2.5.2 椭圆的几何性质（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，系统梳理焦点在x轴与y轴上椭圆的标准方程、范围、对称性等性质，衔接几何性质应用（如a,b,c关系、焦点距离最值）及离心率对形状的影响，通过题型分类与分层练习构建完整学习支架。 资料亮点在于知识点表格化对比清晰，随学随练即时巩固，题型涵盖几何性质、求方程、离心率问题，分层练习从基础到迁移创新。结合核心素养，如人造卫星轨道问题培养数学语言表达现实世界的能力，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升推理与应用意识。

第二章 平面解析几何 2.5.2　椭圆的几何性质 课标要点 1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解椭圆的简单应用． 学习重难点 重点： 1. 椭圆的几何性质.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 难点： 椭圆离心率对椭圆形状的影响． 知识点一 椭圆的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 随学随练 1．（25-26高二上·安徽·期中）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点二 椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． 　(2)明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． (3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c． 随学随练 3．（25-27高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 知识点三 椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0<e<1. (2)＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2. 随学随练 5．（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，若的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 题型椭圆的几何性质 ▌例1（25-26高二上·湖北·期中）椭圆的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）椭圆的焦距等于（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 题型利用椭圆的几何性质求标准方程 ▌例1（25-26高一上·北京·阶段检测）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·上海松江·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 题型 椭圆的离心率问题 ▌例1（25-26高三上·河北衡水·期中）已知椭圆的焦距为6，离心率为，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 基础通关 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 2．（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西九江·期末）已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 10．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 素养提升 11．（25-26高二下·广东广州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 12．（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图所示,把一个半径为6dm的圆形纸板斜放在地面上,测得圆形纸板所在平面与地面所成的角为,若用垂直于纸板的光束照射纸板,在地面上可形成椭圆形影子,则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·陕西安康·期中）记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 迁移创新 15．（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 17．（25-26高二下·广东揭阳·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（   ） A． B．的最大值为3 C．存在点P，使得 D．的最大值为4 20．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．若椭圆的焦点在轴上，则 B．若椭圆的离心率，则或 C．当且时，的面积为 D．当时存在点使得 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.5.2　椭圆的几何性质 课标要点 1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解椭圆的简单应用． 学习重难点 重点： 1. 椭圆的几何性质.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 难点： 椭圆离心率对椭圆形状的影响． 知识点一 椭圆的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 随学随练 1．（25-26高二上·安徽·期中）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出. 【详解】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确. 故选：C 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 知识点二 椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． 　(2)明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． (3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c． 随学随练 3．（25-27高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【详解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 知识点三 椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0<e<1. (2)＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2. 随学随练 5．（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则； B：，则； C：即，，则； D：即，，则； 因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：B 6．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，若的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率公式和的关系即可计算求解. 【详解】由题得的离心率， 所以. 故选：D 题型椭圆的几何性质 ▌例1（25-26高二上·湖北·期中）椭圆的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断焦点所在位置，再根据的关系求，可确定焦点坐标. 【详解】由得椭圆的焦点在轴上， 且，，所以，又，所以. 所以椭圆的焦点坐标. 故选：A ▌对点练1-1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）椭圆的焦距等于（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程，确定的值即可． 【详解】由题意可知，则， 故椭圆焦距． 故选：B． 题型利用椭圆的几何性质求标准方程 ▌例1（25-26高一上·北京·阶段检测）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，即得，再由椭圆的的关系和离心率公式，计算即可得到，进而得到椭圆方程. 【详解】由得焦点坐标为， 即， 又， ，， 即椭圆方程为， 故选：B. ▌对点练1-1（25-26高二上·上海松江·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 题型 椭圆的离心率问题 ▌例1（25-26高三上·河北衡水·期中）已知椭圆的焦距为6，离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记椭圆的半焦距为，由题可得，，据此可得答案. 【详解】记椭圆的半焦距为，由得，于是由得，可知． 故选：B． ▌对点练1-1（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件依次求得的值，从而确定正确答案. 【详解】依题意，短半轴， 由，解得. 故选：A 基础通关 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为. 4．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 5．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中位线性质得出的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算即可. 【详解】由椭圆方程，可得，即长半轴, 如图所示，设椭圆左焦点为，原点是的中点，是的中点， 则是的中位线，得； 因为，椭圆半焦距. 所以的周长为：. 由，可得：， 代入，得，即，故椭圆离心率. 6．（25-26高二上·江西九江·期末）已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用得出相似关系，求出，即可求出离心率. 【详解】由题意易得， 因为，所以，即，化简得， 故，所以. 故选：A 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】由椭圆可知，，，则， 故该椭圆的离心率为. 8．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 9．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 10．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 素养提升 11．（25-26高二下·广东广州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先求，进而利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由，所以，所以， 所以椭圆的方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以， 又， 所以的周长为：. 12．（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用椭圆定义得出，又，得出焦半径范围即可. 【详解】由题意及椭圆的定义可知， 即，又， . 则椭圆焦半径范围为. 13．（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图所示,把一个半径为6dm的圆形纸板斜放在地面上,测得圆形纸板所在平面与地面所成的角为,若用垂直于纸板的光束照射纸板,在地面上可形成椭圆形影子,则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面与地面的夹角，确定椭圆的长半轴、短半轴，再计算离心率 【详解】如图所示，设为纸板平面相互垂直的两条直径，且A点为纸板平面最高点. 圆形纸板的半径，用垂直于纸板的光束照射时，圆上所有点到圆心的距离均为6. 椭圆的短半轴：在地面上的投影长度不变，故. 椭圆的长半轴：投影被拉长，因为纸板平面与地面夹角为，则投影长度为， 故椭圆长半轴. 则半焦距，离心率 14．（25-26高二下·陕西安康·期中）记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可. 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为， 由消去得，而，解得， 直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2. 迁移创新 15．（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，代入椭圆方程可得，进而计算可解. 【详解】由题意可得，, 由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即， 因为在椭圆上， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积及周长可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 离心率为，故B正确； 因为，所以，所以为直角三角形，，所以，故C错误； 的周长为，故D正确. 17．（25-26高二下·广东揭阳·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求的值，即可判断A；利用焦点三角形的面积公式求的面积，即可判断B；结合三角形面积，可求内切圆的半径，即可判断C；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，即可判断D. 【详解】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：由，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，故B错误； 对于C：由，由余弦定理得： ， 所以， 所以， 设内切圆的半径为， 又， 又，所以，故C正确； 对于D：由，，得， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 所以，故D正确. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义判断线段和的最值，即可判断AC选项；利用直接法可得椭圆离心率，利用点差法可确定弦的斜率. 【详解】 如图所示，由已知椭圆， 即，，则， 所以椭圆离心率为，B选项正确； 且，，，， 则， 又， 即当点在延长线上时取得最大值为， ， 即当点在延长线上时取得最小值为， 即A选项错误；C选项正确； 设被点平分的弦与椭圆交于点，， 即，两式相减可得， 即， 又为中点，即， 所以， 所以，D选项正确. 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（   ） A． B．的最大值为3 C．存在点P，使得 D．的最大值为4 【答案】BD 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质，余弦定理，基本不等式逐项判断. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，故A错误； 对于B，由椭圆的性质可知，故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，当时，最大， 此时， 故的最大值为，所以不存在点，使得，C错误； 对于D，，当且仅当时取等，故D正确； 故选：BD 20．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．若椭圆的焦点在轴上，则 B．若椭圆的离心率，则或 C．当且时，的面积为 D．当时存在点使得 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确.    故选：BCD 试卷第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $