2.5.1 椭圆的标准方程（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，以椭圆定义及标准方程为核心，从基础理解到综合应用再到思维探究，构建梯度化知识巩固路径，培养数学抽象、几何直观与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|椭圆定义、标准方程求解及直接应用|以动圆相切轨迹判断、方程直接求解等基础题型，强化概念理解与运算能力| |B组能力进阶|焦点性质、离心率、周长面积综合应用|结合焦点距离最值、三角形面积计算等题型，提升知识迁移与问题分析能力| |C组思维拔高|参数方程、存在性问题、动态最值探究|通过动点轨迹参数化、等腰三角形存在性等开放题型，发展数学建模与创新思维|

分层作业 2.5.1　椭圆的标准方程 目 录 A组 巩固过关 题型01椭圆的定义 题型02 求椭圆的标准方程 题型03 椭圆的定义及标准方程的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 椭圆的定义题型01 1．（25-26高二上·广东广州·期末）与圆及圆都内切的动圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 2．（2026·湖南岳阳·三模）设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 求椭圆的标准方程题型02 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 椭圆的定义及标准方程的应用题型03 7．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 9．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，椭圆的焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 5．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 7．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川达州·阶段检测）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 5．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 6．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 8．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 10．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 11．（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 12．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上任意一点，N为圆（为参数，）上任意一点，则的最小值为________ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.5.1 椭圆的标准方程 A组 巩固过关 题型01 椭圆的定义 【答案】A 2 【答案】A 3. 【答案】B 颗型02 求椭圆的标准方程 4. 【答案】B 5. 【答案】B 6 【答案】A 颗型03 椭圆的定义及标准方程的应用 7. 【答案】A 8. 【答案】D 9 【答案】C 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C D D C组 思维拔高 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 AC AB BD BD AB ACD BCD ABD AD 10.23 11.[5,9] 12.3V2-5 212 分层作业 2.5.1　椭圆的标准方程 目 录 A组 巩固过关 题型01椭圆的定义 题型02 求椭圆的标准方程 题型03 椭圆的定义及标准方程的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 椭圆的定义题型01 1．（25-26高二上·广东广州·期末）与圆及圆都内切的动圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】A 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都内切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆：的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆内含， 因为该动圆与两圆都内切，易知， 由题意可得，两式相加得， 所以圆心在椭圆上. 故选：A. 2．（2026·湖南岳阳·三模）设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由椭圆方程得，焦距， 设，则，若成立，即， 解得或，此时三边为， 满足，故为直角三角形，即； 若成立，即为直角三角形，若直角顶点为，则， 结合得，此时成立，若直角顶点为或，则或， 的横坐标为，代入椭圆方程得，此时为， ，此时不成立，因此成立时不一定成立，即是的充分不必要条件． 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 求椭圆的标准方程题型02 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 6．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 椭圆的定义及标准方程的应用题型03 7．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 8．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 9．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，椭圆的焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和性质可得，从而得椭圆的短轴长. 【详解】因为， 由椭圆的定义可得：，解得. 设椭圆的焦距为，所以，即. 由，解得， 所以该椭圆的短轴长等于. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 ． 故选：A 4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】A 【分析】通过椭圆的定义和三角形中位线定理，得出两圆的圆心距，再比较它与 的大小判定两圆的位置关系. 【详解】因为椭圆方程为，所以，得， 以为直径的圆，圆心为的中点，设为，半径为， 设为右焦点，则原点为的中点，如下图：    根据椭圆定义， 则， 圆，圆心为，半径， 则，即两圆圆心距小于两半径之差， 所以两圆内含， 故选：A. 5．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 6．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 7．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可求出的值，作出图形，分析可知当点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，即可得解. 【详解】由题意可知，的周长为， 故，又因为，所以，则、， 如下图所示： 要使得取最小值，则与直线垂直， 所以点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，且最小值为. 故选：D. 8．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆定义可知，则点在以为圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 2．（24-25高二上·四川达州·阶段检测）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 5．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 6．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用圆的几何性质可判断A选项；利用圆的几何性质以及椭圆焦半径的最值可判断BC选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A选项，因为，故点在圆内， 又因为，且圆的半径为， 故，当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当、为椭圆的右顶点时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当、分别为椭圆的右、左顶点时，等号成立，C对； 对于D选项，取椭圆的左焦点，则， 所以 ， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，D对. 故选：ACD. 7．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 8．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 10．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【答案】 【分析】由题意得，进而得，再由椭圆的定义得，进而求解. 【详解】由为等边三角形，所以，根据对称性可知，， 又，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 11．（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 12．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上任意一点，N为圆（为参数，）上任意一点，则的最小值为________ 【答案】 【分析】利用椭圆定义将转化为∣，再结合圆的性质，最后根据两点之间线段最短，用求出的最小值，进而得到原式的最小值. 【详解】由椭圆，得，故，，所以左右焦点为. 对椭圆上任意点，，即， 因此. 将圆的参数方程化为普通方程：，得圆心，半径， 因为在圆上，所以对任意点，有（当且仅当在线段上时取等号）. 所以， 根据两点之间线段最短，， 因为， 因此，即最小值为. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $