课时测评22　椭圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评22　椭圆的标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m＝(　　) A．10 B．5 C．15 D．25 答案：D 解析：由题意知2a＝3＋7＝10，所以a＝5，a2＝25，所以m＝25.故选D. 2．已知椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为(　　) A．10 B．20 C．2 D．4 答案：D 解析：因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上．又由已知得c＝4，所以a2－25＝42，所以a＝ .由椭圆的定义知△ABF2的周长l＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝4 . 3．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　) A．m<2 B．1<m<2 C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m< 答案：D 解析：由题意得即所以1<m<或m<－1.故选D. 4．已知M(2，0)，P是圆N：x2＋4x＋y2－32＝0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．－＝1 C．＋＝1 D．－＝1 答案：A 解析：由题意，可知圆N的标准方程为(x＋2)2＋y2＝36，圆心为N(－2，0)，半径为6.因为线段MP的垂直平分线交NP于点Q，所以|QP|＝|QM|，所以|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝|PN|＝6>|MN|＝4，所以点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，所以a＝3，c＝2，b＝＝，所以其轨迹方程为＋＝1.故选A. 5．(多选)下列说法中错误的是(　　) A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：ABD 解析：A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的点不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选ABD. 6．若椭圆的方程为 ＋ ＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________． 答案：4或8 解析：由题意知c＝2，且 解得2<a<10.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝4，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝4，解得a＝8. 7．(一题两空)若椭圆＋＝1(m>0)上一点到两焦点的距离之和为m－3，则实数m的值为________，焦点坐标为________． 答案：9　(0，±) 解析：由题意得2a＝m－3>0，即m>3. 若a2＝4，即a＝2，则m－3＝4，m＝7>4，不合题意． 因此a2＝m，即a＝，则2＝m－3， 解得m＝9或m＝1(舍)，即a＝3，c＝＝， 所以焦点坐标为(0，±)． 8．(开放题)(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的边长为2，一个内角为60°，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，以A，C为焦点的椭圆Γ经过B，D两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：____________． 答案：＋y2＝1(答案不唯一) 解析：根据题意，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点．如图：假设A，C在x轴上，B，D在y轴上，∠BCD＝60°，由菱形的性质得∠BCA＝30°，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝1，BC＝2，OC＝，即b＝1，c＝，则a2＝b2＋c2＝4，故椭圆Γ一个标准方程为＋y2＝1(答案不唯一)． 9．(10分)已知椭圆 ＋ ＝1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2. (1)求x0的值； (2)求过点M且与椭圆 ＋ ＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)由题意知，点M(x0，2)在椭圆 ＋ ＝1上， 则 ＋ ＝1，解得x＝9.又x0<0，所以x0＝－3. (2)易知椭圆 ＋ ＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，故可设所求椭圆的方程为 ＋ ＝1(a2>5)．由(1)可知，点M的坐标为(－3，2)，将其代入所设方程，得 ＋ ＝1(a2>5)，解得a2＝15. 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 10．(10分)如图所示，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点． (1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？ (2)过焦点F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10. (1)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20， 又|PF1|＝15，所以|PF2|＝20－15＝5. (2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)． 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40. 11．(5分)设P是椭圆 ＋ ＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　) A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12 答案：C 解析：如图，由椭圆及圆的方程可知，两圆圆心A，B分别为椭圆的两个焦点．由椭圆的定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2r＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2r＝12.即最小值和最大值分别为8，12.故选C. 12．(5分)已知△ABC的两个顶点为B(－4，0)，C(4，0)，若顶点A在椭圆＋＝1上，则＝________． 答案： 解析：如图，由椭圆方程知a＝5，b＝3，所以c＝4.所以B，C恰好为椭圆的两个焦点，所以|AB|＋|AC|＝2a＝10，|BC|＝2c＝8.由正弦定理得＝＝＝＝. 13．(10分)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点． (1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积； (2)求|PF1|·|PF2|的最大值． 解：(1)由已知，可得a＝10，c＝＝＝6. 由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.① 在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2， 即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.② ①2－②，并整理得|PF1|·|PF2|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin＝. (2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6. 所以|PF1|＋|PF2|＝20， 所以|PF1|·|PF2|≤＝100， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立． 所以|PF1|·|PF2|的最大值是100. 14．(5分)(多选)已知椭圆M：＋y2＝1，若P在椭圆M上，F1，F2是椭圆M的左、右焦点，则下列说法正确的有(　　) A．若|PF1|＝|PF2|，则∠PF1F2＝30° B．△F1PF2面积的最大值为2 C．|PF1|－|PF2|的最大值为2 D．|PF1|·|PF2|的最大值为4 答案：ACD 解析：在椭圆M中，a＝2，b＝1，c＝，且|F1F2|＝2，对于A，当|PF1|＝|PF2|时，则P为椭圆的上下顶点，故|PF1|＝|PF2|＝a＝2，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝＝， 因为0°<∠PF1F2<180°，所以∠PF1F2＝30°，故A正确；对于B，当点P为椭圆M的短轴顶点时，点P到x轴的距离最大，所以△F1PF2面积的最大值为×2c×b＝bc＝，故B错误；对于C，因为a－c≤≤a＋c，即2－≤≤2＋，所以≤2a－2(a－c)＝2c＝2，故C正确；对于D，由椭圆定义可知＋＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，故D正确．故选ACD. 15．(15分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， 所以曲线C的方程＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得＝3， 所以 解得或 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 学生用书↓第86页 学科网（北京）股份有限公司 $