2.5.2 椭圆的几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质核心知识点，从椭圆标准方程出发，通过边界、对称性、特殊点等问题引导，系统梳理范围、对称性、顶点、轴长、焦点、离心率等性质，结合特征三角形和离心率与扁平程度的关系构建知识支架。 资料以问题驱动和表格对比设计为亮点，通过方程推导几何性质培养直观想象和逻辑推理素养，融入鱼群洄游、卫星轨道等实际应用案例，课中助力教师高效授课，课后配套练习题及易错点分析帮助学生查漏补缺。

2．5.2　椭圆的几何性质 [学习目标] 知识层面 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．　2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 素养层面 通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 问题1.如图所示，椭圆方程为＋＝1，你能根据方程确定椭圆的边界吗？ 提示：能．由方程＋＝1， 得＝1－≥0，得－a≤x≤a， 同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于x＝±a和y＝±b围成的矩形内． 问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称．方程中若(x，y)满足，则易知(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)也满足． 问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a，故(±a，0)，(0，±b)为特殊点． 知识点　椭圆的简单几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 范围 x∈[－a，a]， y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a] 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a 短轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 微提醒 1．椭圆的特征三角形 a是椭圆的半长轴长，b是椭圆的半短轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图，a，b，c恰好构成一个直角三角形．这个三角形就是椭圆的特征三角形，直观地显示出a，b，c三者之间的关系．由此可得“已知椭圆的四个顶点作其焦点”的方法：以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点． 2．准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程度． 由＝ ＝(0<e<1)可知， 学生用书↓第87页 (1)当e越趋近于1时，越趋近于0，椭圆越扁； (2)当e越趋近于0时，越趋近于1，椭圆越接近于圆． 当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.　　 1．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则(　　) A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3，2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 答案：C 解析：因为点(3，2)在椭圆＋＝1上，由椭圆的对称性可得点(3，－2)、(－3，2)、(－3，－2)均在椭圆＋＝1上． 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，　　　　　　　 B．10，6， C．5，3， D．10，6， 答案：B 解析：椭圆可变形为＋＝1，因为焦点在y轴上， 所以a＝5，b＝3，所以长轴长为10，短轴长为6，e＝＝. 3．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为________． 答案：2 解析：因为椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，所以m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，所以m＝2，则椭圆方程为＋＝1，所以a＝，2a＝2. 4．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，所以a2＝b2＋(a－1)2，解得a＝5，所以c＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝. 题型一　椭圆几何性质的简单应用 (1)已知椭圆x2＋my2＝1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝(　　) A． B．2 C． D．4 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． [思路点拨]　解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． 答案：(1)C 解析：(1)把椭圆x2＋my2＝1化成标准式x2＋＝1，因为椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以 ＝2，解得m＝，故选C. (2)椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， 所以e＝＝＝， 所以m＝3，所以b＝，c＝1， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， 所以c＝， 所以e＝＝＝，解得m＝， 所以a＝，c＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0)． 方法技巧 1．已知椭圆方程不是标准形式时，应先化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上，再讨论其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置． (2)椭圆的范围决定椭圆的大小． (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度． (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点．　　 对点练1.(1)过椭圆 ＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　) A．8，6 B．4，3 C．2， D．4，2 (2)椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意可得a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1，所以a＝2，c＝1.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦的长为椭圆的长轴的长，即2a＝4.过椭圆＋＝1的焦点的最短弦的长为过焦点且垂直于x轴的弦长．在＋＝1中，令x＝1，得y＝±.所以过椭圆＋＝1的焦点的最短弦的长为2×＝3.综上，故选B. (2)椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.椭圆＋＝1(k<9)的长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为.因此两个椭圆的焦距相等．故选C. 学生用书↓第88页 题型二　由椭圆的几何性质求标准方程 (链教材P141练习BT1)根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)长轴长为10，离心率为； (2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6. [思路点拨]　 (1)由2a＝10， 求得a→由＝及a， 求得c→由b2＝a2－c2 求得b2写出两个 标准方程 (2)由焦距为6 求得c→由已知垂直 关系求得b→由a2＝b2＋c2 求得a2写出标准方程 解：(1)由题意，得2a＝10，所以a＝5. 又e＝＝，所以c＝3. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16. 当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. (2)如图，因为焦距为6， 所以2c＝6， 所以c＝3. 因为B1F⊥B2F， 所以∠B1FO＝45°， 所以|OB1|＝|OF|，所以b＝c＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18. 因为焦点在x轴上，所以所求的椭圆的标准方程为＋＝1. 方法技巧 已知椭圆的几何性质求标准方程的步骤 1．确定焦点所在的坐标轴，确定椭圆标准方程的形式； 2．建立关于a，b，c的关系式或方程(组)，并解出a，b的值； 3．写出椭圆的标准方程．　　 对点练2.(1)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．x2＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________． 答案：(1)A　(2)＋＝1 解析：(1)因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A. (2)因为直线x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.设O(0，0)，则kOP＝，因为OP⊥AB，所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，所以直线AB与y轴的交点为(0，2)，所以b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1. 题型三　求椭圆的离心率 (链教材P139例2)(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． [思路点拨]　(1)求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式．(2)设法建立关于a、c的不等式． 答案：(1)　(2) 解析：(1)方法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． (2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥，又因为0<e<1，所以椭圆离心率的取值范围是. [变式探究] 1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 解：在△PF1F2中， 因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， 所以∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，如图， 故|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， 所以＝， 所以e＝＝＝＝. 2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 解：由题意，知以F1F2为直径的圆与椭圆相交，故c>b，所以c2>b2. 又b2＝a2－c2， 所以c2>a2－c2，即2c2>a2，所以e2＝>， 所以e>，又0<e<1， 所以C的离心率的取值范围为. 学生用书↓第89页 方法技巧 求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为a、b、c的方程或不等式，再求解． (1)若已知a、c可直接代入e＝求得． (2)若已知a、b则使用e＝求解． (3)若已知b、c，则求a，再利用(1)求解． (4)若已知a、b、c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)． (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a、b、c的关系，再列方程(不等式)求解．由于a、b、c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解．　　 对点练3．(1)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由题意可知＝＝＝＝a，＝2c，在△AF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1AF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝.故选C. (2)方法一：因为椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，所以以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆必有交点，如图，b≤c，所以b2≤c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2≤c2，即a2≤2c2，则e2＝≥，又因为0<e<1，所以≤e<1，所以椭圆的离心率e的取值范围为. 方法二：由椭圆上存在一点P使得∠F1PF2＝90°，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.又因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以e2＝＝＝1－，由＋≥2(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，所以e2≥，又因为0<e<1，所以≤e<1. 方法三：(速解)由sin ≤e<1得≤e<1. 题型四　椭圆的实际应用 某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C.现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计)，A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5∶3，试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标)． [思路点拨]　利用待定系数法求出椭圆方程―→利用点P到A、B两点的距离求出鱼群P的位置坐标 解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为2a＝8，2c＝4， 所以a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝12， 于是椭圆C的方程为＋＝1. (2)易知A(－2，0)，B(2，0)． 因为|PA|∶|PB|＝5∶3，|PA|＋|PB|＝8， 所以|PA|＝5，|PB|＝3. 设P(x，y)，则解得 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 方法技巧 1．解决与椭圆相关的应用题的基本策略： (1)通过求解椭圆的方程来研究它们的性质； (2)应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解． 2．利用椭圆解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的坐标系； (2)求出椭圆的标准方程(待定系数法)； (3)根据椭圆的方程及性质解决实际问题．　　 对点练4．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(距地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一个直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ 答案：ABD 解析：因为地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得所以(*)故A，B正确；由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)，所以b＝.故D正确． 学生用书↓第90页 题型五　与椭圆有关的综合问题 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围． [思路点拨]　(1)由点P(－，1)在椭圆上和＋＝0，M在y轴上，可得到两个关于a，b的关系式，联立解得b2＝2，a2＝4.从而能得到所求椭圆C的方程． (2)点M(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为M(x1，y1)，由题设能导出3x1－4y1＝－5x0，由点P(x0，y0)在椭圆C上，知－2≤x0≤2.由此可求出3x1－4y1的取值范围． 解：(1)因为点P(－，1)在椭圆上， 所以＋＝1.① 又因为＋＝0，M在y轴上， 所以M为PF2的中点，所以－＋c＝0，c＝. 所以a2－b2＝2.② 联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，所以a2＝4. 故所求椭圆C的方程为＋＝1. (2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)， 所以 解得 所以3x1－4y1＝－5x0. 因为点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上， 所以－2≤x0≤2， 所以－10≤－5x0≤10， 即3x1－4y1的取值范围为[－10，10]． 方法技巧 椭圆几何性质的拓展 1．设椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|PO|有最小值，这时P在短轴端点处；当x＝a时，|PO|有最大值，这时P在长轴端点处． 2．椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． 3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式a2＝b2＋c2. 4．椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点．　　 对点练5．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，则|PA|的最小值为________． 答案：2 解析：设P(x，y)，则|PA|＝＝.因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7.则|PA|＝＝.因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2. 易错点1　忽略焦点位置致错 若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值． [正解]　①若焦点在x轴上，即当k＋8>9时，a2＝k＋8，b2＝9. 又因为e＝＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝4. ②若焦点在y轴上，即当0<k＋8<9时，a2＝9，b2＝k＋8. 又因为e＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝－. 综上可知，k＝4或k＝－. [易错探因]　错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论． [误区警示]　在解椭圆的有关问题时，有时需要进行分类讨论，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，就需要分类讨论． 易错点2　忽略椭圆的范围致错 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程． [正解]　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则e2＝＝＝1－＝， 所以＝，即a＝2b. 学生用书↓第91页 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d， 则d2＝x2＋＝a2＋y2－3y＋ ＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)． 若b<，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是()2＝， 解得b＝±－，与0<b<矛盾． 所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值，即4b2＋3＝()2，解得b2＝1，所以a2＝4. 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. [易错探因]　本题易忽略椭圆方程中y的取值范围，在解题时直接得：当y＝－时，d2有最大值．事实上，由于点(x，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论． [误区警示]　与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定要注意函数的定义域． 课时测评23　椭圆的几何性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) C．椭圆C的离心率等于 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝ 答案：ACD 解析：由题意知椭圆标准方程为＋＝1，则a＝5，b＝4，所以c＝3.长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3，0)，(－3，0)，B错误；离心率为e＝＝，C正确；将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，解得y＝±，所以|PQ|＝，D正确．故选ACD. 2．(2024·九省适应性测试)椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：由题意得e＝＝，解得a＝.故选A. 3．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为k km，则飞船运行轨道的短轴长为(　　) A．2 B． C．mn D．2mn 答案：A 解析：由题意可得a－c＝m＋k，a＋c＝n＋k，故(a－c)(a＋c)＝(m＋k)(n＋k)，即a2－c2＝b2＝(m＋k)(n＋k)．所以b＝，所以椭圆的短轴长为2.故选A. 4．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：A 解析：如图所示， 在Rt△OF1B中，|F1B|＝a，|OF1|＝c，则sin ∠F1BO＝＝＝<，所以∠F1BO<45°，所以∠F1BF2<90°.又因为∠F1PF2≤∠F1BF2，所以满足∠F1PF2＝90°的点P不存在． 5．(多选)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(　　) A． B． C． D． 答案：BCD 解析：由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|<|F1F2|，即a<2c，所以e＝>.当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|＝a＋c，|PF2|＝a－c，所以a＋c＝2(a－c)，即a＝3c，所以e＝＝.综上，椭圆的离心率的取值范围是，故选BCD. 6．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 答案：① 解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；＋＝1的离心率e2＝，因为e1>e2，故①更扁． 7．(一题两空)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则椭圆的离心率为________，若过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其中一点为A，则|F1A|＝________． 答案：　 解析：由题意，可得a＝2，b＝，则c＝1，所以椭圆的离心率e＝＝.过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，所以|AF2|＝＝.由椭圆的定义，可知|F1A|＝2a－|AF2|＝4－＝. 8．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：因为P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，则P点的坐标为， 方法一：设椭圆方程为＋＝1，则F(－c，0)，A，B，可得kAB＝－，因为OP∥AB，则直线OP的斜率为－，可得其方程为y＝－x，可得＝－×，整理得b＝c，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝＝. 方法二：设椭圆方程为＋＝1，F(－c，0)，A，B，因为OP∥AB，则Rt△OPF∽Rt△ABO，可得＝，即＝，整理得b＝c，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝＝. 9．(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为； (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝. 解：(1)由4x2＋9y2＝36⇒＋＝1，知焦距为2，所以所求椭圆的焦距也为2，c＝.又离心率为，所以＝，所以a＝5， 所以b2＝a2－c2＝25－5＝20， 所以所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝， 所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1. 10．(10分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围． 解：由余弦定理得 cos 60°＝ ＝ ＝， 解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2， 即|PF1|·|PF2|＝. 因为|PF1|·|PF2|≤＝a2， 所以3a2≥4(a2－c2)，解得≥. 又因为椭圆中0<e<1， 所以所求椭圆离心率e的取值范围为≤e<1. 11．(5分)(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个选项中正确命题为(　　) A．P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值 B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 C．曲线C所围区域面积必小于36 D．曲线C的总长度不大于6π 答案：BC 解析：逐一考查所给的说法： 考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，所以曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线C的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选BC. 12．(5分)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若直线l：x＝上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率的范围是________． 答案： 解析：由题意得F1(－c，0)，F2 (c，0)，设点P，则由中点公式可得线段PF1的中点K，所以直线PF1的斜率与KF2的斜率之积等于－1，所以·＝－1，所以m2＝－·≥0，所以a4－2a2c2－3c4≤0，所以3e4＋2e2－1≥0，所以e2≥，或e2≤－1(舍去)，所以e≥.又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1. 13．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，)，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求·的取值范围． 解：(1)由题意，得解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由(1)得，A(－2，0)，F(1，0)，设P(x，y)， 则＝(－2－x，－y)，＝(1－x，－y)， 所以·＝(－2－x)(1－x)＋y2 ＝x2＋x－2＋3－x2 ＝x2＋x＋1＝(x＋2)2(－2≤x≤2)． 所以·∈[0，4]． 14．(5分)(多选)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且＝，cos∠PF2F1＝，则下列结论正确的有(　　) A．椭圆E的离心率为 B．椭圆E的离心率为 C．PF1⊥PF2 D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10 答案：ACD 解析：由＋＝2a，＝，解得＝a，＝a，则cos∠PF2F1＝＝＝，整理得5a2＋18ac－35c2＝0，即(a＋5c)(5a－7c)＝0，则a＝－5c(舍去)或a＝c，故椭圆E的离心率为.故A正确，B不正确；由a＝c，得＝2c＝a，则2＋2＝2，故PF1⊥PF2.故C正确；由PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2，得2c＝2a－4.因为a＝c，所以c＝5，即椭圆E的焦距为10.故D正确．故选ACD. 15．(15分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意知解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x0，y0)，且＋＝1， 所以||2＝(x0－m)2＋y ＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1. 又点M(m，0)在椭圆长轴上， 所以1≤m≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $