3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(3)---切线的判定 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆的切线判定定理，通过旧知复习直线与圆的位置关系，用表格梳理公共点个数及d与r的关系，搭建知识支架，自然衔接新课。 以“过圆上一点作切线”问题驱动定理探究，例题分公共点确定与不确定情况，总结“连半径证垂直”“作垂直证半径”策略，培养推理意识与几何直观，结合中考真题练习提升应用意识，助力学生掌握判定方法，教师高效教学。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(3)---切线的判定 【学习目标】 1、理解并掌握圆的切线判定定理； 2、会根据已知条件的特征，选择适当的切线的判定方法解决问题，并正确运用定理进行推理； 【学习重点】圆的切线判定定理； 【学习难点】选择适当的切线的判定方法解决问题，并正确运用定理进行推理； 【学习过程】 一、旧知复习： 直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？ 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 二、新课讲解： 1、提出问题：如何过圆上的一点作圆的切线？ 根据直线与圆的三种位置关系，我们知道，如果经过一条半径OD的外端D作 OD 的垂线l，那么圆心O到直线l的距离OD等于圆的半径r，所以直线l与圆O 相切，D为切点． 2、新知归纳： (1)于是，我们得到圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 符号语言：∵ OD为⊙O的半径，OD⊥直线l于点 D， ∴ 直线l为⊙O的切线． (2)到目前为止，你有哪几种方法证明一条直线是圆的切线？ ①根据定义：当直线与圆有唯一公共点时，我们称这条直线是圆的切线； ②当圆心O到直线l的距离d与圆的半径r满足：d=r时，这条直线是圆的切线； ③当这条直线经过半径的外端并且垂直于该半径时，这条直线是圆的切线． (3)尝试练习：判断： ①经过半径外端的直线是圆的切线（ ） ②垂直于半径的直线是圆的切线（ ） ③过半径的端点和这条半径垂直的直线是圆的切线（ ） ④过直径的端点和这条直径垂直的直线是圆的切线（ ） ⑤⊙O的半径是4cm，点P在直线l上，若OP＝4cm，则直线l和⊙O相切（ ） 三、例题讲解： 1、讲解例3(书本第93页例3 ) 如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径， ∠BAD＝∠ACB， 判断直线 AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 思考：若上述条件中“AC是⊙O的直径”改为“AC是⊙O的弦”，上述结论还成立吗？ 解题有感：证明一条直线是圆的切线，如果直线与圆的公共点确定时，“连半径，证垂直”. 2、尝试练习： （2025•象州县一模）如图，已知⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD 交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AB＝4，∠CAB＝30°，求AE的长． 3、补讲例题：(书本第100页习题第9题)如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D．AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切吗？请说明理由． 4、尝试练习： （2024秋•同步）如图，已知⊙O的直径为6cm，OA＝OB＝5cm，线段AB经过⊙O上一点，长为8cm． 求证：AB所在的直线与⊙O相切． 解题有感：证明一条直线是圆的切线，如果直线与圆的公共点不确定时，“作垂直，证半径”. 四、课堂作业： 1、(书本第94页练习第1题)如图，P是⊙O外一点，以OP为直径作圆，与⊙O相交于A，B两点．连接 PA，PB．求证： PA，PB是⊙O的切线． 2、（2026•东莞市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC边上一点O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边交于点D，交BC于点E，AB＝AD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CE＝3，CD＝5，求⊙O的半径． 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(3)---切线的判定(答案) 【学习目标】 1、理解并掌握圆的切线判定定理； 2、会根据已知条件的特征，选择适当的切线的判定方法解决问题，并正确运用定理进行推理； 【学习重点】圆的切线判定定理； 【学习难点】选择适当的切线的判定方法解决问题，并正确运用定理进行推理； 【学习过程】 一、旧知复习： 直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？ 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 二、新课讲解： 1、提出问题：如何过圆上的一点作圆的切线？ 根据直线与圆的三种位置关系，我们知道，如果经过一条半径OD的外端D作 OD 的垂线l，那么圆心O到直线l的距离OD等于圆的半径r，所以直线l与圆O 相切，D为切点． 2、新知归纳： (1)于是，我们得到圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 符号语言：∵ OD为⊙O的半径，OD⊥直线l于点 D， ∴ 直线l为⊙O的切线． (2)到目前为止，你有哪几种方法证明一条直线是圆的切线？ ①根据定义：当直线与圆有唯一公共点时，我们称这条直线是圆的切线； ②当圆心O到直线l的距离d与圆的半径r满足：d=r时，这条直线是圆的切线； ③当这条直线经过半径的外端并且垂直于该半径时，这条直线是圆的切线． (3)尝试练习：判断： ①经过半径外端的直线是圆的切线（ ╳ ） ②垂直于半径的直线是圆的切线（ ╳ ） ③过半径的端点和这条半径垂直的直线是圆的切线（ ╳ ） ④过直径的端点和这条直径垂直的直线是圆的切线（ √ ） ⑤⊙O的半径是4cm，点P在直线l上，若OP＝4cm，则直线l和⊙O相切（ ╳ ） 三、例题讲解： 1、讲解例3(书本第93页例3 ) 如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径， ∠BAD＝∠ACB， 判断直线 AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：直线 AD 与☉O相切．理由如下： ∵ AC 是☉O 的直径， ∴ ∠ABC＝90 °． ∴ ∠ACB＋∠BAC＝90°． ∵ ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠BAD＋∠BAC＝90°，即 ∠DAC＝90°， ∴ AD⊥AC． ∴ 直线AD与☉O相切（圆的切线判定定理）． 思考：若上述条件中“AC是⊙O的直径”改为“AC是⊙O的弦”，上述结论还成立吗？ 解：直线AD与⊙O相切．理由如下： 连接AO并延长交☉O于E，连接BE，则AE为☉O的直径． ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°． ∵ ∠E＝∠ACB， ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠E＝∠BAD， ∴ ∠BAE＋∠BAD＝90°． 即 ∠DAE＝90 °， ∴ AD⊥AE． ∴直线AD与⊙O相切. 解题有感：证明一条直线是圆的切线，如果直线与圆的公共点确定时，“连半径，证垂直”. 2、尝试练习： （2025•象州县一模）如图，已知⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD 交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AB＝4，∠CAB＝30°，求AE的长． （1）证明：如图，连接OC， ∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE＝CF，∴∠EAC＝∠CAB， ∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∴OC⊥CD， ∵OC是圆的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝4，∴OA＝OC＝OB＝2， ∵∠CAB＝30°，∴∠EAD＝60°，∴∠D＝30°， ∴OD＝2OC＝4，∴AD＝6， 在Rt△ADE中，∠D＝30°， ∴． 3、补讲例题：(书本第100页习题第9题)如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D．AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切吗？请说明理由． 解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．理由如下： 作PE⊥AB于E，如图， ∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB于E， ∴PE＝PD， 又∵PD是⊙P的半径， ∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切． 4、尝试练习： （2024秋•同步）如图，已知⊙O的直径为6cm，OA＝OB＝5cm，线段AB经过⊙O上一点，长为8cm． 求证：AB所在的直线与⊙O相切． 证明：过点O作OC⊥AB于点C， ∵OA＝OB＝5cm，AB＝8cm， ∴AC＝BC＝4cm， ∴OC3（cm）， ∵⊙O的直径为6cm， ∴⊙O的半径r为3cm，∴OC=r 又∵OC⊥AB， ∴AB所在的直线与⊙O相切． 解题有感：证明一条直线是圆的切线，如果直线与圆的公共点不确定时，“作垂直，证半径”. 四、课堂作业： 1、(书本第94页练习第1题)如图，P是⊙O外一点，以OP为直径作圆，与⊙O相交于A，B两点．连接 PA，PB．求证： PA，PB是⊙O的切线． 证明：∵ OP是圆的直径， ∴ ∠OAP＝90°． 同理，∠OBP＝90°． ∴ OA⊥AP，OB⊥BP． ∵ OA，OB是⊙O 的半径， ∴ PA，PB是⊙O的切线（圆的切线判定定理） 2、（2026•东莞市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC边上一点O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边交于点D，交BC于点E，AB＝AD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CE＝3，CD＝5，求⊙O的半径． （1）证明：根据题意可知，点B、点D在⊙O上， 连接OA，OD，则OD＝OB， ∵AB＝AD，OA＝OA， ∴△OBA≌△ODA（SSS）， ∴∠ADO＝∠ABO＝90°， ∴AC是⊙O的切线． （2）解：∵AC是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°， 设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r， 在Rt△ODC中，OD2+CD2＝OC2， ∴r2+52＝（r+3）2，解得， ∴⊙O的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $