30.1.2 直线与圆相切 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“直线与圆相切”核心知识点，通过生活场景（转动雨伞雨滴、砂轮火星）导入，回顾直线与圆的位置关系及切线定义，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究切线性质与判定定理。 特色在于以“观察—猜想—论证—归纳”引导探究，培养数学思维与推理能力，通过例1用勾股定理、例2和3证明切线，总结辅助线添加方法，提升学生逻辑推理与应用意识，为教师提供清晰教学流程与实用策略，助力高效教学。

第1课时　直线与圆相切 　　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　直线与圆相切 授课人 教 学 目 标 1.使学生掌握圆的切线的性质和切线的判定定理. 2.能够运用切线的判定定理证明直线是圆的切线. 3.综合运用切线的判定定理和性质解决问题,培养学生的逻辑推理能力. 4.以圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定定理和性质,让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究方法. 教学 重点 　　圆的切线的性质与判定. 教学 难点 　　掌握圆的切线问题中辅助线的添加方法. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　问题: 1.直线与圆有哪几种位置关系?你有哪些判断方法? 2.什么叫作圆的切线?怎样判断一条直线是不是圆的切线? 师生活动:学生回答问题,教师引导学生进行复习并及时总结. 　　通过问题的形式,引导学生回顾所学知识,为学习新知识打下基础. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 转动雨伞时飞出的雨滴、在砂轮上打磨工件时产生的火星都是沿着什么方向飞出的? 图30-1-19 都是沿圆的切线方向飞出的. 　　由学生熟悉的生活场景引入新课,让学生了解本节课要研究的内容与圆的切线相关. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 切线的性质 思考:如图30-1-20,直线l与☉O相切于点A,连接OA,那么☉O的半径OA与过点A的切线l有什么关系? 　图30-1-20 如图30-1-21,设P为直线l上不同于点A的点.因为直线l与☉O只有一个公共点A,所以点P在☉O外,从而OP>OA,即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线.因此,半径OA 　图30-1-21 与直线l垂直(可以用反证法证明),由此得到切线的性质. 师生活动:教师引导学生小组内进行分析. 师生共同总结: 切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言:∵直线l与☉O相切于点A,∴直线l⊥OA. 【探究2】 切线的判定定理 　图30-1-22 思考:按上述性质,若☉O的切线l经过半径OA的外端点A,那么l⊥OA.反过来,如图30-1-22,若直线l过半径OA的外端点A,且l⊥OA,那么直线l是☉O的切线吗? 可以看出,这时圆心O到直线l的距离就是☉O的半径,因而直线l就是☉O的切线.由此可得到切线的判定定理. 教师引导学生对切线的判定定理进行概括,并发表意见. 师生共同总结,教师板书: 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 教师引导学生分组讨论切线的判定定理的题设和结论,做好切线的判定定理的分析,运用切线的判定定理证明一条直线是圆的切线要把握两点:①经过半径的外端;②垂直于这条半径. 　　数学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上.教学应激发学生的学习积极性,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基础的数学知识技能、数学思想和方法,让学生自己总结,训练学生概括的能力,并进一步加深学生理解本课的学习内容和方法. 活动 二: 探究 与 应用 【理解应用】 例1　如图30-1-23,A为☉O上一点,PB为☉O的切线,切点为B,PB=4,PA=2,求☉O的半径长. 图30-1-23 解:如图30-1-24,连接OB. 图30-1-24 ∵PB为☉O的切线,∴OB⊥PB,即∠OBP=90°. 设☉O的半径长为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中,由勾股定理,得OB2+PB2=OP2, 即r2+42=(2+r)2,解得r=3,∴☉O的半径长为3. 方法指导:利用切线的性质解题时,常需连接辅助线,一般连接圆心与切点,构造直角三角形,再利用直角三角形的相关性质或建立方程解题. 例2　如图30-1-25,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,PA=PB. 求证:PB是☉O的切线. 图30-1-25 证明:如图30-1-26,连接OA,OB,OP. 图30-1-26 ∵PA与☉O相切于点A,∴PA⊥OA,即∠PAO=90°. ∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO, ∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB⊥OB. 这样,PB经过☉O的半径OB的外端点B,并且垂直于半径OB, ∴PB是☉O的切线. 师生活动:学生独立思考,然后小组内交流,教师及时引导、点拨作出辅助线,并规范解题. 例3　如图30-1-27,已知直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线. 图30-1-27 分析:由于AB经过☉O上的点C,所以连接OC,只要证明AB⊥OC即可. 证明:连接OC,如图30-1-28. 图30-1-28 ∵OA=OB,CA=CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线, ∴AB⊥OC. 又∵OC是☉O的半径,∴直线AB是☉O的切线. 　　例题设置的目的是总结作辅助线的方法,从而提高学生对切线的性质和判定定理的应用能力. 活动 二: 探究 与 应用 　　方法点拨:证切线时辅助线的添加方法: (1)有交点,连半径,证垂直; (2)无交点,作垂直,证半径. 教师总结:(1)当明确指出直线与圆的交点时,应连接圆心和交点,即得到“半径”,再证明“直线与半径垂直”,简称为“连半径,证垂直”; (2)当未明确指出直线与圆的交点时,应过圆心作直线的垂线段,再证明“垂线段的长等于半径”,简称为“作垂直,证半径”. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.如图30-1-29,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 (B) 图30-1-29 A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6 2.如图30-1-30所示,A是☉O上一点,且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是　相切　.  图30-1-30 3.如图30-1-31,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为　60°　时,直线AC是☉O的切线.  　图30-1-31 活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图30-1-32,PA为☉O的切线,切点为A,OP=2,∠APO=30°,求☉O的半径长. 图30-1-32 解:如图30-1-33,连接OA. 图30-1-33 ∵PA为☉O的切线,切点为A,∴OA⊥AP,∴∠OAP=90°. 又∠APO=30°,OP=2,∴OA=OP=1,即☉O的半径长为1. 5.如图30-1-34,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边BC于点P,PE⊥AC于点E.求证:PE是☉O的切线. 图30-1-34 证明:如图30-1-35,连接OP. 图30-1-35 ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP,∴∠B=∠OPB, ∴∠OPB=∠C,∴OP∥AC. 又∵PE⊥AC,∴PE⊥OP. 又∵OP是☉O的半径, ∴PE是☉O的切线. 师生活动:学生进行当堂检测,完成后,教师进行个别提问,并指导学生解释做题方法,使学生在思考解答的基础上,共同交流,形成共识,确定答案. 　　当堂训练是为了加深学生对所学知识的理解运用,在问题的选择上以基础为主,疑难点突出,增加开放型、探究型问题,使学生思维得到拓展,能力得以提升. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的过程中,学生通过动手操作、思考、归纳、总结等活动,得到结论;在当堂训练环节中,通过不同类型的问题,指导学生灵活地掌握基础知识. ②[讲授效果反思] 引导学生注意:(1)不能忽略切线的判定定理中的“经过半径的外端”;(2)辅助线的作法. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,学生在探究基础知识时,推理能力和有条理的符号表达能力得到了一定的发展. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $