精品解析：甘肃省安阳市环县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

环县一中2025-2026学年度第一学期入学测试 高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在后面的答题卡中） 1. 下列函数中，随x（x>0）的增大，增长速度最快的是（ ） A. y =1， B. y=x C. y= D. y= 【答案】D 【解析】 【分析】所学初等函数中指数函数模型增长速度最快，然后再由e＞2可得. 【详解】指数函数模型增长速度最快，并且e＞2，因而y＝ex增长速度最快. 故选：D 2. 已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 3. 一组数据由个数组成，其中这个数的平均数为，若在该组数据中再插入一个数字，则这组数据（ ） A. 平均数变大 B. 方差变大 C. 平均数变小 D. 方差变小 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式分析判断. 【详解】设个数为，方差为 由题意可得：，则， 若在该组数据中再插入一个数字，则这组数据的平均数为， 方差， 所以平均数不变，方差变小，即ABC错误，D正确. 故选：D. 4. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中不单调，且可举出实例. 【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调， ABC选项，在R上单调递减，在R上单调递增， 在上单调递增，ABC错误； D选项，在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，与函数，，两者的值域相同，为同值函数，D正确. 故选：D 5. 已知是不同的直线，是不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】A中，,则,所以A正确； B中，，则，所以B不正确； C中，,则，或，相交或，互为异面直线，所以C不正确； D中，，则，或，相交或，互为异面直线，所以D不正确． 故选：A． 6. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题为真求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得， 因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是. 故选：C 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选:A． 8. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关系化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误. 故选：ABC 10. 已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据题干条件，得出，再进行判断，BD选项可以通过举出反例进行证明，AC选项可以通过函数的单调性进行证明. 【详解】因为，所以是单调递减函数，因为，所以，而是定义在R上单调递增函数，故，A正确；当，时，满足，此时，故B错误；因为，所以，所以，C正确；当，时，，，所以，D错误. 故选：AC 11. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假. 【详解】由.得.解得（舍去）或. 因为、均为单位向量.则，故正确. ，故错误. ，当且仅当时取等号，故正确. 由.则，所以，整理得，即.故正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积以及共线即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 13. 函数的零点个数为________. 【答案】2 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为两个函数图象交点的问题，数形结合即可得出答案. 【详解】令，可得， 设，， 在同一坐标系下分别画出函数，的图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数有2个零点. 故答案为：2. 14. 在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：通过计算边长，借助于勾股定理可得，取PA的中点，连接OB，OC，易得，即可得到点为三棱锥的外接球球心，求出其半径即得其表面积；解法二：将三棱锥补形成一个长方体，根据长方体的体对角线长即三棱锥的外接球直径，求出其半径即得其表面积. 【详解】 解法一：如上图，因为， 则可得， 由，可得． 取PA的中点，连接OB，OC，易得， 所以点为三棱锥的外接球球心，且球的半径， 故该三棱锥外接球的表面积为. 解法二：由已知及法一分析，可将三棱锥补形成长方体，如上图所示， 则三棱锥的外接球直径即长方体的体对角线长. 因，则长方体的体对角线， 所以三棱锥外接球的半径，故该三棱锥外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 18. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【答案】（1）83.3；84 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得： （2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得． 【小问1详解】 ，则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； 【小问2详解】 因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为： ，，， 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格” ， 所以； ，所以； ∴． 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． （1）求证：； （2）若上存在点M，使得∥平面，求的值 （3）若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 【答案】（1）证明：连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，利用面面垂直的性质定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理得，结合已知利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的判定及性质定理证明即可； （2）取CD中点为N，连，，利用面面平行的判定定理证明平面∥平面，再利用面面平行的性质定理得∥，可得M为PD中点，即可求解； （3）设，利用等面积法求得点D到面的距离为，根据线面角的正弦值列式求得或，代入四棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取CD中点为N，连，， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， 又∥平面，，平面， ∴平面∥平面，平面，∴∥平面， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，平面，平面平面， ∴∥，又N为CD中点，则M为PD中点，此时； 【小问3详解】 由（1）可知，所以为等腰直角三角形， 又，，设，则， 记点D到面的距离为， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， ，， 设与平面所成角为， ， 整理得，则或，解得或，即或 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2025-2026学年度第一学期入学测试 高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在后面的答题卡中） 1. 下列函数中，随x（x>0）的增大，增长速度最快的是（ ） A. y =1， B. y=x C. y= D. y= 2. 已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据由个数组成，其中这个数的平均数为，若在该组数据中再插入一个数字，则这组数据（ ） A. 平均数变大 B. 方差变大 C. 平均数变小 D. 方差变小 4. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不同的直线，是不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是_________. 13. 函数的零点个数为________. 14. 在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题 15. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积. 18. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． （1）求证：； （2）若上存在点M，使得∥平面，求的值 （3）若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $