3.1.1 椭圆及其标准方程（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 题型一：用a,b,c的值求标准方程 1．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 2．椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答. 【详解】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长， 所以所求椭圆标准方程是. 故答案为： 3．分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程： (1)点到点、的距离之和为10； (2)点到点、的距离之和为12； (3)点到点、的距离之和为8． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果； （2）根据椭圆的定义可求出结果； （2）可知动点的轨迹是线段. 【详解】（1）因为， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 这里，，即，， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）因为， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 这里，，即，， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （3）因为， 所以动点的轨迹是线段，其方程为. 4．已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？ 【答案】答案见详解． 【分析】答案不唯一，可添加椭圆过点，由椭圆定义可得值． 【详解】添加的条件：椭圆过点 则 所以，得， 故椭圆的方程为． 5．到两定点和的距离之和为14的点P的轨迹是（      ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 【答案】B 【详解】由题可知：两定点之间的距离是14，所以点P的轨迹为线段 故选：B 6．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得. 【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B. 故选：B 题型二：用标准方程求a,b,c的值 1．椭圆 的右焦点坐标为 . 【答案】 【分析】方程已知，表达相关量，结合性质可求出，直接给出焦点坐标即可. 【详解】由方程可知，焦点位于x轴，且， 所以，所以右焦点坐标为. 故答案为： . 2．椭圆的焦距为，则的值为 【答案】23 【分析】利用椭圆标准方程和焦距的定义即可列式求解. 【详解】因为，椭圆的焦距为， 所以，解得. 故答案为：23. 3．椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程，结合椭圆的定义，推出结果即可． 【详解】由椭圆方程可得，，即， 所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为. 故选：B. 4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用椭圆的标准形式及间的关系，即可求解. 【详解】因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 5．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据、、的关系可求得的值. 【详解】因为椭圆的右焦点坐标为，则，，， 所以，. 故选：C. 6．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定的值，进而解得的值. 【详解】由题意得，，，则，即， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 综上所述，或， 故选：C. 题型三： 焦半径长度及最值 知识小贴士：焦半径：椭圆上的点到焦点的距离称之为焦半径 1．若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由椭圆方程和椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得. 故选：D 2．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 3．已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义可求得. 【详解】在椭圆中，， 因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上， 由椭圆的定义可得，故. 故答案为：. 4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义求解即可. 【详解】由椭圆：知：， 由椭圆定义得：， 又，所以， 故选：A. 5．已知为椭圆：的右焦点，P为C上一点，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合椭圆的相关知识，求出，，，利用计算即可. 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为：. 6．焦点在x轴上的椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意列不等式求解 【详解】由题意得，即，解得， 故答案为： 题型四：根据方程表示椭圆求参范围 1．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义建立关于的不等式，求解即得. 【详解】依题意,可得时，解得. 故选：A. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 3．设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 4．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【详解】，解得. 故选：D 5．“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 6．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 【详解】由方程表示椭圆，可得，解得， 因为， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：B. 题型一：焦点三角形 知识小贴士：椭圆上的点与两个焦点组成的三角形称之为焦点三角形 ①周长问题 1．已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知 ，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 故选：C. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程，知， 所以，，， 所以， 由椭圆的定义，得， 所以的周长. 故选：D. 3．已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长 ． 【答案】 【分析】由椭圆定义计算即可得. 【详解】由椭圆可得， 则的周长. 故答案为：. 4．已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题可知：，所以. 如图：. 所以的周长为. 故选：B. 5．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 6．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. ②面积问题 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 2．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆的定义可得，， 在中，， 由余弦定理得 ，解得， 因此，. 故答案为：. 3．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C． 4．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 5．已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，求的面积最大值. 【答案】 【详解】 由题意，所以，的面积最大值为， 6．焦点三角形的面积 .当 ，即P为椭圆与y轴交点时，取最大值，为 . 【答案】bc. 题型二：求轨迹方程 ①定义法 1．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 2．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 3．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为 ，则，， 所以，，故所求轨迹方程为. 故选：A 4．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况. 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 5．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆 外切，同时与圆 内切， 则，又 ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A ②直接法 1．已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】令，写出和的表达式，根据题意，即可得到一个关于的方程，最后进行化简即为点的轨迹方程. 【详解】如图，令，则，， 因为，所以，即， 交叉相乘可得，即，, 所以点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆（不包括端点）. 故答案为：. 2．已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹. 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 3．已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设动点，分别求出的坐标，根据向量的数量积公式以及模长公式，化简即可得点的轨迹方程. 【详解】设动点，因为点， 则. 又. 化简得，即， 故动点的轨迹的方程为1. 故答案为：. 4．长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解. 【详解】设依题意有，即， 所以，即，所以， 故选：D. ③相关点法 1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 3．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相关点法求动点轨迹方程. 【详解】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 4．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，则根据中点坐标公式计算得出则，最后代入化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 因为点在曲线上，所以， 即，故点的轨迹方程为． 故选:D． 题型三：椭圆点到焦点与定点距离和最值 1．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为. 设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 2．已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为 . 【答案】12 【分析】由椭圆定义，可得，然后由三点共线时， 可得答案. 【详解】，则椭圆左焦点为，右焦点为. 由椭圆定义，，则. 当三点共线时，易得. 因，则. 则，即的最大值为，最小值为.从而的最大值与最小值的和为12. 故答案为：12 3．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，， 将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 【答案】30 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 5．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程得到，然后借助定义转化为求的最小值和的最大值，即可得解． 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为 ， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 6．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】由椭圆定义将问题转化成求的范围，再结合三角形两边之差小于第三边即可求解. 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 如图，根据三角形两边之差小于第三边可知， ，当且仅当点三点共线时取等号， 所以， 所以的取值范围为. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到的距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：4. 1．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 2．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 4．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，. 设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 5．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 6．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解. 【详解】 由为椭圆的焦点， ，，， ，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得， ， 所以的最小值为. 故选：A. 7．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 题型一：用a,b,c的值求标准方程 1．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 3．分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程： (1)点到点、的距离之和为10； (2)点到点、的距离之和为12； (3)点到点、的距离之和为8． 4．已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？ 5．到两定点和的距离之和为14的点P的轨迹是（      ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 6．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：用标准方程求a,b,c的值 1．椭圆 的右焦点坐标为 . 2．椭圆的焦距为，则的值为 3．椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为（    ） A． B．8 C． D．4 4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 6．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 题型三： 焦半径长度及最值 知识小贴士：焦半径：椭圆上的点到焦点的距离称之为焦半径 1．若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 3．已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ． 4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则（    ） A．4 B．6 C． D． 5．已知为椭圆：的右焦点，P为C上一点，则的最大值为 . 6．焦点在x轴上的椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为 ． 题型四：根据方程表示椭圆求参范围 1．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 4．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型一：焦点三角形 知识小贴士：椭圆上的点与两个焦点组成的三角形称之为焦点三角形 ①周长问题 1．已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．7 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长 ． 4．已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 5．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 6．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . ②面积问题 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 3．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 5．已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，求的面积最大值. 6．焦点三角形的面积 .当 ，即P为椭圆与y轴交点时，取最大值，为 . 题型二：求轨迹方程 ①定义法 1．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 3．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 5．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ②直接法 1．已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 2．已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 4．长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． ③相关点法 1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：椭圆点到焦点与定点距离和最值 1．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为 . 3．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 5．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 6．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 1．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 2．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 5．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 7．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $