2026-2027学年人教版数学九年级上册期中模拟检测（一）基础卷（

**基本信息** 九年级数学期中基础卷，聚焦反比例函数、一元二次方程、二次函数核心知识，通过拱桥、投石车等真实情境题，考查运算能力与模型意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义、方程配方、二次函数图像|基础概念辨析，结合图像考查几何直观| |填空题|5/15|根的判别式、反比例函数性质、二次函数对称性|聚焦易错点，强化知识关联| |解答题|8/75|方程求解、拱桥问题（二次函数建模）、商店利润（一元二次方程应用）、投石车轨迹（抛物线综合）|梯度设计，从基础运算到跨学科情境应用，体现数学语言表达现实世界的能力|

九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（一） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A A A B A D C 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12. 0 13． 7 14． 15． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解：（1）∵， ∴， 解得．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）∵， ∴, 在这里， ∴，， 解得．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分)解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个函数的表达式为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）∵当时，， ∴点在这个函数的图象上； ∵当时，， ∴点不在这个函数的图象上．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分 （1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分) 解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为，元， 根据题意得：， 解得：， 甲、乙进货单价为1元和2元；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：设甲种商品降价元， 根据题意得出： ， 即， 解得：． 故甲种商品的零售单价定为元或元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2） 将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20本小题10分解：（1）∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 21.本小题10分）解：（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为；┉┉┉┉┉┉5分 （2）火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内．．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 22.本小题12分解：（1）设线段所在直线的解析式为， 点A，B坐标代入，得， 解得， 线段所在直线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）由题意，， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 当时，， 点不在反比例函数的图象上；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）由题意， 点落在中的反比例函数的图象上， ， ， ， ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 23本小题12分 解：（1）把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（一） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如果函数是反比例函数，那么的值是（　　） A．2 B． C．1 D．0 2．方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（  ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值 为　　 A． B． C．0 D．1 5．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（） A．小球在空中经过的路程是 B．小球运动的时间为 C．小球抛出时，刚好到达最高点 D．小球所能到达的最大高度为 第6题 第7题 7.如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（    ） A． B．6 C．4 D．2 8.如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 9.小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 12.已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 13.二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 14．双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 15.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 第14题 第15题 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分选择适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 17.本小题分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 18.本小题8分如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 19.本小题8分某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元． 请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2026年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？ 20本小题10分人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 21.本小题10分根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 22本小题12分已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． (1)求线段所在直线的解析式； (2)如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； (3)在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 23本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（一） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如果函数是反比例函数，那么的值是（　　） A．2 B． C．1 D．0 2．方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（  ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值 为　　 A． B． C．0 D．1 5．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（） A．小球在空中经过的路程是 B．小球运动的时间为 C．小球抛出时，刚好到达最高点 D．小球所能到达的最大高度为 第6题 第7题 7.如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（    ） A． B．6 C．4 D．2 8.如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 9.小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 12.已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 13.二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 14．双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 15.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 第14题 第15题 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分选择适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 17.本小题分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 18.本小题8分如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 19.本小题8分某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元． 请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2026年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？ 20本小题10分人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 21.本小题10分根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 22本小题12分已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． (1)求线段所在直线的解析式； (2)如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； (3)在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 23本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（一） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如果函数是反比例函数，那么的值是（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 解：∵函数为反比例函数，则的指数必须为，即， 解得：， 故选：C 2．方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：， ， ， ， 故选：B． 3.已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值为　　 A． B． C．0 D．1 【答案】A 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △，且 且， 的最大整数值为， 故选：． 5．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 【答案】A 解：根据题意列出y与x的关系是，即甲同学结论正确； 由，则y与x成反比例关系． 所以甲、乙的都对． 故选A． 6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（） A．小球在空中经过的路程是 B．小球运动的时间为 C．小球抛出时，刚好到达最高点 D．小球所能到达的最大高度为 【答案】A 解：A．由图象知小球在空中经过的路程是；故A是错误的； B．当时，高度为0，则运动时间是，或由图象可知，小球时落地，故小球运动的时间为，故B是正确的； C．由图象知小球抛出时达到最高点，故C是正确的； D．由图象知小球所能到达的最大高度为，故D是正确的； 故选：A． 7.如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（    ） A． B．6 C．4 D．2 【答案】B 解：∵矩形的顶点A在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积等于6 故选：B． 8.如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 9.小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 解：抛物线开口向下， ； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，所以①正确； 当时，，即， ，所以②不正确； 当时，，即，所以③正确； 抛物线的对称轴为直线， 时，有最大值， ， ， 所以④正确． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 【答案】 解：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为： ． 12.已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 【答案】0 解：由题意可知：， ∴， ∴， 故答案为：0． 13.二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 【答案】 解：∵二次函数， ∴该函数图像的对称轴为， ∵当取，时，函数值都相等， ∴， ∴， ∴当取时，函数值， ∴当取时，函数值为． 故答案为：． 14．双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 【答案】 解：∵，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C， ∴， ∵， ∴面积为3，即, ∴， ∴的解析式是：． 故答案为：． 15.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 【答案】 解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分选择适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 解：（1）∵， ∴， 解得． （2）∵， ∴, 在这里， ∴，， 解得． 17.本小题分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个函数的表达式为． （2）∵当时，， ∴点在这个函数的图象上； ∵当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 18.本小题8分如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ （1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 19.本小题8分某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元． 请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2026年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？ 解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为，元， 根据题意得：， 解得：， 甲、乙进货单价为1元和2元； （2）解：设甲种商品降价元， 根据题意得出： ， 即， 解得：． 故甲种商品的零售单价定为元或元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元． 20本小题10分人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 解：（1）∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 21.本小题10分根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 解：（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 22本小题12分已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． (1)求线段所在直线的解析式； (2)如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； (3)在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 解：（1）设线段所在直线的解析式为， 点A，B坐标代入，得， 解得， 线段所在直线的解析式为； （2）由题意，， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 当时，， 点不在反比例函数的图象上； （3）由题意， 点落在中的反比例函数的图象上， ， ， ， ． 23本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 解：（1）把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $