精品解析：甘肃省天水市第一中学2026-2027学年高二上学期开学检测考试数学试题

天水一中2026-2027学年第一学期高二年级开学检测考试 数学试题 一、单选题（每小题5分，共8小题） 1. 设为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法和乘方运算来计算. 【详解】, 则. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别平方后相加即可求，再用二倍角公式求解即可. 【详解】 ① ② ①＋②得： ， ， 故选： 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】给4个球编号，利用古典概率公式借助列举法计算作答. 【详解】记1个白色球为A，3个黑色球为b，c，d， 依题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球的概率问题，相当于随机摸出两个球的概率问题， 从袋中随机摸出两个球的试验的不同结果是：Ab，Ac，Ad，bc，bd，cd，共有6个， 两个球都是黑色球的事件含有的结果为：bc，bd，cd，共有3个， 所以两个球都是黑色球的概率是. 故选：C 5. 已知不共线，且，，，则（    ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】由两向量共线的充要条件逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 所以， 所以、、三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得， 所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、C、D三点不共线，故D错误.. 6. 已知的外接圆圆心为O，半径长为2，且，，则的值为（） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得为中点，结合外心性质知为直径，.再由及半径2得，，用勾股定理求出.最后利用向量数量积公式，代入算得结果为4. 【详解】由及外心的性质，取中点，则. 故，即与重合. 所以，且为中点，得为直径，. 又，且，故.在中，，， 由勾股定理. ，而. 所以. 7. 四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（     ） A. 224 B. 448 C. D. 147 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，即可得到是四棱台其中一条侧棱与底面所成的角，利用锐角三角函数求出棱台的高，再根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， . 因为四棱台上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等， 所以底面，又，所以底面， 所以是四棱台其中一条侧棱与底面所成的角，则， 因为，所以，， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则， 即四棱台的高为， 则该四棱台的体积. 故选：B． 8. 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为，则球的体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出圆台和球的轴截面，设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，依据和全等得到，同理得到，进而得到母线长为，接着利用和相似得到，再由已知得到即可由球和圆台的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形，则球的大圆内切于梯形， 设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为， 则圆台的高为，设E为大圆与梯形的切点， 则在和中有， 所以和全等，所以，同理， 所以母线长为． 由上可知， 又（为切点），所以， 所以和相似，则， ， 由已知，， ． 二、多选题（每小题6分，共2小题） 9. 已知平面向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若为任意非零向量，则存在实数，使得 D. 若在上的投影向量为，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；由与的夹角为锐角求出的取值范围，可判断B选项；设，根据平面向量数量积的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的性质可得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，若与的夹角为锐角，则且、不共线， 所以，，解得且，B错； 对于C选项，设，其中，若存在，使得， 则， 令，此时，该方程无解， 若，不存在实数，使得，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为，则， 即，整理可得，解得或，D对. 故选：AD. 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面EFG B. 直线和平面所成的角为定值 C. 异面直线和所成的角不为定值 D. 若直线平面EFG，则点为线段的中点 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面截正方体的截面为正六边形，根据，证得平面，可判定A正确；过作，得到直线和平面所成的角为，设，得到，可判定B错误；由，证得平面，得到，可判定C错误；证得平面，得到，得到点为线段的中点，可判定D正确. 【详解】对于A中：如图（1）所示，平面截正方体的截面图形为正六边形，其中分别为，，的中点， 因为，平面，平面， 所以平面，所以A正确； 对于B 中，如图（2）所示，过作交于点， 在正方体，可得平面平面， 且平面，平面平面，所以平面， 则直线和平面所成的角为，且， 设，正方体的棱长为1， 则，， 所以，所以直线CP和平面ABCD所成的角不为定值，故B错误； 对于C中，在正方体，连接， 因为平面，且平面，所以， 又由正方形，可得, 又因为且平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 设，，则平面平面， 因为平面，平面，所以， 又在平面内，可得，，所以点为线段的中点， 所以D正确， 故选：AD． 三、填空题（每小题5分，共2小题） 11. 已知向量，则向量与向量的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，求出和，利用向量的数量积求出，从而得到向量与向量的夹角. 【详解】，，， ，， ，， ， ， ，向量与向量的夹角. 故答案为：. 12. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。 【详解】解：易知在中，， 为等腰三角形，则， 在中，，， 所以由正弦定理得，即，得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，即，两点的距离为， 故答案为：． 四、解答题 13. 某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求出a，b的值； （2）估计此次测试的平均成绩； （3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，即， 又因为，可解得，. 【小问2详解】 此次测试成绩的平均分为：. 【小问3详解】 成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有为，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率为. 14. 在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. （1）求证： ； （2）求的最小值； （3）若，求△周长的取值范围. 【答案】（1）已知，由正弦定理，可得， 化简得，因为△为锐角三角形，所以，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将等式边化弦后化简，得到，由锐角三角形确定后得证; （2）利用三角恒等变换将化简为，再结合锐角三角形条件得，最后利用基本不等式得最小值； （3）利用正弦定理将用表示，把周长转化为关于的函数，最后利用的范围求周长的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题， 因为△是锐角三角形，，， 所以，则，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，最小值为. 【小问3详解】 由（2）可知，即， 因为， 所以， 周长； 因为，所以， 则周长 15. 设函数 （1）化简； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式进行化简； （2）根据题意求解解析式，求出递增区间； （3）求出,再由基础知识求解的范围. 【小问1详解】 由 【小问2详解】 ， 由的图象关于原点对称，则, 则，由，故， 故， ,则， 故单调递增区间为 【小问3详解】 由,则, 由,所以，则 即 在中，,则， 所以,而,所以，得 由正弦定理，, 所以 因为，所以，则， 故. 所以的取值范围为. 16. 四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于F，连接． 因为E为的中点，F为的中点， 所以为的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2） 证明：因为四边形为正方形，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，且E为的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线来证明线线平行，即可证线面平行； （2）利用线线垂直去证明线面垂直，再证明线线到线面再到面面垂直即可； （3）利用空间向量法来求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点P作，垂足为O，由是等边三角形，可知O为的中点． 又因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面PDC，所以平面． 设的中点为Q，连接，则，平面． 以O为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，． 设是平面ACE的法向量，因为，， 所以令，得． 取PC的中点M，连接DM，由中点得，所以， 由等边可知：， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量． 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中2026-2027学年第一学期高二年级开学检测考试 数学试题 一、单选题（每小题5分，共8小题） 1. 设为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知不共线，且，，，则（    ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 6. 已知的外接圆圆心为O，半径长为2，且，，则的值为（） A. 2 B. C. 4 D. 7. 四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（     ） A. 224 B. 448 C. D. 147 8. 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为，则球的体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共2小题） 9. 已知平面向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若为任意非零向量，则存在实数，使得 D. 若在上的投影向量为，则或 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面EFG B. 直线和平面所成的角为定值 C. 异面直线和所成的角不为定值 D. 若直线平面EFG，则点为线段的中点 三、填空题（每小题5分，共2小题） 11. 已知向量，则向量与向量的夹角为______. 12. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m． 四、解答题 13. 某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求出a，b的值； （2）估计此次测试的平均成绩； （3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 14. 在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. （1）求证： ； （2）求的最小值； （3）若，求△周长的取值范围. 15. 设函数 （1）化简； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，求的取值范围． 16. 四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $