第一章 集合与常用逻辑用语（6考点+4易错+易错训练）（知识清单）数学人教B版高一必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“集合与常用逻辑用语”单元内容，涵盖集合元素特性、表示方法、关系运算，命题、量词及充分必要条件等核心知识，搭建了从概念理解到性质应用再到易错点剖析的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类+对点训练”构建知识体系，如将“空集特殊性”“元素互异性”等设为专项易错点并配例题，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设计分层练习题适配不同学习水平，教师可直接用于课堂讲练，学生能自主检测薄弱环节，提升复习效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1．集合中元素的三大特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性． 2．集合的表示方法 集合的表示方法的适用条件： (1)列举法：是对有限集且在元素不太多的情况下或元素个数较多且成一定规律时采用的，元素之间用“，”分隔开． (2)描述法：注意集合的代表元素及元素具备的性质． 3．集合间的关系 处理集合间的关系时需要注意： (1)涉及某些数集是不等式的所有解组成的集合时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系． (2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况． (3)以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用． 4．子集、全集、补集的概念及交集、并集、补集运算的性质 子集、全集、补集的概念实质上是生活中的“部分”“全体”“剩余”的概念在数学中的抽象与反映． (1)交集运算的性质 A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A； (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；如果A⊆B，则A∩B＝A. (2)并集运算的性质 A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A； (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；如果A⊆B，则A∪B＝B. (3)补集运算的性质 ∁U(∁UA)＝A；A∩(∁UA)＝∅；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 5．命题 (1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题． (2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的方法如下： ①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明； ②从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当A⊆B时满足． (3)命题的否定：若p表示命题，则“綈p”表示命题的否定．如果命题是“若p，则q”，那么该命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论． 6．全称量词、存在量词与全称量词命题、存在量词命题 (1)要判定全称量词命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． (3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题． 7．充分条件、必要条件、充要条件 关于充分条件、必要条件、充要条件的判断主要有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系进行判断． 易错点1 注意集合中的代表元素 易错提醒 集合中元素的表现形式是多种多样的，可以是实数x，实数y，有序数对(x，y)，图形等，我们要仔细观察集合中的代表元素． 【对点训练】1．已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，求A∩B. 易错点2 注意集合中元素的互异性 易错提醒 根据两集合之间的关系进行分类讨论，在求参数取值的过程中，应时刻检验元素的互异性，在确定集合时，尤其是当集合的元素中含有字母时，也要进行检验． 【对点训练】2．（已知集合M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合． ． 易错点3 注意空集的特殊性 易错提醒 当B⊆A时，B集合可能为∅，也可能为非空集合，注意不要漏掉B为空集的情况；另外空集在所有解组成的集合中也非常重要，在题目解答出来后，要检查一下是否漏掉了“空集”这种情况． 【对点训练】3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B⊆A，求实数p的范围． 易错点4 全称量词命题与存在量词命题 易错提醒 (1)全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．二者进行转化时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． (2)通过含有量词的命题的否定及命题的真假可求参数的取值范围． 【对点训练】4(1)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C．∃x∈R，x2－2x＋1<0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 (2)已知命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，则实数m的取值范围是________. 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 4．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京丰台·期末）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 6．（25-26高二下·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 7．（25-26高二下·陕西西安·期末）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 二、多选题 9．（25-26高二下·江西上饶·期末）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 10．（25-26高二下·陕西安康·期末）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·湖北十堰·期末）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 13．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 14．（25-26高一上·江苏南通·期末）记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 17．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 18．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 【答案】确定性； 互异性； 无序性； ； ； 列举法； 描述法； 图示法； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 且； 或； 且 1．集合中元素的三大特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性． 2．集合的表示方法 集合的表示方法的适用条件： (1)列举法：是对有限集且在元素不太多的情况下或元素个数较多且成一定规律时采用的，元素之间用“，”分隔开． (2)描述法：注意集合的代表元素及元素具备的性质． 3．集合间的关系 处理集合间的关系时需要注意： (1)涉及某些数集是不等式的所有解组成的集合时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系． (2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况． (3)以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用． 4．子集、全集、补集的概念及交集、并集、补集运算的性质 子集、全集、补集的概念实质上是生活中的“部分”“全体”“剩余”的概念在数学中的抽象与反映． (1)交集运算的性质 A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A； (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；如果A⊆B，则A∩B＝A. (2)并集运算的性质 A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A； (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；如果A⊆B，则A∪B＝B. (3)补集运算的性质 ∁U(∁UA)＝A；A∩(∁UA)＝∅；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 5．命题 (1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题． (2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的方法如下： ①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明； ②从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当A⊆B时满足． (3)命题的否定：若p表示命题，则“綈p”表示命题的否定．如果命题是“若p，则q”，那么该命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论． 6．全称量词、存在量词与全称量词命题、存在量词命题 (1)要判定全称量词命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． (3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题． 7．充分条件、必要条件、充要条件 关于充分条件、必要条件、充要条件的判断主要有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系进行判断． 易错点1 注意集合中的代表元素 易错提醒 集合中元素的表现形式是多种多样的，可以是实数x，实数y，有序数对(x，y)，图形等，我们要仔细观察集合中的代表元素． 【对点训练】1．已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，求A∩B. 解　∵A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}， B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}＝{y|y＝(x＋3)2＋7，x∈R}＝{y|y≥7}， ∴A∩B＝{y|y≥7}． 易错点2 注意集合中元素的互异性 易错提醒 根据两集合之间的关系进行分类讨论，在求参数取值的过程中，应时刻检验元素的互异性，在确定集合时，尤其是当集合的元素中含有字母时，也要进行检验． 【对点训练】2．（已知集合M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合． 解　∵M∪N＝M，∴N⊆M，即t2－t＋1∈M， ①若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0. ②若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由①知不符合题意．综上所述，t的取值集合为{0}． 易错点3 注意空集的特殊性 易错提醒 当B⊆A时，B集合可能为∅，也可能为非空集合，注意不要漏掉B为空集的情况；另外空集在所有解组成的集合中也非常重要，在题目解答出来后，要检查一下是否漏掉了“空集”这种情况． 【对点训练】3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B⊆A，求实数p的范围． 解　①当B＝∅时，B⊆A， 由Δ＝(－1)2－4p<0，解得p>. ②当B≠∅，且B⊆A时， 方程x2－x＋p＝0存在两个正实根． 由x1＋x2＝1>0，Δ＝(－1)2－4p≥0. 且x1x2＝p>0，得0<p≤. 由①②可得p的取值范围为{p|p>0}． 易错点4 全称量词命题与存在量词命题 易错提醒 (1)全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．二者进行转化时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． (2)通过含有量词的命题的否定及命题的真假可求参数的取值范围． 【对点训练】4(1)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C．∃x∈R，x2－2x＋1<0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 解析　∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，∴命题的否定为∃x∈R，x2－2x＋1<0.故选C. 答案　C (2)已知命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，则实数m的取值范围是________. 解析　因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)． 答案　(1，＋∞)． 1．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则 2．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则 3．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 4．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 5．（25-26高二下·北京丰台·期末）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 6．（25-26高二下·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 7．（25-26高二下·陕西西安·期末）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 8．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、多选题 9．（25-26高二下·江西上饶·期末）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 10．（25-26高二下·陕西安康·期末）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 11．（25-26高三上·湖北十堰·期末）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，集合中元素绝对值的最小值为1， 易知当时，不存在使得成立，故错误； 对于，集合，对于任意的存在，使得成立，故C正确； 对于，集合，当时，， 易知当时不存在使得成立，故错误； 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 13．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏南通·期末）记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 【答案】 【分析】根据集合的新定义，当时直接计算得解；当时可得或，分别讨论求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 所以； 由，，可得或， 当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即； 此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根， 此时满足题意； 当时，即方程有3个根， 因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根， 且都不满足方程， 所以有相等实数根，即，解得， 综上可知，可能值的集合为. 四、解答题 15．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算可得； （2）依题意可得，又，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 17．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由元素与集合的关系得到，求解即可； （2），集合中有且仅有3个整数元素，得到，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $