2.6.1双曲线的标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.6.1双曲线的标准方程 一、知识点 1.双曲线的定义 1）定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线. 2）焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： ①若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； ②若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）； ③ 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； ④若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线。 2.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 1）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 注意：方程（、、均不为零）表示双曲线的条件： 方程可化为，即， 所以只有、异号，方程表示双曲线。 当，时，双曲线的焦点在轴上； 当，时，双曲线的焦点在轴上. 3.求双曲线的方法 求双曲线方程有两种方法： 1）用定义法求双曲线的标准方程 先根据双曲线的定义确定，的值，再结合焦点位置求出双曲线的方程．其中常用的关系有： ①； ②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离之差的绝对值等于； 2）用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤： ①作判断：根据条件判断双曲线的焦点是在轴上，还是在轴上，还是在两个坐标轴上都有可能； ②设方程：根据上述判断设方程：或或（）； ③找关系：根据已知条件，建立关于，，或，的方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即得所求. 注意：当双曲线焦点位置不明确时，可设为，也可设为 4.双曲线的焦点三角形 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出，，之间满足的关系式； ③利用公式求得面积． 利用公式（为点的纵坐标）求得面积. ④结论：. 二、题型训练 1.双曲线定义辨析 例1.已知点，，则在平面内满足下列条件的动点的轨迹为双曲线的是A. B. C. D. 例2.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（　　） A. B. C. D. 练习： 1.下列说法中， ①方程表示一条直线； ②方程表示的曲线为椭圆； ③方程表示的曲线为双曲线； ④方程表示的曲线为圆心在轴上的一个圆. 以上叙述正确的有_______（写出所有序号） 2.已知，，，则动点的轨迹是（　　） A.双曲线 B．双曲线左支 C.一条射线 D．双曲线右支 3.已知动圆与两圆和都外切，则动圆的圆心轨迹是（    ） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.前三个答案都不对 4.如果双曲线上一点到焦点的距离等于，那么点到另一焦点的距离是_________． 5.已知平面上定点、及动点，命题甲：（为常数），命题乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知，为定点，动点满足，当和时，点的轨迹分别是（ ） A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 7.双曲线上的点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 或 B. C. D. 8.如图，已知双曲线方程为，点，均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右交点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9.设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且，则的面积等于_________. 10.“”是“方程表示双曲线”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.求双曲线方程 例3.已知点，，曲线上的动点到，的距离之差为，则曲线方程为（    ） A. B. C. D. 例4.在双曲线的标准方程中，若，，则其标准方程是（    ） A. B. C. D. 或 例5.若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A. B. C. 或 D.或 例6.双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是_______． 练习： 1.已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的方程可以为（    ） A. B. C. D. 2.已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A. B. C. D. 3.经过点和的双曲线的标准方程是________. 4.焦点分别为，，且经过点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5.已知圆和圆，动圆同时与圆和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_______. 6.已知圆与轴的两个交点为，都在某双曲线上，且，两点恰好将使双曲线的焦点三等分，则此双曲线的标准方程________. 7.设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为，求此双曲线的标准方程. 8.一动圆过定点，且与定圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_______. 9.在中，，，分别是，，的对边，且，，则顶点的轨迹方程为_______. 3.双曲线方程的应用 例7.（多选）已知关于，的方程（其中，为参数）表示曲线，下列说法正确的是（     ） A.若，则曲线表示圆 B.若，则曲线表示椭圆 C.若，则曲线表示双曲线 D.若，，则曲线表示四条直线 练习： 1.（多选）已知，则方程表示的曲线的形状可以是（   ） A.两条直线 B.圆 C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的双曲线 2.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A.当时，曲线是椭圆 B.当或时，曲线是双曲线 C.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 3.（多选）若，曲线的方程为，则（     ） A.当时，曲线表示圆 B.当时，曲线表示两条直线 C.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D.当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 4.“且”是“方程表示双曲线”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若双曲线的一个焦点为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 6.已知方程表示双曲线，且该双曲线的两焦点之间的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.若是实数，试讨论方程表示何种曲线. 4.焦点三角形 例8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（    ） A. B. C. D. 例9.设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是________. 例10.已知、分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（     ） A. B. C. D. 例11.已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是_________． 例12.椭圆和双曲线有相同的焦点、，若点为两曲线的一个交点，则（    ） A. B. C. D. 例13.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左右两支于，两点，且，则（     ） A. B. C. D. 例14.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.设点在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于_______. 2.若、是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是____________. 3.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为，则线段的长为_______． 4.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于，两点，若的周长为，则线段的长为_______． 5.已知双曲线，、是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为________． 6.如图，双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，求的面积．    7.已知双曲线的两焦点分别为、，点为双曲线上一点，且，求的面积． 8.双曲线的左、右两焦点分别为，，点在双曲线上，且，求的面积． 9.椭圆与双曲线有公共点，则与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为_______，与双曲线两焦点连线构成三角形面积为__________． 10.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为___________． 11.已知，为双曲线的左、右焦点，在双曲线上，，则______． 12.若，是双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，且，求的大小． 13.设点在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于_______，_______． 14.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为_______． 15.已知双曲线的方程是，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则_______. 16.已知，双曲线的左､右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则_______. 17.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 18.设，分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则_______，________； 19.已知点，分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为，则直线的斜率为（    ） A. B. C. D. 20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（     ） A. B. C. D. 21.（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为的右顶点，过的直线与的右支交于，两点（其中点在第一象限），设点，分别为，的内心，，分别为，内切圆的半径，则（     ） A.点在直线上 B.点在直线的左侧 C. D. 22.已知双曲线的中心在原点，两个焦点，分别为和，点在双曲线上，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 23.已知为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任意一点，过点做的平分线的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 24.在中，，，点在双曲线上，则（ ） A. B. C. D. 25.已知为双曲线右支上一点、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则的面积为（ ） 26.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，且的中点在以（为坐标原点）为圆心，为半径半径的圆上，则（ ） A. B. C. D. 27.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足，则的面积为_______. 5.和差最值问题 例15.已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_______. 2. 为双曲线右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为_______. 3.过双曲线的左焦点作圆的一条切线（切点为），交双曲线右支点于，点为线段的中点，连接，则的最大值为______． 4.已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 5.已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为，左，右焦点分别为，，点在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点的坐标为（    ） A. B. C. D. 6.已知双曲线的左焦点为，点，是双曲线的右支上的动点，则的最小值为________. 7.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_______. 6.轨迹方程 例16.已知曲线上任意一点满足方程，求曲线的方程. 例17.已知的两个顶点，的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于，则顶点的轨迹方程是（    ） A. B. C. D. 例18.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于，两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程. 练习： 1.已知动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为_____. 2.已知圆，圆，圆，圆． （1）若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程． 3.在中，点为动点，两定点，的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程． 4.动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点的轨迹. 5.（多选）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，，若直线，的斜率之积为（为常数），则点 的轨迹可能是（     ） A.两条直线 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 6.如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 7.双曲线，、为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆. （1）求的轨迹方程； （2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程. 8.如图，椭圆（，，为常数），动圆，，点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点，求直线与直线交点的轨迹方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6.1双曲线的标准方程 一、知识点 1.双曲线的定义 1）定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线. 2）焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： ①若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； ②若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）； ③ 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； ④若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线。 2.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 1）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 注意：方程（、、均不为零）表示双曲线的条件： 方程可化为，即， 所以只有、异号，方程表示双曲线。 当，时，双曲线的焦点在轴上； 当，时，双曲线的焦点在轴上. 3.求双曲线的方法 求双曲线方程有两种方法： 1）用定义法求双曲线的标准方程 先根据双曲线的定义确定，的值，再结合焦点位置求出双曲线的方程．其中常用的关系有： ①； ②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离之差的绝对值等于； 2）用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤： ①作判断：根据条件判断双曲线的焦点是在轴上，还是在轴上，还是在两个坐标轴上都有可能； ②设方程：根据上述判断设方程：或或（）； ③找关系：根据已知条件，建立关于，，或，的方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即得所求. 注意：当双曲线焦点位置不明确时，可设为，也可设为 4.双曲线的焦点三角形 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出，，之间满足的关系式； ③利用公式求得面积． 利用公式（为点的纵坐标）求得面积. ④结论：. 二、题型训练 1.双曲线定义辨析 例1.已知点，，则在平面内满足下列条件的动点的轨迹为双曲线的是A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由于，因此满足， 的动点P的轨迹均不是双曲线， 满足的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足的动点P的轨迹才是双曲线． 故选：B． 例2.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 由双曲线的定义可知，即， 所以或． 故选：BC． 练习： 1.下列说法中， ①方程表示一条直线； ②方程表示的曲线为椭圆； ③方程表示的曲线为双曲线； ④方程表示的曲线为圆心在轴上的一个圆. 以上叙述正确的有_______（写出所有序号） 【答案】①②④ 【解析】 ①两边平方得，整理得表示一条直线，正确； ②几何意义为点到的距离和为4且的距离小于4，故的轨迹为椭圆，正确； ③几何意义为点到的距离与到的距离差为1且的距离大于1，故的轨迹为双曲线的一支，错误； ④两边平方并整理得，即，曲线为圆心在轴上的一个圆，正确. 故答案为：①②④ 2.已知，，，则动点的轨迹是（　　） A.双曲线 B．双曲线左支 C.一条射线 D．双曲线右支 【答案】C 【解析】 因为，于是有， 所以动点P的轨迹是一条射线． 故选：C 3.已知动圆与两圆和都外切，则动圆的圆心轨迹是（    ） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.前三个答案都不对 【答案】B 【解析】 题中两圆分别记为圆以及圆， 设动圆圆心为，半径为r，则， 于是为定值，因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支， 故选：B. 4.如果双曲线上一点到焦点的距离等于，那么点到另一焦点的距离是_________． 【答案】 【解析】 由题意得，又，所以. 故答案为：22 5.已知平面上定点、及动点，命题甲：（为常数），命题乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 根据双曲线的恰有，乙甲，但甲乙，只有当，且时，动点的轨迹是双曲线. 6.已知，为定点，动点满足，当和时，点的轨迹分别是（ ） A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【解析】 ，当时，，所以点的轨迹为靠近的双曲线的一支，当时，，所以点的轨迹是靠近的一条射线 7.双曲线上的点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，所以，设双曲线上的点为，双曲线的左、右焦点分别为，，由双曲线定义可得，由题意设，则，解得或. 8.如图，已知双曲线方程为，点，均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右交点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由双曲线定义，，又，所以的周长为. 9.设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且，则的面积等于_________. 【答案】 【解析】 双曲线的实轴长为，焦距，由题意，知，所以，，则，即，所以. 10.“”是“方程表示双曲线”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 如果方程表示双曲线，那么；而如果，由于的值不确定（比如），则无法得出方程表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件，故选：A. 2.求双曲线方程 例3.已知点，，曲线上的动点到，的距离之差为，则曲线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 例4.在双曲线的标准方程中，若，，则其标准方程是（    ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 在双曲线的标准方程中，， 当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是； 当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是. 所以双曲线标准方程是或. 故选：D 例5.若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A. B. C. 或 D.或 【答案】C 【解析】 因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 例6.双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是_______． 【答案】 【解析】 设双曲线的方程为， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 故答案为：. 练习： 1.已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的方程可以为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 如图所示，过点作于点.    因为，所以， 因为， 所以，所以， 故，得. 因为，所以，故点， 将代入双曲线中， 即，化简得， ， 解得或（舍去），故B项正确. 故选：B. 2.已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 3.经过点和的双曲线的标准方程是________. 【答案】 【解析】 解：设双曲线的方程为，则，解得， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 4.焦点分别为，，且经过点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意知，所以①，又因为点在双曲线上，则②，由①②可得，，所以所求双曲线的标准方程为. 5.已知圆和圆，动圆同时与圆和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_______. 【答案】 【解析】 如图所所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和，根据两圆外切的条件得，，因为，所以，即，所以点到两定点，的距离之差是常数且小于，根据双曲线的定义，得动点的轨迹是双曲线的左支，其中，，则，故点的轨迹方程为. 6.已知圆与轴的两个交点为，都在某双曲线上，且，两点恰好将使双曲线的焦点三等分，则此双曲线的标准方程________. 【答案】 【解析】 已知圆与轴的交点坐标为，，因为圆与轴的两个交点，都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在轴上，且，又因为，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以，所以，所以此双曲线的标准方程为. 7.设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为，求此双曲线的标准方程. 【答案】 【解析】 设双曲线的标准方程为， 方法一：由题已知，又，所以，又点的纵坐标为，则横坐标为，于是有，解得，所以双曲线的标准方程为. 方法二：将点的纵坐标代入椭圆方程得，又两焦点分别为，，所以，所以，，所以双曲线的标准方程为. 8.一动圆过定点，且与定圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_______. 【答案】 【解析】 设动圆圆心为点，则，即，所以点的轨迹是以，为焦点，且，的双曲线的左支，又，，，所以动圆圆心的轨迹方程为. 9.在中，，，分别是，，的对边，且，，则顶点的轨迹方程为_______. 【答案】 【解析】 以所在直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，，因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，其方程为. 3.双曲线方程的应用 例7.（多选）已知关于，的方程（其中，为参数）表示曲线，下列说法正确的是（     ） A.若，则曲线表示圆 B.若，则曲线表示椭圆 C.若，则曲线表示双曲线 D.若，，则曲线表示四条直线 【答案】ACD 【解析】 若，则，表示圆，故A正确； 若，满足，方程无解， 故不表示任何曲线，故B错误； 若，则表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，故C正确； 若，，则或， 则或，表示四条直线，故D正确. 故选：ACD. 练习： 1.（多选）已知，则方程表示的曲线的形状可以是（   ） A.两条直线 B.圆 C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的双曲线 【答案】ABD 【解析】 对于方程， 当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆； 当时，，则， 此时方程，即表示焦点在轴的椭圆； 当时，，此时方程，即，表示两条直线； 当时，，则， 此时方程，即表示焦点在轴的双曲线. 综上可得符合依题意的有ABD. 故选：ABD. 2.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A.当时，曲线是椭圆 B.当或时，曲线是双曲线 C.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【解析】 对于A，当时，，则曲线是圆，A错误； 对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确； 对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确． 故选：BCD 3.（多选）若，曲线的方程为，则（     ） A.当时，曲线表示圆 B.当时，曲线表示两条直线 C.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D.当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】AB 【解析】A选项，，， 即，表示圆，A选项正确. B选项，，， 即，所以，表示两条直线，B选项正确. C选项，，， ，方程即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项错误. D选项，，， 方程即， 表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误. 故选：AB 4.“且”是“方程表示双曲线”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 若方程表示双曲线，则，解得；当时，方程表示双曲线，故“且”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 5.若双曲线的一个焦点为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 因为双曲线的一个焦点为，所以焦点在轴上，且，所以 ，所以. 6.已知方程表示双曲线，且该双曲线的两焦点之间的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得，解得，又由该双曲线的两焦点间的距离为，得，即，所以 . 7.若是实数，试讨论方程表示何种曲线. 【答案】答案见解析 【解析】 当时，方程化为，表示焦点在轴上的双曲线； 当 时，方程化为，表示两条垂直于轴的直线； 当时，方程化为，表示焦点为在轴上的椭圆； 当时，方程化为，表示一个圆； 当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆 4.焦点三角形 例8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：B 例9.设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是________. 【答案】 【解析】    如图： 由得，， ，， 由题意：，， ， 所以， 故答案为： 例10.已知、分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】    在双曲线中，，，则， 根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则． 因为， 所，． 在中，， ① 在中，是中点,则，两边平方可得， 所以② 所以 ,, ． 故选：A. 例11.已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 如下图所示： 在双曲线中，，，， 圆的圆心为，半径长为， 所以，双曲线的左、右焦点分别为、， 由双曲线的定义可得，， 所以，， 当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 例12.椭圆和双曲线有相同的焦点、，若点为两曲线的一个交点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：若点为两曲线的一个交点，不妨设在双曲线的右支上，则， ， 故选：A． 例13.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左右两支于，两点，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由双曲线得出. 因为，所以. 作于C，则C是AB的中点. 设，则由双曲线的定义， 可得. 故， 又由余弦定理得， 所以，解得. 故选：C    例14.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示：    由题意为内心， 设，，，内切圆半径为， 所以，又因为， 即， 化简得， 由双曲线定义可知，因此有； 注意到，且以及， 联立并化简得，即 ， 解得或（舍去，因为） 故选：C 练习： 1.设点在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于_______. 【答案】 【解析】 由题意知，， 又， ∴，， 故的周长为， 故答案为：22 2.若、是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是____________. 【答案】 【解析】 双曲线的标准方程为，所以， 因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则， 所以，所以的周长为6+6+10=16 故答案为：. 3.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 ,，, 易得双曲线的实轴长焦距. 因为都在右支上，则， 的周长, . 故答案为：6 4.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于，两点，若的周长为，则线段的长为_______． 【答案】或 【解析】 ,，, 易得双曲线的实轴长焦距. 若都在右支上，则， 的周长, ； 否则，不妨设是如图的情况： ， 所以，所以， 设,则, 由余弦定理得,解得, 故答案为：6或 5.已知双曲线，、是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：    6.如图，双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，求的面积．       【答案】 【解析】 如图，    由可得，， ， ， ， 过点作边上的高，则， ， 所以的面积为. 7.已知双曲线的两焦点分别为、，点为双曲线上一点，且，求的面积． 【答案】 【解析】 不妨设为双曲线右支上一点，由题意得， 又， 因为，由勾股定理得， 故，即， 解得，故.    8.双曲线的左、右两焦点分别为，，点在双曲线上，且，求的面积． 【答案】 【解析】 双曲线方程化为，即，所以， 解得，于是，设， 由双曲线的定义知，又， 在中，由余弦定理得 ， 而，则， 所以的面积 .      9.椭圆与双曲线有公共点，则与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为_______，与双曲线两焦点连线构成三角形面积为__________． 【答案】 【解析】 应用椭圆性质,可以得到 联立方程组, 因为椭圆及双曲线线的对称性可以取第一象限点P的坐标为, 所以为直角三角形，所以周长为， 故. 故答案为：24，24. 10.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 11.已知，为双曲线的左、右焦点，在双曲线上，，则______． 【答案】 【解析】 ，，则，，， . 故答案为：. 12.若，是双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，且，求的大小． 【答案】 【解析】 如图，    由可得， 设， 则，又， 所以， 在中， 又因为， . 13.设点在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于_______，_______． 【答案】 【解析】 在双曲线中，实半轴长，半焦距，则， 显然，又，解得， 所以的周长等于， . 故答案为：22； 14.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为_______． 【答案】 【解析】 因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 15.已知双曲线的方程是，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则_______. 【答案】或 【解析】 设双曲线的另一个焦点为，连接， 易得ON是的中位线， 所以， 因为，，所以或， 故或. 故答案为：1或9.    16.已知，双曲线的左､右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则_______. 【答案】 【解析】 双曲线，即，所以，所以， 又直线的斜率为，即，所以， 显然为锐角，所以，， 设，， 则， 另一方面，在中，由正弦定理， 即，解得， 代入上述方程组，解得，（负值舍去）.    故答案为： 17.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 【答案】 【解析】    由题可得，， 所以, 设，则，解得, 由于对称性，不妨取，所以 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为， 在直角三角形中，， 所以. 18.设，分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则_______，________； 【答案】 【解析】 因为，所以，则为直角三角形， 所以(为原点)， 又，，所以，， 所以 . 不妨设点在双曲线的右支上，则，① 又，② 联立①②解得，， 所以 . 故答案为：；. 19.已知点，分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为，则直线的斜率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，    ， 所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为， 设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴， 所以在中，， 所以， 故选：B. 20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设的内切圆与相切于,圆心为, 由切线长的性质以及双曲线定义可得， 又，因此，所以, 设角,且为锐角，由于， 所以， 为内切圆的半径，不妨设， 故在中，， , 当共线时，此时， 当方向相同时，，当方向相反时，， 因此, 故选：C 21.（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为的右顶点，过的直线与的右支交于，两点（其中点在第一象限），设点，分别为，的内心，，分别为，内切圆的半径，则（     ） A.点在直线上 B.点在直线的左侧 C. D. 【答案】ACD 【解析】 先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为. 过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心， 设圆P与的切点分别为， 则， 则，解之得 则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合， 则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M， 同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M. 则直线的方程为， 双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上. 则选项A判断正确；选项B判断错误； 选项C：.判断正确； 选项D：由直线的方程为，可得.判断正确. 故选：ACD 22.已知双曲线的中心在原点，两个焦点，分别为和，点在双曲线上，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得，则，即，解得，又因为，所以，所以双曲线的方程为，故选：C. 23.已知为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任意一点，过点做的平分线的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 不妨在双曲线右支上取一点，延长，交于点，由角分线性质可得，根据双曲线的定义得，，从而，在中，为中位线，故，故选A. 24.在中，，，点在双曲线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 在中，，，，为的外接圆半径，所以，又因为，所以. 25.已知为双曲线右支上一点、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则的面积为（ ） 【答案】B 【解析】 设的内切圆圆心的半径为，由双曲线的标准方程可知，，，因为，所以，即，所以，所以，故选：B. 26.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，且的中点在以（为坐标原点）为圆心，为半径半径的圆上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，可得，则，由题意可知是的中位线，则，故，故选C 27.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足，则的面积为_______. 【答案】 【解析】 不妨设点在双曲线右支上，由双曲线的定义可得，又，两式联立得，，又，所以，即为直角三角形，所以. 5.和差最值问题 例15.已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 练习： 1.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：.      2. 为双曲线右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为_______. 【答案】5 【解析】 双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，    两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为. 故答案为：5 3.过双曲线的左焦点作圆的一条切线（切点为），交双曲线右支点于，点为线段的中点，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由 ， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为． 故答案为：． 4.已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【答案】 【解析】 ， ，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    5.已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为，左，右焦点分别为，，点在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 6.已知双曲线的左焦点为，点，是双曲线的右支上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 设双曲线的右焦点为，如图，连接，，根据双曲线的定义可知，，所以，所以，而，，所以，所以要求的最小值为 7.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 设双曲线的右焦点为，因为是双曲线的左焦点，所以，，，，，由双曲线的定义，得 6.轨迹方程 例16.已知曲线上任意一点满足方程，求曲线的方程. 【答案】 【解析】 设， 则， 等价于， 曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为， 所以. 故曲线的方程为. 例17.已知的两个顶点，的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于，则顶点的轨迹方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，， 所以，整理为：，， 故选：A 例18.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于，两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 ，即，故，，设，，． 则，，，， 由得即， 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，， 两式相减得，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 综上所述：点的轨迹方程是． 练习： 1.已知动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 定圆的圆心为 ，与关于原点对称， 设动圆的半径为，则有，因为与圆外切， 所以，即， 所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支， 则，，， 所以轨迹方程为，，即，. 故答案为：， 2.已知圆，圆，圆，圆． （1）若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）设动圆的半径为， ∵动圆与圆内切，与圆外切， ∴，且. 于是， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆. 从而， 所以. 故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以，， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 3.在中，点为动点，两定点，的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设动点，由题知，， 又，由正弦定理可得，， 所以点在以为焦点，即，实轴长为2，即的双曲线的右支上， 所以， 又构成三角形，故点与不共线，即点不能在轴上， 所以动点的轨迹方程为.    4.动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点的轨迹. 【答案】点轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线. 【解析】 设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 5.（多选）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，，若直线，的斜率之积为（为常数），则点 的轨迹可能是（     ） A.两条直线 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 【答案】BCD 【解析】 解：依题意可知直线和直线的斜率存在， 设过的椭圆的切线方程为， 联立化简可得： ， 取， 即， 且有，且上式两根分别为， 则上式的判别式， 整理得，符合题意，所以， ①若，则， 即点的轨迹是直线（两条）的一部分； ②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分； 若且，整理可得， ③当时，12， 轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分； ④当或时，，且， 由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分； ⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线， 由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分. 故选：BCD 6.如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 【答案】 【解析】 设，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率不存在． 于是且.此时，的斜率为，的斜率为. 由题意，有，化简可得， 故动点的轨迹的方程为（） 7.双曲线，、为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆. （1）求的轨迹方程； （2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由已知得，，故，所以､， 因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4， 所以的轨迹方程为； （2）设动点，， 则，， 由，得，，， 即，解得， 因为点在上，所以， 代入得， 化简得. 8.如图，椭圆（，，为常数），动圆，，点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点，求直线与直线交点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设，，又，， 则直线的方程为…①；直线的方程为…②； 由①②得：…③； 由点在椭圆上可得：， ，代入③得：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $