微专题02 解直角三角形的应用五大题型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

微专题02 解直角三角形的应用五大题型 题型一 解直角三角形应用之仰角俯角问题 1.画图建模：先根据题意画出示意图。标出观测点、目标点和水平线。 - 从下往上看，视线与水平线的夹角是仰角 - 从上往下看，视线与水平线的夹角是俯角 - 这两个角在图中是相等的 2.构造直角三角形：把题目中的已知条件和要求的边长，标在示意图上。 - 找到或构造出包含仰角或俯角的直角三角形 - 这个三角形是解题的关键 3.解直角三角形：分析直角三角形中已知元素和未知元素的关系。 - 选用合适的三角函数（正弦、余弦、正切） - 列出关系式并求解 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，为了测量消防训练塔楼的高度，在离该塔楼底部8米的处，放置一台高1.5米的测角仪，测得塔楼顶端的仰角，点在边上．求这个塔楼的高度．（精确到0.1米）【参考数据：，，】 【答案】这个塔楼的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用．在中，，代入数据计算求得，然后利用求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， （米）． 答：这个塔楼的高度约为米． 2．（2025九年级·全国·专题练习）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． (1)求点A到墙面BC的距离． (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 【答案】(1)点到墙面的距离约为 (2)遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）过点作，垂足为，依次求出的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为． 在中，． ， ∴点到墙面的距离约为． （2）解：如图②，过点作，垂足为， 由题意，得． ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：____________°，______________； (2)求楼的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)75；60 (2)米 【分析】本题考查了仰角俯角问题，三角函数的应用，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题． 【详解】（1）解：， ， 过点作于点， 则， ； （2）解：由题意可得米，米， 在中，， 解得：米， 米． 答：楼的高度为米． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为后火箭到达处，此时测得仰角为． (1)求点离地面的高度； (2)求火箭从处到处的平均速度．（结果精确到，参考数据： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，含30度角的直角三角形； （1）根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ． 的长为 （2）在中，， ． ． 在中，， ． . ． . 火箭从处到处的平均速度约为 5．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 题型二 解直角三角形应用之坡度坡比问题 1.明确坡度定义：坡度i是斜坡的垂直高度h和水平宽度l的比。 - 公式是i = h / l  - 有时也写成1:m的形式，意思是高度上升1份，水平前进m份 - 坡度也等于坡角α的正切值，即i = tanα  2.构造直角三角形：根据题意画出示意图。 - 把斜坡的垂直高度、水平宽度和斜坡长度构成一个直角三角形 - 标出已知的坡度和其他条件 3.解直角三角形：根据已知条件和坡度的定义，找出边角关系。 - 选择合适的三角函数（通常是正切）来计算 - 求出未知的边长或角度 1．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 2．（25-26九年级上·北京·单元测试）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点，根据直角三角形的性质和正切的定义求出，，结合正切的定义求出，即可求解； （2）结合正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，则， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)小开先到达山顶处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； （2）解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 4．（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 5．（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 6．（2025·山西临汾·二模）在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表：    课题 测量藏经楼的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内．    测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 CE的坡度，，，． …… 请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】由CE的坡度和长度，利用勾股定理可求出长度，设，在和中，利用和，表示出，列方程求解即可． 【详解】解：过点E作于点G，作于点F． 由题意可得，，， 则四边形是矩形． ∴，． ∵的坡度， ∴设，， ∵在中，， ∴，即， 解得（负值舍去）． ∴，． 设． ∵在中，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵在中，，， 即， ∴． 解得． 答：藏经楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，矩形的判定，坡比，仰角俯角，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型三 解直角三角形应用之方向角问题 1. 理解方向角：方向角是从正北或正南方向开始，顺时针或逆时针转到目标方向的水平角。 - 例如"北偏东30°"，是从正北向东转30° - "南偏西45°"，是从正南向西转45° - 没有"东偏北"或"西偏南"的说法 2. 画方位图：这是最核心的一步。 - 以观测点为原点，画出十字坐标系 - 标出正北、正南、正东、正西四个方向 - 根据方向角，画出目标位置，形成三角形 3. 解三角形：确定三角形的已知条件。 - 利用三角形内角和等知识求出未知角 - 结合三角函数或勾股定理计算边长 1．（25-26九年级上·重庆·期中）2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小陈先到达体育场D处 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【详解】（1）解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． （2）解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） (1)求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 【答案】(1) (2)甲班先到 【分析】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，根据特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，解直角三角形即可； （2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点D作于点E， ∵点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向． ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据（1），得， 甲选择①，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 乙选择②，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 故甲先到达． 3．（25-26九年级上·重庆渝北·期中）中秋乐游，龙兴明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示，，，四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小渝和小翡分别从，打卡点同时出发，小渝以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小翡以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小渝出发多少千米后恰好与小翡相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据： ） 【答案】(1) 千米 (2)小渝出发千米后恰好与小翡相距千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）过作于，过作于，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）设出发小时后，小渝到达点，小翡到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过作于，过作于， ， 又， ∴四边形是矩形， ，， 根据题意得， ， ， 千米， ， ， ， （千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小渝到达点，小翡到达点，他们之间的距离千米，则千米， 千米 连接，过点作于点， 由（1）可得千米， 千米，在左边， 千米，  千米， 千米， 在中， ， ， 解得或 （舍去）， 千米， 即小渝出发千米后恰好与小翡相距千米． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【详解】（1）解：延长交于， 由题意， 在中， ∵米， ∴米， 米， 在中， ， ， 米，米， ， ， ， ， 米， 答：的长度为米； （2）解：， ∴，， ，， ， 作， 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 米， 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米， 小明用时：， 米， 小亮用时， ， ∴小亮早到． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达港 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． （2）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． (1)求B，D两地的距离； (2)大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)75712元 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，三角形的内角和定理，等角对等边，含直角三角形的性质，掌握知识点的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，求出，，从而可得，，（米），再求出的长即可得解； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图：过点作于点， 由题意知，， ∴，， ，，米， ∴（米） ∴（米） 答：、两地的距离约为米； （2）解：如图：过点作于点， 米， ，，， ， ， ∵，， （米）， ， （米）， （米）， 总费用约为（元）， 答：总费用约为75712元． 题型四 解直角三角形应用之特殊三角形问题 解题方法总结： 1.建模转化法：将实际场景抽象为直角三角形，含特殊角（30°/45°/60°）或等腰、等边三角形时，优先拆分/构造直角三角形，明确已知边、角与所求量的关系。 2.特殊性质联用：等腰三角形作底边高转化为两全等直角三角形，等边三角形高=√3/2边长，利用这些性质快速得边长、角度，减少计算量。 3.方程思想辅助：未知量较多时，设关键边为x，结合三角函数（sin/cos/tan）或勾股定理列方程，代入特殊角三角函数值求解。 解题技巧总结： 1.优先标特殊条件：解题前标注特殊角、等线段，快速锁定可利用的特殊三角形性质，避免遗漏关键信息。 2.灵活选三角函数：求对边用sin，邻边用cos，斜边未知用tan，直接关联已知与所求，简化运算。 3.检验结果合理性：结合实际场景判断结果（如长度为正），利用特殊三角形边角比例（如30°对边=1/2斜边）验证答案，避免计算错误。 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）小明同学用木板制作一个带有卡槽的三角形支架，如图所示，已知，，，小明的平板宽度为17cm，卡槽与等长，小明同学能否将平板放入卡槽内？请说明你的理由．（提示：，，） 【答案】能，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．作于点，解直角三角形得，，进而利用勾股定理得，比较，即可得解． 【详解】解：小明同学能将手机放入卡槽内． 理由如下： 如图所示，过点A作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴小明同学能将手机放入卡槽内． 2．（2024·安徽合肥·一模）华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是的位置时（如图，即），窗户打开的的度数为．（参考数据：，，） (1)求点到的距离的长； (2)求窗钩的长度． 【答案】(1)点到的距离的长为； (2)窗钩的长度约等于． 【分析】（）在中, 根据即可求得； （）在中，根据，再根据，求出，然后根据勾股定理即可求出； 本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，，， 在中，， ∴点到的距离的长为； （2）解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴窗钩的长度约等于． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报． (1)如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是什么? (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供至之间的五个角度挡位． 图3为该手机支架位于角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板和底板形成的，和的长度均为，挡位点位于底板中点处，此时支撑板与底板形成的，求支撑板的长． (3)如图5，当该手机支架位于角度挡位时，支撑板底端卡在点处，手机固定板和支撑板的长度不变，手机固定板和底板形成的，点A和点到的距离分别为， 的长，手机固定板顶端由点A的位置变化到点的位置，高度差记为，求h的值．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性，可得到结论； （2）利用勾股定理求出长，在中利用三角函数求出，即可得到结果； （3）根据题意，结合图形，在中求出，在中求出，即可得到结果． 【详解】（1）解：三角形具有稳定性． （2）解：由题意可知． 过点O作， ∴． ∵，点为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴支撑板的长约为． （3）解：如图，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 题型五 解直角三角形应用之特殊四边形问题 ### 一、解题方法总结（2点） 1. **拆分图形，转化为直角三角形**：将特殊四边形（如矩形、菱形、梯形）通过作高、连对角线等辅助线，拆分为1-2个直角三角形和1个特殊三角形（或矩形）。例如梯形作双高，可得到两个直角三角形和一个矩形，利用矩形对边相等传递边长，再用直角三角形边角关系计算。 2. **利用四边形性质，关联已知与未知**：先提取特殊四边形的固有性质（如矩形邻边垂直、菱形四边相等、等腰梯形两腰相等），将已知条件（边长、角度）转化为直角三角形的已知边或角，再通过勾股定理、三角函数（sin、cos、tan）求解未知量。 ### 二、解题技巧总结（2点） 1. **优先标注已知，锁定关键直角三角形**：读题时在图中标记已知边长、角度，优先选择含已知量且能直接关联所求量的直角三角形，避免无效计算。例如已知菱形边长和一内角，可作高构造直角三角形，用“边长×sin（内角）”直接求高。 2. **遇复杂图形，分步计算“过渡量”**：若所求量无法直接求，先算“过渡边/角”（如梯形的高、菱形的对角线一半）。例如求等腰梯形的腰长，可先通过下底与上底的差算直角三角形的底边，再结合高用勾股定理求腰长。 1.（2025九年级下·江西·专题练习）如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 2.（2025·湖南岳阳·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)______，______． (2)求的长； (3)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，故，，即可作答． （2）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （3）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵矩形是其中一个停车位． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， （3）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 3.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 4.（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则， 在中， ， ， 解得， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02解直角三角形的应用五大题型 题型一解直角三角形应用之仰角俯角问题 题型二解直角三角形应用之坡度坡比问题 解直角三角形的应用五 题型三解直角三角形应用之方向角问题 大题型 题型四解直角三角形应用之特殊三角形问题 题型五解直角三角形应用之特殊四边形问题 德点鱼破 题型一解直角三角形应用之仰角俯角问题 啸方法 1.画图建模：先根据题意画出示意图。标出观测点、目标点和水平线。 -从下往上看，视线与水平线的夹角是仰角 从上往下看，视线与水平线的夹角是俯角 这两个角在图中是相等的 2.构造直角三角形：把题目中的已知条件和要求的边长，标在示意图上。 -找到或构造出包含仰角或俯角的直角三角形 -这个三角形是解题的关键 3.解直角三角形：分析直角三角形中已知元素和未知元素的关系。 一选用合适的三角函数（正弦、余弦、正切） 列出关系式并求解 1.(25-26九年级上·吉林长春·期中)如图，为了测量消防训练塔楼的高度BC,在离该塔楼底部8米的A 处，放置一台高1.5米的测角仪AD,测得塔楼顶端C的仰角∠CDE=55°，点E在边BC上.求这个塔楼 的高度BC.(精确到0.1米)【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43) 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D55 -------E B 2.(2025九年级全国·专题练习)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心 在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距 离地面的高度记为BC,遮阳篷AB长为5m,与水平面的夹角为16°（结果精确到0.lm,参考数据： sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tanl6°≈0.29). B .-16.>2A ■ 450 D E 图① 图② (I)求点A到墙面BC的距离. (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，测得影长CD为1.8m,求遮阳篷靠墙端距离地面的高度 BC. 3.(25-26九年级上辽宁沈阳·期中)如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处， 测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC 为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在 同一平面内)· M 60y45° D 230 (I)填空：∠APD= 。,∠ADC= (2)求楼CD的高度（结果保留根号）· 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上辽宁大连·期中)一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从位于地面C 处的雷达站测得AC的距离是8km,仰角为30°，10s后火箭到达B处，此时测得仰角为45°. B 8km 45 30°入 (I)求点A离地面的高度AO; (②)求火箭从A处到B处的平均速度.（结果精确到 .1km/s V3≈1.73) ,参考数据： 5.(2025山东滨州中考真题)【活动背景】 如图，建筑物AC、BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC、BD的高度，技术员小李用皮尺测得 A、B之间的水平距离为150m,用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43° 35 430 D 150mB A 备用图 【问题解决】 (I)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC、BD的高度（结果保留整数）；（参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93) (2)请再设计一种测量建筑物AC、BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测 数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC、BD的高度.（可提供的测量工具： 皮尺、测角仪) 6.(25-26九年级上：广东深圳阶段练习)【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明 用了如下的思路方法计算出了tanl5°的值.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，作线段AB的 垂直平分线交BC于点D,连接AD,则BD=AD,∠BAD=∠B=15°，∠ADC=30°.设AC=k,则 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan B=tan15=4C k 2-V5 BD=AD=2k'DC=V(2k)-k2=k, c2k+V6A2+5j2-同2- D 图1 【类比探究】(1)仿照小明的思路，可以计算出tan22.5°= 3 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠B=a,ana=4,由上述小明思路的启发，你能算出 tan 2 tan2a a B 图2 【拓展应用】(3)在实际生活中，如图3，为了测量一棵树AB的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时 3 测得仰角为a,anC=4·然后她向后退到D,处，测得此时的仰角为2，接着，她向前移动到D,处， 2 测得此时的仰角变为.在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点 CCC共线 且与地面DB平行)，若小红眼睛到地面的距离为.6米（即 .DB CD=CD=C2 D2 =1.6 米)，后退与前进的距 CC+CC2=21 离之和为21米（即 米)，请求出这棵树AB的高度。 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A ) 2 2a D D D D B 图3 题型二解直角三角形应用之坡度坡比问题 ©啸方法 1.明确坡度定义：坡度i是斜坡的垂直高度h和水平宽度1的比。 -公式是i=h/l -有时也写成1：m的形式，意思是高度上升1份，水平前进m份 -坡度也等于坡角a的正切值，即i=twa 2.构造直角三角形：根据题意画出示意图。 把斜坡的垂直高度、水平宽度和斜坡长度构成一个直角三角形 一 标出已知的坡度和其他条件 3.解直角三角形：根据已知条件和坡度的定义，找出边角关系。 选择合适的三角函数（通常是正切）来计算 求出未知的边长或角度 1. (2025·安徽准南·二模)某铁路路基的横断面是四边形ABCD,其中AD∥BC,路基顶宽AD=8m, 路基底宽BC=32m,斜坡AB的坡度i=3:5,斜坡CD的坡度i=1:1,因路基一侧靠近河流，现需要对斜 坡CD进行加固，使得改造后的坡角（∠E)减小8°，求改造后的路基底宽BE长.（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A B 2.(25-26九年级上·北京·单元测试)学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图 所示，已知坡长AC=12m,坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角B为27°，最 近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上. 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (结果精确到 0m.参考数据：S27°≈0.45cos27°≈0.89an27°≈0.513≈1.73. B a D G (1)求灯杆AB的高度； (2)求CD的长度. 3.(25-26九年级上重庆期中)周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点A、B在同一 水平线上)，在A处测得山顶E的仰角为30°，在D处测得山顶E的仰角为37°，斜坡BC=1300米，坡度 为l:2.4,水平观景步道CD=2600米，山顶E到山底的垂直高度为1400米.（参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80tan37°≈0.75√3≈1.73 E 378D C A B (I)求DE的长度； (2)入口F在水平道路AB中点处，若小南和小开从点F同时出发，小南由F→A→E的线路到达山顶E, 小开由F→B→E的线路到达山项E,若小南的平路速度为50米/分，小南的爬山速度为40米/分，小开 的平路速度为70米/分，小开的爬山速度为56米/分（小开在斜坡BC,斜坡DE的速度相同），请问谁先 到达山顶E处？请通过计算说明理由.（结果保留小数点后一位） 4.(2025九年级四川宜宾·专题练习)校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖 有一块广告牌CD,小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到 B处测得广告牌顶部C的俐角为45”，已知山坡40的坡度=：5.4B=12米，B=24米.（测角器的 高度忽略不计，结果精确到01米，参考数据：2141,51：7乃，n53P号，co58 5, 4 tan53° 3) 6/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 吕 A E (I)求点B距水平地面AE的高度； (2)求广告牌CD的高度， 5.(2025四川广元模拟预测)如图，信号塔CD坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度， 他在山脚下的点处测得塔尖D的仰角为45°，再沿者坡度为=W5 45° 的斜坡向上走了10米到达点B处， 此时测得塔尖D的仰角为60°.（图中各点均在同一平面内） 30° 459 A (1)求点B到地面的距离： (2)求信号塔CD的高度（结果保留根号）： (3)若维护人员从点A处沿水平方向前行一段距离到点F处，测得塔尖D的仰角为30°，求AF的长度， 6.(2025·山西临汾·二模)在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑一一藏经楼. 这座于20世纪50年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一 处标志性景观.某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课 测量藏经楼的高度 题 7/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测 活动小组在距坡底C处5的E处测得藏经楼顶A的 量 斜坡 方 仰角为α，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为B B 案 点A,B,C,E都在同一平面内. 测 测量项目 第一次 第二次 平均值 量 仰角的度数 34.2° 34.4° 34.3° 数 仰角P的度数 45.3° 44.7° 据 45° 参 考 CE的坡度i=3:4,sin34.3°≈0.56，cos34.3°≈0.83，tan34.3°≈0.68 数 据 … 请你帮忙求出藏经楼的高度AB.(结果精确到1lm) 题型三解直角三角形应用之方向角问题 啸方法 1.理解方向角：方向角是从正北或正南方向开始，顺时针或逆时针转到目标方向的水平角。 例如"北偏东30"，是从正北向东转30° -"南偏西45"，是从正南向西转45° 。没有"东偏北"或"西偏南"的说法 2.画方位图：这是最核心的一步。 ·以观测点为原点，画出十字坐标系 、 标出正北、正南、正东、正西四个方向 根据方向角，画出目标位置，形成三角形 3.解三角形：确定三角形的己知条件。 利用三角形内角和等知识求出未知角 结合三角函数或勾股定理计算边长 1.(25-26九年级上重庆·期中)2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸 作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛.己知社区球迷广场A在体 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 育场D的南偏东60°方向.出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品 店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D,小陈则先从A沿北偏西15°方向步行600米到达取球票 60° 点C,再从C沿南偏西0方向步行至D.(参考数据： V2≈1.41V3≈1.73V6≈2.45 60° D 609 A (1)求CD的长度.（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的 时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处.（结果精确到01） 2.(25-26九年级上重庆期中)为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现 有两条线路供大家选择，如图：①A→B→D;②A→C→D.经勘测，点B在点A正东方向，点D在 点8正北方向，且8D=4千米：点C在点A东北方向，且1C=65 .60 千米，点D在点C南偏东方向 V2≈1.415≈1.73 (参考数据： 北 60 东 459 B (I)求A,B两地之间的距离（结果保留根号）： (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②.已知甲班的步行速度为3.6千米1小时，且 在途经点B处休息了1小时：乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说 明甲班和乙班谁先到达D处.（结果精确到0.01） 3.(25-26九年级上·重庆渝北期中)中秋乐游，龙兴明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 园设置了如图所示A,B,C,D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B 的正北方向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，DC=22千米，BC=1千米。 北 西个→东 南 45 30 A (1)求AB的长度；（结果保留根号） (2)小渝和小翡分别从D,A打卡点同时出发，小渝以2.5kmh的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A 打卡点，小翡以5km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小渝出发多少 千米后恰好与小翡相距2V5 千米？（结果保留小数点后两位，参考数据： √2≈1.41W3≈1.73 4.(25-26九年级上重庆阶段练习)为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年 9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式.如图，A、B、C、D是长安街沿线的四个观看点且 位于同一平面内，己知C位于A的正东方向且位于B的西北方向上，D位于C的北偏东75°方向上且位于 B的北偏东30°方向上，B位于A的南偏东60°方向上.经测量C,B两点相距600米.（参考数据： V2≈1.414V3≈1.732V6≈2.449 北 西→东 750 南 60 309 (I)求AC的长度（结果保留整数）： (2)小明和小亮同时从A出发去往D处，小明沿A→C→D方向步行且速度为Ms,小亮沿A→B→D方 向步行且速度为l.5ms，请间小明和小亮谁先到达D处，并说明理由. 5.(25-26九年级上重庆·阶段练习)如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B、C两港装载物 资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港.甲货轮沿A港的南偏东30°方向航行60海里后到达B港， 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再沿北偏东75°航行一定距离到达D港.乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后 再沿正南方向航行一定距离到达D港。（参考数据： √2≈1.41V3≈1.73V6≈2.45 西、 →东 45 759 B (1)求A、C两港之间的距离（结果保留根号）· (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、C两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明」 6.(2425九年级上江苏苏州期末)如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A,B,D分别为三个风 景点.经测量，A,B,C在同一直线上，且A,B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东 75°方向，在点A的东南方向. 北 西→东 南 B 75° 60 D (1)求B,D两地的距离： (2)大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200 V3≈1.732 元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据： 题型四解直角三角形应用之特殊三角形问题 常方法 解题方法总结： 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.建模转化法：将实际场景抽象为直角三角形，含特殊角(30°/45°/60°)或等腰、等边三角形时， 优先拆分/构造直角三角形，明确已知边、角与所求量的关系。 2.特殊性质联用：等腰三角形作底边高转化为两全等直角三角形，等边三角形高=√3/2边长，利用这些 性质快速得边长、角度，减少计算量。 3.方程思想辅助：未知量较多时，设关键边为x,结合三角函数(si/cos/t)或勾股定理列方程，代 入特殊角三角函数值求解。 解题技巧总结： 1.优先标特殊条件：解题前标注特殊角、等线段，快速锁定可利用的特殊三角形性质，避免遗漏关键信 息。 2.灵活选三角函数：求对边用si,邻边用cos,斜边未知用tm,直接关联已知与所求，简化运算。 3.检验结果合理性：结合实际场景判断结果（如长度为正），利用特殊三角形边角比例（如30°对边 =1/2斜边)验证答案，避免计算错误。 1.(23-24九年级上·河北保定期末)小明同学用木板制作一个带有卡槽的三角形支架，如图所示，已知 AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=53°，小明的平板宽度为17cm,卡槽与AB等长，小明同学能否将平板 入卡槽B内？请说明你的理由.《提家：加53P心08，cos539≈06am53P 2.(2024·安徽合肥·一模)华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简 单概括为三角形测量法.如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮 雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像 CD垂直于地面BE,若手机显示AC=1.75m,AD=2.45m,∠CAD=53°，求浮雕像CD的高度.（结果 精确到0.1，参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√2≈1.41) ① ② 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25九年级上陕西榆林·期末)如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点 A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm,窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、 A0构成一个三角形.当窗钩端点B与点0之间的距离是7cm的位置时（如图2，即OB=7cm)，窗户打 开的∠A0B的度数为37°.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） O BF D F 图1 图2 (I)求点A到OF的距离AD的长； (2)求窗钩AB的长度， 4.(2025辽宁沈阳·二模)图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报. 强力支撑不晃动轻松解决多种角度需求 三角形结构 5档调节 C AM话B M M2 H M MG 图1 图2 图3 图4 图5 ()如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依 据是什么？ (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供30°至75°之 间的五个角度挡位 图3为该手机支架位于75°角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板OA和底板OB形成的 ∠40B=75°，OA和OB的长度均为l32mm,75°挡位点M1位于底板OB中点处，此时支撑 CM与底板 OB形成的∠CM,0=45°，求支撑板CM的长 (③)如图5，当该手机支架位于30°角度挡位时，支撑板底端卡在点M,处，手机园定板O1和支撑板CM的 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长度不变，手机固定板OA和底板OB形成的∠AOB=30°，点A和点A到OB的距离分别为AH,AG的 长，手机固定板顶端由点A的位置变化到点A'的位置，高度差记为hmm,求h的值.（结果精确到O.lmm, V2≈1.41V6≈2.45sin75°≈0.97 参考数据： 题型五解直角三角形应用之特殊四边形问题 煤方法 #一、解题方法总结(2点) 1.*拆分图形，转化为直角三角形*：将特殊四边形（如矩形、菱形、梯形）通过作高、连对角线等辅 助线，拆分为1-2个直角三角形和1个特殊三角形（或矩形）。例如梯形作双高，可得到两个直角三角 形和一个矩形，利用矩形对边相等传递边长，再用直角三角形边角关系计算。 2.*利用四边形性质，关联已知与未知*：先提取特殊四边形的固有性质（如矩形邻边垂直、菱形四边 相等、等腰梯形两腰相等)，将己知条件（边长、角度）转化为直角三角形的已知边或角，再通过勾股 定理、三角函数(sin、cos、tm)求解未知量。 #二、解题技巧总结(2点) 1.*优先标注已知，锁定关键直角三角形*：读题时在图中标记已知边长、角度，优先选择含已知量且 能直接关联所求量的直角三角形，避免无效计算。例如已知菱形边长和一内角，可作高构造直角三角 形，用“边长×sin（内角)”直接求高。 2.**遇复杂图形，分步计算“过渡量**：若所求量无法直接求，先算过渡边/角”（如梯形的高、菱形的 对角线一半)。例如求等腰梯形的腰长，可先通过下底与上底的差算直角三角形的底边，再结合高用勾 股定理求腰长。 1.(2025九年级下·江西·专题练习)如图(1)是一座塑像，图(2)是它正面的抽象示意图，它是由三个 全等的平行四边形组成的（部分重叠），己知水平地面P2‖BC‖DE‖FG,∠G=115°，FG=3m, GH=6m CD-EF-EK BC-DE-FG 图(1) 图(2) (I)求此塑像正面抽象示意图的周长（含AW段）： (2)求此塑像的高.（结果保留1位小数）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 14/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025·湖南岳阳·一模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新 能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中 一个停车位.经测量，∠AB0=60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH1CD,GH是另一个车位的宽，所有 车位的长宽相同，按图示并列划定。 P D G B 根据以上信息回答下列问题：（结果精确 0.1m,参考数据 5≈1.73) (1)DE=」 ∠DEB= (2②)求P的长： (3)该充电站有20个停车位，求PV的长。 3.(2425九年级下·辽宁抚顺阶段练习)某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型， 如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A,D,F,G四点始终在同一条直线上，图形 关于直线AM对称， 图1 图2 (I)如图1，若B,C,D,E四点在同一条直线上，连接MF,∠AMF=」 (2)如图2，若菱形的边长为5cm,∠CAD=53°，求点N到点G的距离，（结果精确到0.lcm.参考数据： sin37 5,c0s37°≈ 5,an37°≈3 ’sin26.5°≈0.45’cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 4.(2025·吉林松原·模拟预测)图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为 平面图形得到图②，并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=I00cm, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD∥EF,∠CDE=140°，∠CGF=25 ,求C“的长（参考数据： 。CG sin25°≈0.42，cos25° 0.91, tan25°≈0.47). A D B G 图① 图② 16/16