精品解析：陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高三上学期1月月考（六模）数学试题

陕西省西安市铁一中学2025—2026学年 高三上学期六模数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线与直线的倾斜角，结合图象可知旋转角的大小. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 2. 已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线定理可得，进而可得，结合条件即得. 【详解】连接，延长交轴于，则 ，又，， 所以， 故，即， 又， 所以，即. 故选：D. 3. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求出，再利用数量积的运算律，结合基本不等式求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 4. 在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在圆上，利用三角代换，转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】由可得， 由圆的对称性，不妨设在轴及轴上方， 则可设， 所以， 由，可知，故， 所以，即， 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 5. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】因为关于x的方程有实根， 所以关于x的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 设点到直线的距离为，则， 设，则，得到， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 得到，则，又， 由几何意义可知，故， 检验：当时，， 由，解得，此时； 由，解得，此时. 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 6. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 因为，，，所以，故， 取的中点，连接，如图所示： 因为，故， 又因为，即，故四边形为平行四边形，所以且， 因为，故，即， 所以， 因为，所以，故， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，故，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明出平面，可得出，利用勾股定理得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）由结合等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为，则， 取的中点，连接，如下图所示： 因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 因为，故， 因为平面，平面，所以，故， 由得，解得， 故点到平面的距离为. 7. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】（1），，不独立 （2） X 800 500 300 P 446 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 ， ，， ，所以A，B不独立； 【小问2详解】 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 8. 已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． （1）当时，求； （2）证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】（1） （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又 ，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在 上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当 时，，即成立； 当 时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【小问1详解】 函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而 ，所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市铁一中学2025—2026学年 高三上学期六模数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 2. 已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 5. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 6. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 7. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 8. 已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． （1）当时，求； （2）证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $