精品解析：陕西汉中市汉台中学2025-2026学年高三上学期第四次月考数学试题

汉台中学2026届高三年级第四次月考数学科 试题命题：李少毓 审题：韩昕形 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性把集合A具体化，再利用集合的交集运算法则可得答案. 【详解】由，得：， 根据对数函数的性质，底数， 所以函数在上单调递增， 所以， 因此，集合； 由，可得：； 所以，. 2. 若命题：，则命题的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题：，的否定是：. 故选：C 3. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及垂直的向量坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 又由，可得，解得. 故选：C 4. 若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 5. 设，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 6. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项的性质结合等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 7. 设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】解：， ， ，的图象如下所示，要使函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则，解得，即． 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：） A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为5000比信噪比为1000时提升了多少即可． 【详解】依题意，，， 则， 所以大约增加了23%. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】借助于长方体模型可说明A,C错误；利用线面垂直的性质，面面平行的判定定理可判断B,D正确. 【详解】 对于A，如图，在长方体中，取直线分别为，平面为平面，显然满足，但是相交直线，故A错误； 对于B，根据线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两直线互相平行，可知B正确； 对于C，如上图，取直线为直线，平面为平面，平面为平面，显然满足，但,故C错误； 对于D，根据面面平行的判定方法，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知D正确. 故选：BD. 10. 等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当或13时，取得最大值 D. 若．则数列的前36项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得判断A；求出通项公式可判断B；由通项公式可得各项的符号判断C；利用并项求和法可得判断D. 【详解】在等差数列中，有，所以， 又因为，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，故A不正确； 所以等差数列的公差， 所以等差数列的通项公式为，故B正确． 当时，；当时，； 当时，，故当或13时，取得最大值， 故C正确， 因为，，所以， 则，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】数形结合并由双曲线的性质、定义结合直线与双曲线的位置关系和点到直线的距离即可依次求解判断各选项. 【详解】由题当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线不存在； 当，时，曲线，故作出曲线如图所示： 选项A：法一：由图可知，曲线不关于直线对称，故A错误； 法二：将中的替换为替换为，得， 与不相同，故曲线不关于直线对称，故A错误； 选项B：易知，为双曲线的上、下焦点， 所以当点在第三象限时，根据双曲线的定义可知，故B正确； 选项C：易知直线为双曲线与双曲线的一条共同渐近线， 直线的斜率小于直线的斜率， 故直线与曲线在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故C正确； 选项D：设曲线上第一象限内的点为， 则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数的虚部为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，以及复数的除法运算，即可求解. 【详解】由条件可知，，， ，所以复数的虚部为. 13. 函数在区间上的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】求函数的导函数，根据导函数与函数的单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的值域即可. 【详解】因为，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在区间上的值域为． 故答案为：. 14. 已知为无穷数列，构造新数列，满足满足满足．若为非零常数列，则称为阶等差数列．若数列为2阶等差数列，且其前5项分别为3，6，10，15，21，则数列的通项公式___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，先求出相关已知项，得到为常数列，进而得到是首项为3，公差为1的等差数列，则，再利用累加法求和得到即可． 【详解】根据题意，， ， 所以为常数列，，即， 所以是首项为3，公差为1的等差数列， ，即， 时，， ， ， 当时，满足上式， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得 即， 即， 又在中， 所以， 则在中； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以的周长. 16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． （1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； （2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 【答案】（1） （2）采用补贴方案二的补贴额更高 【解析】 【分析】（1）根据条件概率计算公式即可求解； （2）求出两种方案的数学期望并进行比较即可． 【小问1详解】 记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月， 事件B：单个家庭共生育2个婴儿， 则， ， ； 【小问2详解】 记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为， ， ， ，故采用补贴方案二的补贴额更高． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：分别是的中点， ，且， 在三棱柱中，是的中点，，且， 且， 四边形为平行四边形，， 又平面平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，据此结合空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，. 令，则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先求出椭圆的半焦距，继而求得短半轴长，即得椭圆方程； （2）先检验当直线的斜率为0时，不合题意，再设，将其与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，求得，即得直线的方程，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【小问1详解】 不妨记E的半焦距为c，则，解得， 故E的方程为． 【小问2详解】 当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去； 当直线AB的斜率不为0时，记，联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 故：，故O到的距离， 故的面积． 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台中学2026届高三年级第四次月考数学科 试题命题：李少毓 审题：韩昕形 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 2. 若命题：，则命题的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 4. 若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 6. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 7. 设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：） A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当或13时，取得最大值 D. 若．则数列的前36项和 11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数的虚部为______． 13. 函数在区间上的值域为______． 14. 已知为无穷数列，构造新数列，满足满足满足．若为非零常数列，则称为阶等差数列．若数列为2阶等差数列，且其前5项分别为3，6，10，15，21，则数列的通项公式___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． （1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； （2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $