第二章 等式与不等式（7考点+4易错+易错训练）（知识清单）数学人教B版高一必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“等式与不等式”单元内容，涵盖一元二次方程解法、方程组求解、不等式性质、数式大小比较、一元二次不等式解法及均值不等式应用等核心范畴，为学生搭建了从“方法掌握”到“性质理解”再到“综合应用”的递进式学习支架。 清单通过“易错点专项突破”和“方法选择策略”构建知识体系，如标注“一元二次方程解法顺序”为重点，明确“先分解后配方再公式”的选择逻辑，培养学生的数学思维和运算能力。设计“对点训练”和“应用条件提示”，如均值不等式“一正二定三相等”的条件强调，帮助不同学生高效掌握要点，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第二章等式与不等式 1．一元二次方程的解法 关于解方程，要依据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的结构特点，灵活选用“分解因式法、配方法、公式法”几种方法． (1)若b＝0，直接开平方；若c＝0，用因式分解法． (2)若b，c都不为0，一般遵循“先分解因式法→后配方法→再公式法”的顺序，具体来说： ①如果能在有理数范围内分解因式，用分解因式法计算量小； ②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法； ③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数，配方法可能计算量较大时，宜选用公式法来解，而公式法是万能法． 2．方程组的解法 (1)解一次方程组 解一次方程组时要根据方程组的特点灵活选择方法，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；利用加减法解一次方程组时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值较小的未知数消元，这样会使运算量较小． (2)解二元二次方程组 解二元二次方程组时，要先观察两个方程之间的关系，变换方程形式以达到代入消元或降次的目的，然后再根据解一次方程组的步骤进行求解． 3．不等式的性质问题 在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 4．比较数(式)的大小 依据：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 5．解一元二次不等式的方法 (1)若一元二次不等式比较特殊并适合用因式分解的，一般应用因式分解法求解． (2)一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集． 6．利用均值不等式求最值 (1)利用均值不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即①x，y都是正数； ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)； ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 7．利用均值不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和均值不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用均值不等式的变形形式． 易错点1 一元二次方程的解集 易错提醒 求一元二次方程的解集应熟练掌握解一元二次方程的方法：①直接开平方法；②配方法；③因式分解法；④公式法． 【对点训练】1．求下列方程的解集： (1)4(3x－5)2＝(x－4)2； (2)y2－2y－8＝0； (3)x(x－3)＝4(x－1)． 易错点2 利用根与系数的关系，确定字母的取值 易错提醒 求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，其关键是由根与系数的关系列出关于参数的方程，然后求解即可． 【对点训练】2．关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0. (1)证明：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的解集． 易错点3 一元二次不等式的解集 易错提醒 一元二次不等式的解法： (1)对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集； (2)对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 【对点训练】3．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是， (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 易错点4 均值不等式的应用 易错提醒 均值不等式：≥ (a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，而且在均值不等式的使用条件上也常常设置一些问题，以考查学生灵活运用均值不等式的能力． 【对点训练】4(1)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是(　　) A．3＋2 B．3－2 C．6－4 D．6＋4 (2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________. (3)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋＝1，则x的最大值是________. 一、单选题 1．（25-26高一下·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 4．（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 7．（25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 8．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 11．（25-26高一上·山西吕梁·期末）下列命题为真命题的有（   ） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若，则 D．若正实数x，y满足，则 三、填空题 12．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 13．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 14．（25-26高一上·河南南阳·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·山东德州·期末）求下列关于的不等式的解集： (1) (2) 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）解下列不等式 (1) (2) 17．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 18．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知函数， (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，对任意满足，且恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章等式与不等式 1．一元二次方程的解法 关于解方程，要依据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的结构特点，灵活选用“分解因式法、配方法、公式法”几种方法． (1)若b＝0，直接开平方；若c＝0，用因式分解法． (2)若b，c都不为0，一般遵循“先分解因式法→后配方法→再公式法”的顺序，具体来说： ①如果能在有理数范围内分解因式，用分解因式法计算量小； ②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法； ③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数，配方法可能计算量较大时，宜选用公式法来解，而公式法是万能法． 2．方程组的解法 (1)解一次方程组 解一次方程组时要根据方程组的特点灵活选择方法，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；利用加减法解一次方程组时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值较小的未知数消元，这样会使运算量较小． (2)解二元二次方程组 解二元二次方程组时，要先观察两个方程之间的关系，变换方程形式以达到代入消元或降次的目的，然后再根据解一次方程组的步骤进行求解． 3．不等式的性质问题 在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 4．比较数(式)的大小 依据：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 5．解一元二次不等式的方法 (1)若一元二次不等式比较特殊并适合用因式分解的，一般应用因式分解法求解． (2)一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集． 6．利用均值不等式求最值 (1)利用均值不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即①x，y都是正数； ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)； ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 7．利用均值不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和均值不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用均值不等式的变形形式． 易错点1 一元二次方程的解集 易错提醒 求一元二次方程的解集应熟练掌握解一元二次方程的方法：①直接开平方法；②配方法；③因式分解法；④公式法． 【对点训练】1．求下列方程的解集： (1)4(3x－5)2＝(x－4)2； (2)y2－2y－8＝0； (3)x(x－3)＝4(x－1)． 解　(1)移项，得4(3x－5)2－(x－4)2＝0，分解因式，得[2(3x－5)＋(x－4)][2(3x－5)－(x－4)]＝0，化简，得(7x－14)(5x－6)＝0，所以7x－14＝0或5x－6＝0，得x1＝2，x2＝1.2.因此所求方程的解集为{1.2,2}． (2)移项，得y2－2y＝8，方程两边都加上1，得y2－2y＋1＝ 8＋1，所以(y－1)2＝9，所以y－1＝±3，得y1＝4，y2＝－2.因此所求方程的解集为{－2,4}． (3)将方程化为x2－7x＋4＝0，因为a＝1，b＝－7，c＝4，b2－4ac＝33，所以x＝＝，所以x1＝，x2＝.因此所求方程的解集为. 易错点2 利用根与系数的关系，确定字母的取值 易错提醒 求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，其关键是由根与系数的关系列出关于参数的方程，然后求解即可． 【对点训练】2．关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0. (1)证明：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的解集． 解　(1)证明：一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0， ∵a＝1，b＝－(m－3)＝3－m，c＝－m2， ∴Δ＝b2－4ac＝(3－m)2－4×1×(－m2)＝52＋. ∴Δ>0恒成立，则方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x1x2＝＝－m2≤0， x1＋x2＝－＝m－3，且|x1|＝|x2|－2， ∴x1，x2异号，|x1|－|x2|＝－2， 若x1>0，x2<0，上式化简得 x1＋x2＝－2，∴m－3＝－2，即m＝1， 方程化为x2＋2x－1＝0，解得 x1＝－1＋，x2＝－1－， 若x1<0，x2>0，上式化简得 －(x1＋x2)＝－2，∴x1＋x2＝m－3＝2， 即m＝5，方程化为x2－2x－25＝0， ∵a＝1，b＝－2，c＝－25，b2－4ac＝104， ∴x＝＝＝1±. ∴x1＝1－，x2＝1＋. 综上所述，m的值为1或5.当m＝1时，所求方程的解集为{－1－，－1＋}；当m＝5时，所求方程的解集为{1－，1＋}． 易错点3 一元二次不等式的解集 易错提醒 一元二次不等式的解法： (1)对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集； (2)对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 【对点训练】3．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是， (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 解　(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实根为和2，由根与系数的关系，得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3， 即－3>0，整理，得>0， 即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1，则不等式的解集为(－2，－1)． 易错点4 均值不等式的应用 易错提醒 均值不等式：≥ (a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，而且在均值不等式的使用条件上也常常设置一些问题，以考查学生灵活运用均值不等式的能力． 【对点训练】4(1)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是(　　) A．3＋2 B．3－2 C．6－4 D．6＋4 解析　＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，当且仅当＝，＝，＝，即a＝c＝1－，b＝时，等号成立． 答案　D (2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________. 解析　因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，所以＋≥，当且仅当即时，等号成立，因此＋的最小值为. 答案　 (3)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋＝1，则x的最大值是________. 解析　∵x，y∈(0，＋∞)，x2与的和为定值，∴x＝＝≤·＝·＝，当且仅当x2＝，即x＝，y＝时取等号，即x的最大值为. 答案　 一、单选题 1．（25-26高一下·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 4．（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 5．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 6．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 7．（25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 8．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先整理已知条件： 由 移项得 ，且因为 ，所以 ，可得 ，即同号，据此分析每个选项. 【详解】选项A：，因为 ，，所以 ，A正确； 选项B：取 ，满足 ，但 ，B错误； 选项C：取 ，满足 ，但 ，C错误； 选项D：取，满足条件，但 ，D错误. 二、多选题 9．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 10．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对； 对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错； 对于C，作差得，若，则，反之，，C错； 对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对 11．（25-26高一上·山西吕梁·期末）下列命题为真命题的有（   ） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若，则 D．若正实数x，y满足，则 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的成立条件及“的代换”等方法，逐一验证各不等式是否成立，从而判断命题真假. 【详解】选项A：为基本不等式，但成立的前提是且，若或为负数，例如，，则左边，右边，不等式不成立，选项A错误； 选项B：当时，例如，则，不等式成立， 当时，由基本不等式，当且仅当时取等号，此时，不等式成立，因此存在这样的，选项B正确； 选项C：因为，所以，由基本不等式，当且仅当时取等号，选项C正确； 选项D：使用“的代换”法：， 由基本不等式，，当且仅当成立，将代入约束条件，可得，则，所以恒成立，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 13．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 14．（25-26高一上·河南南阳·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由命题“”为假命题，可得“”为真命题利用判别式可求得答案. 【详解】已知命题“”为假命题， 则该命题的否定：“”为真命题. 此时二次函数的判别式满足 . 即， 化简可得： 综上，实数的取值范围是 . 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·山东德州·期末）求下列关于的不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）移项、通分，转化为一元二次不等式求解即可； （2）利用公式法可求不等式的解. 【详解】（1）即为，故， 所以或，故不等式的解集为或. （2）即为， 故或，所以或， 故不等式的解集为或. 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项通分，再按有理数乘除法的符号法则列式求解. （2）按一元一次不等式解法求解. 【详解】（1）由，得，则， 则，解得， 所以原不等式的解为. （2）不等式化为， 即，则，解得， 所以原不等式的解为. 17．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【详解】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 18．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知函数， (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，对任意满足，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由条件可得是方程的两个根，结合韦达定理即可求得，再解不等式即可. （2）条件不等式恒成立可转化为，利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）∵不等式的解集是， 是方程的两个根， 由韦达定理得：即， 所以不等式可化为， 化简得， 所以 故不等式的解集为； （2）恒成立，即恒成立， 当且仅当，即时等号成立， 解得， 则实数的范围是：. 19．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) 因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即， 所以，且，即为定值 (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与对应方程的根的关系得，，再整体代换即可证明； （2）根据基本不等式“1”的用法求解即可； （3）由题知，，进而代入化简整理得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为 （3）因为，所以， 因为，所以，即，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $