重点题型强化（四） 离心率的计算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦圆锥曲线离心率这一核心知识点，系统梳理定义法、几何法、齐次式法及最值范围问题的求解思路，从椭圆双曲线定义出发，结合焦点三角形、余弦定理等几何要素，到代数变形构建a,c齐次方程，形成递进式学习支架。 资料以例题解析为载体，通过焦点三角形余弦定理应用（如双曲线定义法求离心率）、中位线几何分析（如椭圆几何法）等实例，培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养。方法技巧总结助教师授课，对点练和测评供学生课后巩固，有效查漏补缺。

[学习目标] 知识层面 1.掌握圆锥曲线的离心率求法．　2. 会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 素养层面 借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 技法一　定义法求离心率 (1)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且＝5，＝3，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C． D． (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为 的直线l与C在x轴上方的交点为A，若＝，则C的离心率是________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)设双曲线C的半焦距为c.由题意，点P在双曲线C的右支上，＝5，＝3，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝－，解得＝7，即2c＝7，c＝，根据双曲线定义得－＝2a＝2，解得a＝1，故双曲线C的离心率e＝＝.故选D. (2)由题意得＝＝2c，则＝2a－2c，在△AF1F2中，tan∠AF1F2＝，则cos∠AF1F2＝，由余弦定理得2＝2＋2－2cos∠AF1F2, 即(2a－2c)2＝4c2＋4c2－7c2，解得e＝＝. 方法技巧 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.　　 对点练1．(1)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若∶∶＝1∶2∶2，则C的离心率为________________________________________________________________________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由题意可知解得所以椭圆的离心率e＝＝.故选A. (2)如图所示：因为M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若|NF1|∶|MN|∶|MF2|＝1∶2∶2，由双曲线的定义，可得2a＝|MF1|－|MF2|＝|NF1|＋|MN|－|MF2|＝|NF1|，|NF2|－|NF1|＝2a，则|NF2|＝2a＋|NF1|＝4a，所以|MN|＝|MF2|＝2|NF1|＝4a＝|NF2|，故△MNF2为等边三角形，则∠F1MF2＝，在△MF1F2中，|MF1|＝6a，|MF2|＝4a，∠F1MF2＝，由余 弦定理可得2c＝|F1F2|＝＝＝2a，因此双曲线C的离心率为e＝＝. 技法二　几何法求离心率 (1)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________________________________________________________________________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)如图所示，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝，则e＝＝·＝.故选A. (2)根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则解得又因为|F1F2|＝2c，所以|PF2|最小．在△PF1F2中，由余弦定理，得＝cos 30°，所以2ac＝3a2＋c2.等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝. 方法技巧 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． 对点练2．设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，满足＝，·＝0，则双曲线的离心率e＝________． 答案：2 解析：设点B位于第一象限，如图所示，因为＝，则A为线段F1B的中点，又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B，因为·＝0，则F1B⊥F2B，所以OA⊥BF1，所以＝，则∠AOF1＝∠AOB，又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，可得∠BOF2＝，易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan＝，因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2. 学生用书↓第101页 技法三　齐次式法求离心率 (1)椭圆＋＝1中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|＝2b，则C的离心率为________． 答案：(1)B　(2) ＋2 解析：(1)设c为椭圆的半焦距，由题意可得A，F2，由对称性可设B，则＝，＝，因为⊥，所以·＝－ac＋b2＝0，所以a2－c2－ac＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍)．故选B. (2)如图所示，设直线方程为y＝，与双曲线方程－＝1(a>0，b>0)联立，解得x＝，y＝－，因为|AB|＝2b，所以2×＝2b，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋2. 方法技巧 根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可．此时要注意椭圆的离心率e满足0<e<1，双曲线的离心率e满足e>1.　　 对点练3．(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交点为A，若cos∠AOF＝，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． (2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，·＝0，cos∠BAF＝，则椭圆的离心率为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意可知cos∠AOF＝，且∠AOF为锐角，故sin∠AOF＝＝，而|OA|＝|OF|＝c，故A，将A代入C：－＝1(a>0，b>0)中，得－＝1，结合b2＝c2－a2整理得13c4－98a2c2＋49a4＝0，即13e4－98e2＋49＝0，解得e2＝7，或e2＝，由于双曲线离心率e>1，故舍去e2＝，故e＝.故选D. (2)依题意＝，＝a＋c，因为cos∠BAF＝，所以tan∠BAF＝， 所以＝，因为a2＝b2＋c2，所以＝，所以7a2－12c2－5ac＝0，因为e＝∈，所以12e2＋5e－7＝0，解得e＝. 技法四　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] (2)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，所以≤a，解得e≤.又e>1，所以1<e≤.故选D. (2)由题意得，2c＝＝4.所以c＝2，2a＝＋，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点A(－2，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(x，y)，则解得所以A′(－3，1)，则2a＝＋＝＝，所以当a＝时，椭圆有最大离心率，此时e＝＝＝.故选B. 方法技巧 求离心率范围的常用思路 1．通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围． 2．通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．　　 对点练4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为(　　) A． B． C．(1，] D． 答案：A 解析：设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则QF1＝QF2，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝<2，由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2<＝45°，则cos∠PF1F2＝>cos45°，即>，即e＝>，所以C的离心率的取值范围为.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $