第二章 2.5.1 第1课时 椭圆的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的定义及标准方程这一核心知识点，从“嫦娥二号”轨道的实际情境引入，通过细绳实验抽象椭圆定义（强调2a与焦距的关系），推导焦点在x轴、y轴的标准方程，结合例题与练习实现定义辨析及方程应用，构建“情境-抽象-推导-应用”的完整学习支架。 以情境化导入激发兴趣，动手实验助力数学抽象与几何直观，方程推导中引导坐标系建立培养逻辑推理。例题分层设计覆盖定义辨析、方程求解，课中帮助教师引导学生主动探究，课后通过基础与提升习题助力学生巩固知识，查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

2.5.1　椭圆的标准方程 第1课时　椭圆的标准方程 [学习目标]　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 导语 “嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何研究椭圆呢？就让我们开始今天的探究之旅吧！ 一、椭圆的定义 问题1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 知识梳理 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 注意点：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，则对应的点的轨迹分别如下表： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过点P，判断圆心M的轨迹． 解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过点P，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆． 反思感悟　定义中到两定点的距离之和是常数(不含变量)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 跟踪训练1　(1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 答案　② 解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． (2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 答案　B 解析　连接EA(图略)，∵CD垂直平分AB， ∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r， 则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|， 故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B. 二、椭圆的标准方程的推导 问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求方程． 提示　观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)． 根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝， 所以＋＝2a.① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.② 对方程②两边平方，得 (x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2， 整理，得a2－cx＝a，③ 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＋＝1，⑤ 由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0， 所以a2－c2>0. 令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程． 问题3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示　＋＝1(a>b>0)． 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 a>b>0，a>c>0，a2＝b2＋c2 注意点：(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁对应的坐标轴上． 三、求简单的椭圆的标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以所以 所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， 2a＝ ＋ ＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意，有解得 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)． 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 反思感悟　(1)求椭圆的标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解． (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 跟踪训练2　(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由题意可得 解得 故椭圆的方程为＋＝1. (2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为________________． 答案　＋＝1 解析　依题意，得c＝4，且焦点在y轴上， 又∵2a＝10，∴a＝5， ∴b2＝a2－c2＝9， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1.知识清单： (1)椭圆的定义． (2)椭圆的标准方程． (3)椭圆定义及标准方程的应用． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区： (1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视． (2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况． (3)易忽视条件中椭圆定义的使用． 1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案　D 解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段． 2．若椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4,0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　因为椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4,0)，焦距为6， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 所以a＝4,2c＝6， 则c＝3，b2＝a2－c2＝7， 椭圆的标准方程为＋＝1. 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 答案　D 解析　∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<k<1. 4．动点P(x，y)的坐标满足＋＝8，则点P的轨迹为__________． 答案　椭圆 解析　设A(2,0)，B(－2,0)，则表示|PA|，表示|PB|， 又|AB|＝4，所以|PA|＋|PB|＝8>4， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．点P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．13 B．1 C．7 D．5 答案　D 解析　由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 2．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(±5,0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) 答案　C 解析　椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12)． 3．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　) A．－1 B．1 C. D．－ 答案　B 解析　原方程可化简为x2＋＝1， 由c2＝－1＝4，得k＝1. 4．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 答案　D 解析　依题意2c＝6,2a＝10， 即a＝5，c＝3，b＝4， 但该椭圆的焦点位置不明确， 故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 5．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误． 6．(多选)使方程＋＝1表示椭圆的m的值可以是(　　) A．2 B．3 C．4 D．0 答案　BCD 解析　∵方程＋＝1表示椭圆， 则解得－1<m<5且m≠2. 7．(5分)已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________． 答案　＋x2＝1 解析　由已知2a＝8,2c＝2， 得a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 8．(5分)设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________． 答案　9 解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， |PF1|·|PF2|≤＝9， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号． 9．(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(5分) (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.(5分) 解　(1)由焦距是4可得c＝2， 且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知， 2a＝＋＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13， 又c∶a＝5∶13，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 10．(10分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程． 解　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)． 11．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A．± B．± C．± D．± 答案　D 解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上，∴＋＝1， 即y2＝，∴y＝±. ∴点M的纵坐标为±. 12．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 答案　A 解析　由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝， ∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝60°. 13．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由·＝0，得MF1⊥MF2， 可设||＝m，||＝n， 在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2， 得(m＋n)2－2mn＝4c2， 根据椭圆的定义有m＋n＝2a， 所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2， 所以＝·mn＝1， 设点M到x轴的距离为h， 则×|F1F2|×h＝1， 又|F1F2|＝2，故h＝. 14．(5分)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 答案　7 解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 15．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B(0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)， 所以·＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4＋4， 所以 解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 16．(13分)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程． 解　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)． 因为|AB|＝2，|AC|＝， 所以|BC|＝＝， 则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2， 所以a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $