3.1.1 第1课时 函数的概念-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

=(-1-x1)(-1+x2+2) 第三章函数 =(-1-x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1- =-x2-x1-2=3-2=1. 3.1函数的概念与性质 例4：(1)不等式ax2-3x+2>0的解集为xlx<1或x>b}, 所以1和b是方程ax2-3x+2=0的解， 3.1.1函数及其表示方法 所以a-3+2=0,解得a=1; 由根与系数的关系知1×b=2,解得b=2:所以a=1,b 第1课时函数的概念 a =2 必备知识探新知 (2)由(1)知，不等式cx2-(ac+b)x+ab>0为cx2-(c+ 知识点1：1.非空实数集每一个唯一确定3.定义域 2)x+2>0, 对应关系 即(x-1)(cx-2)>0, 对应练习 当c=0时，不等式化为-2(x-1)>0,解得x<1; 1.(1)×(2)V(3)×(1)集合A,B应为非空数集. 当c<0时，解不等式得2<x<1: (2)符合函数的定义 (3)值域是集合B的子集 当c>0时，若2>1，即0<c<2时，解不等式得x<1或 2.C爱使函数)=反+有意义，只需产0 r-2≠0.解得x >2,若子1即c=2时解不等式得1，若是<1， ≥0且x≠2， d 所以函数f(x)的定义域为[0,2)U(2,+) c>2,解不等式得x<2或x>1. c 3)g 1 综上所述，当c=0时，不等式的解集为xlx<1}: 知识点2：相同相同 当c<0时，不等式的解集为{2<x<1 对应练习 当0<c<2时，不等式的解集为<1或x>2} 1.(1)V(2)×(3)×(1)两个函数定义域相同，对应关系 也相同 当c=2时，不等式的解集为xlx≠1}； (2)两个函数的对应关系不同. 当c>2时，不等式的解集为：x<名或x> .2 (3)两个函数的定义域不同. 关键能力攻重难 例5：(D由b>0a+196=1,所以女+只-（合+8例1：B①中，因为在袋合M中当12时，在N中无元 素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个 +196)-62+196,12≥30+2√.要=40m,当且 a Na b 数x,在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x=2 仅当。=6时等号成立，所以片+号的旅个值为40m 对应元素y=3N,所以③不是；④中，当x=1时，在N中 有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B. (2)因为x>0,所以心+3+6 (2)①A=R,B=R,对于集合A中的元素x=0,在对应关系 x+1 =x+1)2+(x+)+4=x+1+4 代)=的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所 x+1 *了+1 给对应关系不是定义在A上的函数； 2√x+1)+1=4+1=5. ②由f1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素 在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之 当组仪当x+1=本即=1时，等号成立 对应，故所给对应关系是定义在A上的函数； ③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且 例6：由题意，可知a≥+正恒成立. Vx+y 集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对 应，故所给对应关系不是定义在A上的函数 x,y∈(0，+∞)， 》 对点训练1：(1)B（2)C(1)A错误，x2+y2=1可化为y= +y =x+y+2國=1+2应≤1++y=2, x+y x+y x+y x+y ±√1-x,显然对任意x∈A,y值不唯一；B正确，符合函数 当且仅当x=y时等号成立 的定义；C错误，2∈A,在B中找不到与之相对应的元素；D错 :E+正≤巨a≥2u的最小值为万. 误，-1∈A,在B中找不到与之相对应的元素. Vx+y (2)由函数的定义知选C. :例2：C①fx)=√-2x=-x√J-2x与g(x)=x√/-2x的对 -196 应关系和值域不同，故不是同一个函数：②g(x)=√辰= 所以函数的值域为[2,8] 1xl与fx)=x的对应关系和值域不同，故不是同一个函 (5)设t=x-1,则t≥0且x=子+1， 数：③()=”与g(x)=都可化为y=1且定义域是 所以=2f0-=2+是由0， xlx≠0；，故是同一个函数：④fx)=x2-2x-1与g(t)= 再结合函数的图像（如图）， 子-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同，而与用什么 字母表示无关，故是同一个函数.由上可知是同一个函数 可得函数的值城为片。+“） 的是③④.故选C 对点训练4：(1)因为x≥0，所以2√x+3≥3， 对点训练2：CA项，y=x-1与y=(x-1)7=1x-11的对应 故y=2+3的值域为[3，+0) 关系不同B项y=√-1的定义域为[1，+∞），y=一1的 (2)当x=-2,-1,0,1,2,3时，y=11,6,3,2,3,6. x-1 故函数的值域为2,3,6,11} 定义域为(1，+∞)，两函数的定义域不同：D项，y=1的定义 (3)设t=√1-2x, 域为R,y=x°的定义域为(-∞，0)U(0,+0),两函数定义 域不同：C项，y=2与y-2空+4=2是同一个函数，所以图像 则≥0，且x=2+ x2+2 12 1 代人原式得y=-2式-1+ - 2(t+1)2+1, 相同，故选C. 2x+3≥0. 1 因为t≥0，所以y≤ 例3：(1)要使函数有意义，需 2-x>0,解得-2≤x<2,且 x≠0， : 故函数的值城为(-”，] x≠0， 课堂检测固双基 所以函数的定义域为{x ≤x<2,且x≠0 !1.C由函数的定义知，函数的定义域、值域为非空的数集 2 2.D在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因 (2)要使函数有意义， 则/+10， 此选项D不是函数的图像 解得x<0且x≠-1. 1xl-x>0, 3.D函数y=x的定义域为R;y=(√x)2的定义域为[0， 所以函数的定义域为xlx<0,且x≠-1. +)y=√F=x1,对应关系不同y= 对点训练3：(1)要使此函数有意义，应满足-1≥0， 定义域为xlx≠0：y==x,故选D. 4-x≥0， 解得1≤x≤4， 4.{xlx≥0且x≠1} 要使气有意义，需满足≥0。 Lx-1≠0 所以此函数的定义域是[1,4]： 解得x≥0且x≠1. (2)要使此函数有意义，则 「x+3≥0，「x≥-3， 故函数f(x)的定义域为xx≥0且x≠1}： x+2≠0可≠-2 →x≥-3且x≠-2 5.[0,4]因为0≤16-x2≤16，所以16-x∈[0,4]. 所以f(x)的定义域为[-3，-2)U(-2,+∞) 练案[17] 例4：(1)因为y=2x+1,且xe1,2,3,4,5, :A组基础巩固 所以y∈3,5,7,9,11}. 所以函数的值域为3,5,7,9,11}. 1.D根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应，故选D (2)因为≥0，所以R+1≥1. 2.D要使函数f(x)有意义，需满足 所以函数的值域为[1，+0). (3)y= 3x+2 x-1≠0， x-1 2 3(x-1)+5=3+ +≥0…x>-1,且x≠1， 5 x-1 x-1 y=2(2+1)-t x+1≠0， ≠3. ∴.定义域为(-1,1)U(1,+∞). 所以函数的值域为y小y≠3. 3.DA中的函数定义域不同；B中函数的对应关系不同；C中 (4)因为1≤x≤2， 两函数的对应关系不同，故选D. 1 所以1≤≤4,4≤交≤ 011 4ABD对于A,由M={分，1,2}N=-6,-3,1) 1,2≤≤， -61)=-32)-1,知M中的任一个元素，N中都有 : 唯一的元素和它相对应，所以能构成从集合M到集合N的函 197●063 第三章函数 3.函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养. 对应关系在刻画数学概念中的作用.（重点、难点） 2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养 2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域3.借助f(x)与f(α)的关系，培养逻辑推理素养 和值域.（重点） 必备知识 探新知 知识点1函数的概念 思考：f(x)与f(a)有 1.函数的定义：给定两个 A与B,以及对应关系∫，如果对于集合A中何区别与联系？ 的 实数x,在集合B中都有 的实数y与x对应，则称∫为定义在集合提示：f(x)与f(a)的 A上的一个函数 区别与联系：f(a)表 2.记法：y=f(x),xeA 示当x=a时，函裁 3.三要素： 、值域和 [思考] f(x)的值，是一个常 量，而f(x)是自变量 ●对应练习 x的函数，一般情况 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”）. 下，它是一个变量， (1)任何两个集合都可以建立函数关系. （）f(a)是f(x)的一个特 (2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y （）殊值，如一次函数 (3)函数的值域即为集合B. (）f(x)=3x+4,当x=8 2图数八)=+2的定义城为 ()时，(8)=3×8+4= 28是一个常数. A.[0,2) B.(2,+0) C.[0,2)U(2,+∞) D.(-0,2)U(2,+∞) 3若)=期3) 064 知识点2同一个函数 般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域 对应关系也 (即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达 式表示的就是同一个函数， ●对应练习 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)函数y=f(x)=x2,x∈A与u=f(t)=P,teA表示的是同一个函数 (2)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与g(x)=2x,x∈[0,2]表示的是同一个函数.() (3)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与h(x)=x2,x∈(0,2)表示同一个函数. 关键能力 攻重难 归纳提升：1.判断一 ●题型- 函数的判断 个对应关系是否是函 数关系的方法 例 1.(1)设M=x10≤x≤2}，N={y10≤y≤2}，给出下列四个图形： 两非空数集1B☐ 函数的 一对一或多对曰 作出 概念 判断 o12 012 1 2.根据图像判断对应 ⑦ ④ 关系是否为面裁的 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 步骤 A.0 B.1 C.2 D.3 (1)任取一条垂直于x (2)判断下列对应关系∫是否为定义在集合A上的函数 轴的直线1 (2)在定义域内平行 ①A=R,B=Rx)= 移动直线1. ②A={1,2,3},B=R,f(1)=f2)=3,f(3)=4; (3)若1与图像有且只 ③A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图所示. 有一个交点，则是函 数；若在定义域内没 有交点或有两个或两 个以上的交点，则不 是函数 [归纳提升] )对点训练 1.(1)下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是 A.A=R,B=R,x2+y2=1 B.A=1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图： C.A-R.B-R./x)-x-2 1 D.A=Z,B=Zf(x)=2x-T ●065 (2)下列图形中可以表示以M={x10≤x≤1}为定义域，以N={y0≤y≤1}为值域的 函数的图像是 () ●题型二同一个函数的判定 例2下列各组函数是同-个晒数的是 () 归纳提升：定义域、对 ①f(x)=√-2x3与g(x)=x√-2x; 应关系、值域分别相 ②f(x)=x与g(x)=√R; 同的函戴有相同的图 ③)=与&)= 像，三要素中只要有 一项不同，两个函裁 ④f(x)=x2-2x-1与g(t)=2-2t-1. 就不是同一个函数 A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 由于值战由定义域与 [归纳提升]对应关系所确定，所 )对点训练 以判断函数是否是同 2.下列四组函数中，有相同图像的一组是 ( 一个函数，只要判断 A.y=x-1,y=(x-1)7 定义域与对应关系是 否相同即可. B.y=V*-T,y=4-1 /x-1 C.y=2,y= 2x2+4 x2+2 归纳提升：求函数定 D.y=1,y=x° 义域的常用方法 (1)若f(x)是分式， ●题型三求函数的定义域 则应考虑使分母不 为零， 例3(1)求函数y=2+3-片+上的定义域： (2)若f(x)是偶次根 2-x x 式，则被开方数大于 (2)求函数)=（x+)”的定义域 或等于零 /1x|-x (3)若∫(x)是指数 思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于 幂，则函数的定义域 0,x°中x≠0即可. 是使幂运算有意义的 实数集合 (4)若f(x)是由几个 式子构成的，则函裁 的定义域是几个部分 定义域的交集 (5)若f(x)是实际问 题的解析式，则应符 合实际问题，使实际 问题有意义. [归纳提升] 066 归纳提升：求函数的值域，)对点训练 应先确定定义域，树立“定3.求下列函数的定义域： 义域战优先”原则，再根据具 (1)f(x)=x-1·√4-x+2; 体情况求y的取值范围. 求函数值域的方法有 2n)=+3++2 (1)逐个求法：当定义域为 有限集时，常用此法， (2)观察法：如y=x2,可观 察出y≥0. (3)配方法：对于求二次函 裁值域的问題常用此法 (4)换元法：对形如y=ax +b+√cx+d(ac≠0)的函 数，求值战时常用换元法， 令t=√cx+d,将原函裁转 ●题型四求函数的值域 化为关于t的二次函数 (5)分离常裁法：对于形如 例下列晒数的值域 (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}； y=Cx+d(ac≠0)的函数 ax +b (2)y=√+1； 常用分离常数法求值域 (3)y=3x+2. x-1 (6)图像法：对于易作图像 的函裁，可用此法，如 (4)y=8(1≤≤2)： (5)y=2x-√x-1. ●[归纳提升] )对点训练 4.求下列函数的值域： (1)y=2x+3; (2)y=x2-2x+3,x∈{-2，-1,0,1,2,3}； (3)y=x-√/1-2元 067 课堂检测 固双基 1.下列说法正确的是 (）3.下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是() A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数 A.y=()2 B.y= 与之对应 B.函数的定义域和值域可以是空集 C.y= D.y= C.函数的定义域和值域一定是非空的数集 D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也 4函数)=的定义竣为 就确定了 5.函数y=√16-x2的值域为 2.下列图像中不能表示函数的图像的是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 第2课时 函数的表示方法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法 (重点) 1.通过函数表示的图像法，培养直观想象素养 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（难 2.通过函数解析式的求法，培养数学运算素养 点) 3.利用函数解决实际问题，培养数学建模素养 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的 函数关系，并能解决有关问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1 函数的表示方法 思考：函数的三种表示方法各自有 函 解析法 就是用 表 哪些优缺点？ 示两个变量之间的对应关系 提示： 的 就是用 表示两个变量之间 方 伐点 铁点 图像法 的对应关系 法 示 不需要计算就可以 就是列出 来表示两个变量 只能表示自变量 法 列表法 之间的对应关系 到恭法 直接看出与自变量 可以一一列出的 的值相对应的函 最值 函数关系 ●对应练习 [思考] 只能近似地求出 能形象直观地表示 自变量的值所对 1.已知y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关于x的函数关系式 像 出函数的变化情况 应的函数值，而 且有时误差较大 为 一是简明、全而地 2.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))= 梳括了变量间的关 系从“数”的方 不够形象、直观 2 解 面揭示了西数关 具体，而且升不 系；二是可以道过 是所有的函数都 法 能用解析法表示 f(x) 3 解折式求出任意一 出来 个自变量的值所对 应的函数值