第二章 等式与不等式（知识清单）数学人教B版2019必修第一册

第二章 等式与不等式 标题 知识内容 等式性质 （1）等式的性质：①如果，则对任意c，都有； ②如果，则对任意不为零的c，都有. （2）恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 ①， ② ③， ④， （3）十字相乘法 对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行． （4）一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式. ①当时，方程的解集为； ②当时，方程的解集为； ③当时，方程的解集为. （5）：一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 （6）方程组解集的定义：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 不等式性质 （1）两个实数大小的比较：如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果 是负数,那么.反过来也对. （2）不等式的性质：①对称性：；②传递性： ③可加性：， ④可乘性：， ⑤同向可加性： ⑥同向同正可乘性： ⑦可乘方性： （3）不等式(组)解集 概念：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 不等式的解与解集的区别与联系： ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解，而是解集外的数都不是不等式的解。 （4）绝对值不等式 概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作. ②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离大于的点． 绝对值不等式的解集： 当时，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， （5）数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数在数轴上对应的点分别为A，B，则线段AB的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为，则,这就是数轴上的中点坐标公式． 一元二次不等式 （1）一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：①对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． ②对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． （3）分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． ① ② ③且 ④且 均值不等式 （1）两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 （2）均值不等式与最值 已知都是正数，则①如果积等于定值，那么当时，和有最小值； ②如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：①，②和(积)为定值，③存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 易错01 不等式的性质应用不当 ①不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减； ②利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件 例1．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 变式1-1．已知，，，则与的大小关系为 . 【答案】（或） 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为：（或）. 变式1-2．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 变式1-3．已知，，，求函数的最大值和最小值． 【答案】最大值，最小值． 【详解】令， 即， 所以解得， 分别用乘以三个已知条件，得， 这三个式子相加得，即． 故的最大值和最小值分别为和． 易错02 应用基本不等式忽略“一正二定三相等” 实际应用中容易忽略： 忽略“一正”：若的符号不能确实，则不能使用基本不等式； 忽略“二定”：和均非定值时，强行套用不等式求最值，例如求的最值时，未变形为定值形式，需使用配凑法； 忽略“三相等”：等号成立的条件不满足时，误将不等式的“下界”当作“最值”，例如，当时，错误认为最小值为4。 例2．（多选）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 【答案】ACD 【详解】，当时取等号， ， 解得，当时取等号，故A正确； ， 当时取等，又，所以等号不成立，故B错误； ， 当时取等，又，所以即时取等，故C正确； ，当时取等号， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 变式2-1．“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得，即或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 变式2-2．（多选）设正实数m、n满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】因为正实数m、n满足，所以由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故A正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故B正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故C错误； 由，当且仅当时取到等号，故D正确； 故选：ABD. 变式2-3．（多选）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 【答案】BD 【详解】对A：因为时，，所以的最小值不是4，故A错误； 对B：因为，且，所以，当且仅当即时取“”，故B正确； 对C：当时，，所以，的最小值不是4，故C错误； 对D：因为，当且仅当即时取“”，故D正确. 故选：BD 易错03 解分式不等式时忽略了分母不为0 解分式不等式，例如时，容易直接转化为，但忽略了分母的隐含条件，导致解集包含使分母为0的根。 例3．不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 变式3-1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】移项， 即 等价于解得 所以不等式的解集是 故选：C. 变式3-2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为，通分整理得， 解得. 故选：A. 变式3-3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 易错04 一元二次不等式在区间上恒成立依旧用 对于一元二次不等式在全体实数集上恒成立，可通过“且”判断，但当限定在某一区间（如）上恒成立时，仍错误地仅用判别式求解，忽略了区间端点和函数单调性的影响。转化为函数在区间上的最值满足条件恒成立，则结合二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论最值。 例4．若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不等式的解集为． 由题意知， 从而或， 解得或． 所以实数的取值范围为， 故答案为：． 变式4-1．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解法1：设，，则， （ⅰ）当，即时，，解得，无解； （ⅱ）当，即时，，解得2，则； （ⅲ）当，即时，，解得，则， 所以实数的取值范围为． 解法2：若对任意，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式4-2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【详解】设，则． 因为， 所以 解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 变式4-3．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故, 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于当且仅当即时等号成立，故， 故选：C 易错05 解含参数不等式时分类讨论不恰当 解含参数的不等式时，分类讨论容易出现以下问题： 分类标准混乱：未按参数的关键取值（如二次项系数是否为0、判别式的符号、根的大小关系）分层讨论，导致重复或遗漏。 分类后未整合结果：讨论结束后，未按参数范围整理解集，或解集表达错误（如混淆“或”与“且”）。 例5．已知集合，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】． 【详解】由题意可得，， 由于，故； 令，它的图象是一条开口向上的抛物线． 若，则，此时，，所以． 若，，设抛物线与x轴交点横坐标为、，且， 要使，则必须，则，解得． 综合上述，实数a的取值范围为． 变式5-1．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 变式5-2．解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 变式5-3．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 一、单选题 1．若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：，左右两端同乘以2，得，错； B：，左右两端同减去1，得，错； C：， 由于，所以，所以，对； D：取，满足，但无意义，错. 故选：C 2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 3．实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 5．若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D 二、多选题 6．下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，函数的最大值为，错误. 对于B，因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确. 对于C，若均为正数，且， 由基本不等式得，得，即，得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确. 对于D，若均为正数，且，则，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确. 故选：BCD 7．下列说法正确的有（   ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】ABC 【详解】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 8．若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得， 又，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 9．函数在上的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 10．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 11．若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为 【答案】 【详解】由题意可得，：，为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数的对称轴为， 所以当时，， 所以，即，解得或， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12．求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）不等式，化为，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. （3）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 若，则；若，则无解；若，则， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 13．求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； （2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 14．若不等式对满足的所有都成立，求的范围. 【答案】 【详解】改变主元，将视为主变元，将原不等式化为， 令，则当时，恒成立， 只需，即， 解得，得， 故这个不等式组得的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式 标题 知识内容 等式性质 （1）等式的性质：①如果，则对任意c，都有； ②如果，则对任意不为________的c，都有. （2）恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 ①________， ② ③，________ ④________， （3）十字相乘法 对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉________，再________，就得到，如果它正好等于的________，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行． （4）一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式. ①当________时，方程的解集为； ②当________时，方程的解集为； ③当________时，方程的解集为. （5）：一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 （6）方程组解集的定义：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：________． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 不等式性质 （1）两个实数大小的比较：如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果 是负数,那么.反过来也对. （2）不等式的性质：①对称性：；②传递性：________ ③可加性：，________ ④可乘性：， ⑤同向可加性： ⑥同向同正可乘性：________ ⑦可乘方性： （3）不等式(组)解集 概念：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的________称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 不等式的解与解集的区别与联系： ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解，而是解集外的数都不是不等式的解。 （4）绝对值不等式 概念：一般地，含有________的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的________称为数的绝对值，记作. ②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离________的点． 绝对值不等式的解集： 当时，关于的不等式的解集为________， 关于的不等式的解集为________， （5）数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数在数轴上对应的点分别为A，B，则线段AB的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为，则________,这就是数轴上的中点坐标公式． 一元二次不等式 （1）一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是________的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 ________ ________ 的解集 ________ ________ 注意：①对于一元二次不等式的二次项系数为________且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取________,小于取________． ②对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． （3）分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． ① ②________ ③且________ ④且 均值不等式 （1）两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“________”时取“” 均值不等式 当且仅当“________”时取“” 叫做正数的________，叫做正数的________． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 （2）均值不等式与最值 已知都是正数，则①如果积等于定值，那么当时，和有________； ②如果和等于定值，那么当时，积有________ 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：①，②和(积)为定值，③存在取等号的条件，简称“________” 易错01 不等式的性质应用不当 ①不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减； ②利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件 例1．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，，，则与的大小关系为 . 变式1-2．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，，，求函数的最大值和最小值． 易错02 应用基本不等式忽略“一正二定三相等” 实际应用中容易忽略： 忽略“一正”：若的符号不能确实，则不能使用基本不等式； 忽略“二定”：和均非定值时，强行套用不等式求最值，例如求的最值时，未变形为定值形式，需使用配凑法； 忽略“三相等”：等号成立的条件不满足时，误将不等式的“下界”当作“最值”，例如，当时，错误认为最小值为4。 例2．（多选）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 变式2-1．“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．（多选）设正实数m、n满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 变式2-3．（多选）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 易错03 解分式不等式时忽略了分母不为0 解分式不等式，例如时，容易直接转化为，但忽略了分母的隐含条件，导致解集包含使分母为0的根。 例3．不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 变式3-1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 易错04 一元二次不等式在区间上恒成立依旧用 对于一元二次不等式在全体实数集上恒成立，可通过“且”判断，但当限定在某一区间（如）上恒成立时，仍错误地仅用判别式求解，忽略了区间端点和函数单调性的影响。转化为函数在区间上的最值满足条件恒成立，则结合二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论最值。 例4．若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 变式4-1．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 变式4-2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 变式4-3．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易错05 解含参数不等式时分类讨论不恰当 解含参数的不等式时，分类讨论容易出现以下问题： 分类标准混乱：未按参数的关键取值（如二次项系数是否为0、判别式的符号、根的大小关系）分层讨论，导致重复或遗漏。 分类后未整合结果：讨论结束后，未按参数范围整理解集，或解集表达错误（如混淆“或”与“且”）。 例5．已知集合，且满足，求实数a的取值范围． 变式5-1．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 变式5-2．解关于的不等式（为常数且）. 变式5-3．解关于x的不等式. 一、单选题 1．若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 7．下列说法正确的有（   ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 三、填空题 8．若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 9．函数在上的最小值是 ． 10．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 11．若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为 四、解答题 12．求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集 (1) (2) (3) 13．求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 14．若不等式对满足的所有都成立，求的范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$