（    ） A. B. C. D. 2.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（　　） A. B. C. D. 3.椭圆内有一点，设某条弦过点且以为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A. B. C. D. 4.已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A. B. C. D. 5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于，两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（     ） A. B. C. D. 6.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 7.设椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截得的线段中点的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2椭圆的几何性质 一、知识点 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 ，，， ，，， 轴长 长轴长，短轴长 焦点 ， ， 焦距 对称性 对称轴轴和轴，对称中心 离心率 2.椭圆的离心率 1）定义式 2）离心率的范围为： 3）公式拓展： 4）越大，椭圆越扁平，越小，椭圆越接近于圆 3.椭圆的通径 过焦点作垂直于长轴的弦，则线段称为通径，且. 4.第三定义、中点弦斜率积结论 如图，设，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不与，重合的任意一点，则； 注：上述结论中，是椭圆的左、右顶点，可将其推广为椭圆上关于原点对称的任意两点，如图，只要直线，的斜率都存在，就仍满足. 中点弦斜率积结论：（为弦中点） 二、题型训练 1.椭圆的几何性质 例1.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【解析】 （1）由椭圆方程可知其焦点在轴上，所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 上下焦点坐标为，离心率. （2）由椭圆方程可知其焦点在轴上， 可得，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. （3）将椭圆方程整理变形成标准方程可得，易知其焦点在轴上， 所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. 例2.曲线与曲线的（    ）. A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等 【答案】B 【解析】 曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率. 曲线， 由得，且， 故曲线也是焦点在轴上的椭圆， ， 长轴长、离心率、短轴长均与有关，不一定与曲线的相同； 而其焦距为，与曲线的焦距相同. 故选：B. 练习： 1.（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A. B.椭圆的焦距为 C.点到左焦点距离的最大值为 D.的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A项，由已知可得，，根据椭圆的定义可得，故A正确； 对于B项，由已知可得，，椭圆的焦距为，故B正确； 对于C项，由已知可得，点到左焦点距离的最大值为右顶点到左焦点的距离，即，故C项错误； 对于D项，    如图，当点P为短轴顶点时，为最大值，此时，， 则，所以的最大值为，故D项正确. 故选：ABD. 2.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是，另一个顶点是，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意知椭圆焦点在轴上，且，，则，故焦点的坐标为. 3.已知椭圆，与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ） A. ， B. ， C. ，或， D. ， 【答案】D 【解析】 因为椭圆的长轴长为，焦点在轴上，椭圆的短轴长为，所以，. 4.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 椭圆可化为标准形式，可知焦点在轴上，焦点坐标为，故可得所求方程为，则，又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为. 5.若方程表示点焦在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意可知，解得，故选D. 6.设椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由，得，，即，所以，所以该椭圆的方程为，故选A. 2.点与椭圆的位置关系 例3.若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A.点不在椭圆上 B.点不在椭圆上 C.点在椭圆上 D.无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】 点与点关于原点对称；点与关于轴对称；点与关于轴对称；若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C. 练习： 1.函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，即，得，所以， 因为点在椭圆上，所以（，）， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 2.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，则，，，，点在椭圆上，，当时，取得最小值为2，故选C 3.设是椭圆长轴，点在椭圆上，则，椭圆的两个焦点之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 不妨设椭圆的标准方程为，由题意知，，，，不妨设点的坐标为，因为点在椭圆上，，，，，则椭圆的两焦点之间的距离为. 3.离心率问题 例4. 已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，不妨设， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以， 又因为为等腰直角三角形，所以, 即，即，所以， 解得或（舍）， 故选:B. 例5.椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：因为椭圆的焦点在轴上， ∴，解得：， 又， ∴它的离心率的取值范围为， 故选：C. 例6.椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设椭圆的上顶点为,则令, 则,    且， , , 故选：B. 例7.若椭圆上存在点，满足（为坐标原点），则的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为，，， 由题意知，，， 由椭圆上存在点满足，等价于以为原点，以为半径的圆与椭圆有交点， 得， 所以，解得， 所以．又， 所以的离心率的取值范围为． 故选：D. 例8.设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，，因为，， 所以，， 由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则． 故选：B． 练习： 1.已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由令，得， 由于与轴平行，且在第一象限，所以. 由于， 所以， 即，将点坐标代入椭圆的方程得， ， ， 所以离心率. 故选：B    2.已知右焦点为的椭圆上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设椭圆左焦点为，连接 ，，， 设，，结合椭圆对称性得， 由椭圆定义得，，则. 因为，， 则四边形为平行四边形， 则，而，故， 则，即， 整理得，在中，， 即，即， ∴，故. 故选：A      3.设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意可知，，设， 因为，所以， 又，， 所以， 因为，则， 当时，取得最小值，即， 即， 所以， 即椭圆的离心率为. 故选：D. 4.已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】    如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ， ，化简得，， 由，解得， ，即. 故答案为：. 5.已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】 根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 6.若椭圆上存在一点，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 方法一：设点M的坐标是，则. ∵，，∴，. ∵，∴，即. 又点M在椭圆上，即， ∴，即， ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围是. 方法二：设点M的坐标是， 由方法一可得消去，得， ∵，∴， 由②得，此式恒成立. 由①得，即，∴，则. 又，∴. 综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是. 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P， ∵椭圆上存在一点M，使， ∴，则，（最大时，M为短轴端点） ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 7.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点    若，则，即， 所以，即 所以椭圆的离心率； 当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则， 设，则，所以①，    若，则②， 联立①②，结合可得， 由，，所以，且， 所以，则，故， 所以，即，故 综上，椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一点，使得的内切圆的半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以 解得因为所以 两边平方得：又因为 整理得： 因为不等式两边同时除以，得：； 解得： 故选：A 9.已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为，是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以为半径的圆内切于（的面积满足），则椭圆的离心率的取值范围是_________． 【答案】 【解析】    如图，， 因为的内切圆半径为， 所以， 因为， 所以，得， 所以，得， 因，得，得， 因，故， 故答案为： 10.已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设椭圆左右焦点分别为，，连接, 由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形， 且，， 在△中， ， ∴， （当且仅当时等号成立） 可得，即，则， ∴椭圆的离心率. 故选：C 11.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点，满足，且，，三点共线，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 12.已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是_________． 【答案】 【解析】 依题意不妨设为椭圆的左焦点，则， 设，则，，，则， 若存在点使得，则存在点使得， 即在上有解， 即在上有解， 令，显然，， 所以，即且， 由，即，解得或， 由，即，解得或， 又，所以，即． 故答案为：．    13.已知点是椭圆的右焦点，点关于的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 过点且与直线垂直的直线为， 两直线的交点，从而点. 点在椭圆上， 则，即 则. 由于，则，， 故答案为： 14.已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于、两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 如图，    的面积最大值为存在直线使到直线的距离为， 设，则为， 到的距离为有解， 平方整理得，即①， 又② 两式相减得，所以有解， 又，即， 所以， . 故答案为： 15.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 当椭圆焦点在轴上，即时，，，所以，所以，解得；当椭圆交点在轴上时，即时，，，所以，解得，故实数的取值范围是，故选D 16.已知椭圆的左顶点为，左焦点为，为椭圆上任意一点，若椭圆的上顶点到焦点的距离为，离心率，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为，所以，因为离心率，所以，，则椭圆方程为，所以点的坐标为，点的坐标为，设，，则，由椭圆方程得，所以，因为，所以 17.已知椭圆的焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且与轴垂直，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 不妨设点在第二象限，由，得，即，所以椭圆的离心率，故选D. 18.如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点、，若直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为过点的直线是圆的切线，，，所以，，由椭圆定义可得，可得椭圆方离心率为. 19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，面积最大值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 显然，当在椭圆短轴端点时，面积取得最大值，则，所以，所以离心率，故选A. 20.椭圆短轴的端点和两个焦点相连构成的三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】 由椭圆短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形的面积, 该三角形的周长为，由题意可得，得，所以，因此该椭圆的离心率为. 21.设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 不妨设点在第一象限，如图，设直线与轴的交点为，由题意得，，又由题意可知，所以，所以离心率. 22.已知、是椭圆两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以点在以为直径的圆上，又点在椭圆的内部，所以，所以，即，所以，即，又椭圆离心率，所以. 23.已知直线与椭圆交于，两点，右焦点的坐标为，且与垂直，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由与垂直，运用直角三角形斜边中线及斜边一半可得，由，即，可得 即，又椭圆离心率，且，所以得，故选C. 24.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 由已知得，，由椭圆定义可得，可设，可得，即有①，由，得，即②，由②①，得，令，可得，即，由，得，即，则当时，取得最小值，当或时取得最大值，所以，解得，故选B. 25.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是________. 【答案】 【解析】 设，则，将代入上式，解得，又因为，所以，所以椭圆离心率. 26.已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，该椭圆离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 在中，由正弦定理知，因为，椭圆离心率，所以，即①，又因为在椭圆上，所以，将①代入得，又，所以同除以得，又，所以 27.设椭圆的两焦点，，若在椭圆上存在一点，则，求椭圆离心率的取值范围. 【答案】 【解析】 由题意知，所以点在以为直径的圆上，即在圆上，又点在椭圆上，所以圆与椭圆有公共点， 连接，则易知，所以，即，所以，所以，所以. 28.如图，圆与椭圆相切，已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且为线段的中点，求椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题可令为椭圆的长半轴长，为短半轴长，如图连接，因为线段与圆相接于点，所以，因为，点为线段的中点，所以，且，所以，，所以，整理得，所以，所以离心率，故选：A. 29.设椭圆两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由已知得，，由椭圆的定义知，即，所以椭圆的离心率. 30.已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，（），若椭圆离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，（）不妨设点是椭圆长轴的左端点，则，，因为椭圆的离心率为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故选A 31.已知、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 以，为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，及知此时平行四边形的对角线互相垂直，即此四边形为菱形，所以，所以是直角三角形，即，设，则，得，所以离心率，故选A. 32.已知椭圆，和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为，.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，可得，利用圆的性质，可得，所以，所以，所以，又，所以，故选C. 33.设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在一点，使，则椭圆的离心率的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 当是椭圆上、下顶点时，最大，所以，所以，所以，因为，，所以，则椭圆离心率的取值范围为. 34.已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，求该椭圆的离心率. 【答案】 【解析】 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆方程为，焦点坐标为，，依题意设点的坐标为，则点的坐标为，所以，由是正三角形得，即，又因为，所以，两边同时除以得，解得. 4.直线与椭圆的位置关系 例9.已知椭圆，直线，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【答案】A 【解析】 对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 例10.若直线与椭圆有两个公共点，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得，当，即或时，直线与椭圆有两个公共点，故选C. 练习： 1.直线与椭圆的位置关系为（     ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【答案】A 【解析】 直线可化为，所以直线恒过点， 又，即在椭圆的内部， 直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：A. 2.直线与椭圆的位置关系是（    ） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判断 【答案】B 【解析】 由题知，直线恒过定点，将点代入可得，故在椭圆内，直线与椭圆相交 故选：B 3.已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 【答案】B 【解析】 因为点在椭圆的外部， 所以，即， 则圆的圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相交 故选：B 4.直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】B 【解析】 由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为， 所以直线与椭圆相切. 故选：B 5.直线与椭圆的位置关系是（     ） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】C 【解析】 联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 6.已知直线与曲线C恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为直线方程为，所以直线恒过定点，因为曲线的方程为，所以曲线表示椭圆，由直线与曲线恒有公共点，所以点在椭圆内或椭圆上，即，所以. 5.弦长问题 例11.通过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于. 故选：B 例12.（多选）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：， 联立方程组消去，并整理得，易得， 设，，则，， ， ， 当斜率不存在时，故． 故选:BC． 练习： 1.已知椭圆，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则________． 【答案】 【解析】 椭圆：中，，，， 则，，所以，由，得， 由，所以为椭圆短轴的一个端点，所以． 故答案为：. 2.过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为________. 【答案】 【解析】 解：由椭圆：，可得右焦点. 设此直线与椭圆相交于点， 直线方程为：. 联立， 可得， ，. . 故答案为：. 3.已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，，经过点的一条直线与椭圆交于，两点.若直线的倾斜角为，则弦长为______. 【答案】 【解析】 由椭圆的方程可知左焦点，若直线的倾斜角为，则直线的斜率， 故直线的方程为， 联立方程组，消去x整理得，设，，，， 由韦达定理可知，，则由弦长公式得 ， 弦长． 故答案为： 4.设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆被直线截得的弦长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为点A在椭圆上，且离心率为，所以，解得，故椭圆方程为 （2）记直线与椭圆交于P、Q两点，其坐标分别为， 将代入，得，整理得，则，由弦长公式得 5.直线被椭圆所截得的弦长为，求实数的值． 【答案】或 【解析】 解：联立方程组，整理得， 设直线与椭圆的交点为， 可得，解得， 且， 由弦长公式可得 ， 因为直线截椭圆所得的弦长为，所以，解得， 即实数的值为或. 6.已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为. 【答案】 【解析】 设直线与椭圆交于两点， 联立，可得， ，解得， ，， 弦长 ，解得， 故时，直线被椭圆所截的弦长为． 7.椭圆上有一点，若过点的动直线与的另一个交点为，并且满足：原点到的距离为，弦长，求直线的方程. 【答案】 【解析】 设. 当直线的斜率不存在时，由原点到的距离为，由对称性不妨设直线:. 所以满足， 解得:，所以 （舍去）. 当直线的斜率存在时，可设.   因为原点到的距离为，所以，即， 则满足，消去可得:， ， 因为，所以恒成立. 则. 所以 . 因为， 所以. 化简得:， 解得:，所以，直线的方程为:. 综上所述:直线的方程为:. 8.椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点.若的周长最大值是，求的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设椭圆的左焦点为，则的周长为，所以，当直线过左焦点时，的周长取得最大值，所以，解得，故选B. 9.椭圆，被直线截得的弦长为_______. 【答案】 【解析】 由消去化简得，设直线与椭圆的交点为，，则，，所以弦长. 10.已知直线与椭圆椭圆交于、两点，且，则_______. 【答案】 【解析】 设，，由消去并化简得，所以，，由，得，所以，所以，即，化简得，所以，所以. 6.中点弦问题 例13.直线与椭圆相交于不同的两点，，若的中点的横坐标为，则弦长的值. 【答案】 【解析】 设，，中点为， 在直线上，； 由得：， ，即，解得：， 直线方程为， 由得：，，， . 练习： 1.已知、为椭圆上两点，为坐标原点，（异于点）为弦中点，若两点连线斜率，则两点连线斜率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由于直线AB的斜率为2，故设直线的方程为， 设， 故，整理得， 则，即， 故， 故． 利用中点坐标公式，，此时， 故． 故选：A． 2.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设弦为,, 由，消去y得，即. ，， 所以弦的中点的横坐标是， 代入直线方程中，得. 所以弦的中点坐标是. 故选：A. 3.椭圆内有一点，设某条弦过点且以为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设满足题意的直线与椭圆交于两点， 则，， 两式相减得，即. 又直线过，由此可得所求的直线方程为， 所以弦所在直线的方程为， 故选：B. 4.已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， 得，所以， 故椭圆的离心率. 故选：B. 5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于，两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设的中点为，即，如下图所示：      易知，即； 设， 又中点坐标为，所以 则； 又两点在椭圆上可得， 两式相减可得，整理得， 解得，联立可解得； 即 所以椭圆的面积为. 故选：A 【答案】 【解析】 6.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可知以为中点的弦所在的直线斜率存在且不为，设直线方程为，与椭圆联立，消去得，设直线与椭圆交点坐标为，，因为中点坐标为，所以，由一元二次方程根与系数的关系得，解得，所以，所以，故选：C. 7.设椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截得的线段中点的坐标. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）将代入椭圆的方程得，所以，又，得，即，所以，所以椭圆的方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与椭圆的交点为，，将直线的方程代入椭圆的方程，得，即，则，，，即所截得线段中点的坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $