1.2解直角三角形（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖解直角三角形从基础计算到综合应用，通过不同题型培养数学抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直角三角形基本计算|选择题、填空题巩固边角关系，如坡度问题、矩形中直角三角形计算| |提升层|非直角三角形及构造|通过作高转化为直角三角形，如网格图形、中线相关计算| |综合层|函数应用与实际问题|结合反比例函数、动态几何，如理疗灯角度计算、测高仪实际测量|

1.2解直角三角形 题型一 解直角三角形的相关计算 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意可知：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：D． 3．（2026九年级·河北·专题练习）在中，，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是掌握余弦、正切的定义． 根据勾股定理计算出长，再根据余弦、正切定义可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形；在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得的长即可解题． 【详解】解：在中， ∵，在中， ∵在矩形中，，， 又， ∴ 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知：在中，，若，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数和勾股定理． 锐角三角函数和勾股定理以及直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理得； ∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，正切定义，正确理解正切的定义是解题的关键．先根据得出的关系，再由得出，最后列方程求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴设，， 又， ， 在中，，， ， ∴， ， ， ∴， ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，垂足是，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 首先根据的三角函数求出的长度，然后得出的长度，从而得出的正切值． 【详解】解∵， 在中，， ， ， ． 题型二 解非直角三角形 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 4．（13-14九年级上·北京顺义·期末）在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 5．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 8．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型一 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 4．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 5．（21-22八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，，连接，，则 ． 【答案】 【分析】在此题中，没有直角三角形，因此我们要想办法将6和1转移到同一个直角三角形中求解．在△AEF中，当∠EFA=90°时，可证DE=EF，要求DE，只需求出EF即可． 【详解】 以A为圆心，AB长为半径画弧，交BD与点F，连接EF ∠BAE=∠B+∠ACB，∠ACB=120° ∠BAE=∠B+120° ∠D+∠B+120°=210°，即∠D+∠B=90° AB=AF ∠D+∠AFB=90° 令∠EFA=90°， 则∠AFB+∠EFD=90° ∠D=∠AFD DE=EF 在Rt△EFA中，由勾股定理可得EF=== 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．此题中，没有直角三角形，构建直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 6．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 7．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 8．（20-21九年级下·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 题型二 函数中的解直角三角形 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】 解：当点E在上时，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴此时图象为开口向上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的顶点A，P在反比例函数的图像上，已知P的坐标为，（的自然数）；当，3，4…2010时，A的横坐标相应为，…，，则（　　） A． B．2021054 C．2022060 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，关键是根据三角函数值设直角三角形的边长，表示A点坐标，根据A点在双曲线上，满足反比例函数解析式，从而得出一般规律． 设，由得，则，将A点坐标代入中，得出的表达式，寻找运算规律． 【详解】解：依题意设， ∵P点横坐标为1，则C点横坐标为， 即， 又∵， ∴， 则， 将A点坐标代入中， 得， ∴， ∴， 则， ， 则， 即， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线， ．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点D，根据锐角三角函数求出，证明，根据反比例函数的性质及翻折的性质得出， ，表示出相关线段的长度，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点D， ∵对角线， ， ∴， ∵将沿对折后，C点恰好落在上的M点处， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 又∵， ， ∴， ， ∴； ∴，而， ∴， 在中，，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形和反比例函数结合，翻折的性质，锐角三角函数比，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，平面直角坐标系中有一菱形，满足．一反比例函数经过点C且交线段于点P，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、三角函数． 过作，设，则，可得点C的坐标，进而求出反比例函数解析式，设，根据的正切列方程求出m值即可解题． 【详解】解：如图，过作， ， ， 不妨设，则， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，，，反比例函数的图象经过点A，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、特殊角的三角函数值以及比例的计算，解题的关键是根据线段间的关系找出间的比例．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值找出线段间的关系是关键． 过点作轴于点，由可得出，再根据可得出，由此可得出，根据线段间的关系即可得出线段、间的比例，结合反比例函数系数的几何意义以及即可得出结论． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，的角平分线交线段于点，已知，，，动点以每秒个单位长度的速度沿运动，到达点时停止．以点为顶点向下方作，交射线于点．设点的运动时间为秒，点与点的距离为，线段的长度与点的路程之比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图象见解析，关于直线对称（答案不唯一） (3)（因为误差不超过0.2，所以即可算正确） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，画函数图象，从函数图象获取信息； （1）过点E作，过点D作，过点P作，先求出、、，再求出，然后利用即可求出，由即可求出；点P到达点时停止，即可求出x的取值范围； （2）通过描点画出函数图象，并观察图象，找到的特点即可； （3）即的图象在图象的下方，从图象上找到两个函数图象的交点的横坐标的近似值即可. 【详解】（1）解：过点E作，过点D作，过点P作，如图所示， ∵平分，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵动点以每秒个单位长度的速度沿运动，点的运动时间为秒， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵点P到达点时停止， ∴x的最大值为， ∴， ∴，； （2）解：函数，的图象如图所示， 从图象上看关于直线对称（答案不唯一） （3）解：∵即的图象在图象的下方 从图象上看两个函数图象的交点的横坐标大约是1.2 ∴当时，.（因为误差不超过0.2，所以即可算正确） 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与双曲线交于点． (1)求直线与双曲线的解析式． (2)连接，求的正弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，等腰直角三角形的判定，解直角三角形等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线； （1）根据待定系数法分别求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可； （2）过点O作于点M，先求得，根据等腰直角三角形的和解直角三角形得到的长，根据勾股定理得到的长，进而即可得到答案； 【详解】（1）解：将点代入，得到，解得， ∴； 再将点代入得到， ∴， 将代入， ∴， ∴， ∴直线与双曲线的解析式分别为， ； （2）解：过点O作于点M， 当时，代入，得到，即． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在中， ， ∴． ∴在直角三角形中，， ∴． 题型三 解直角三角形的实际应用 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东·阶段练习）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线l平行，与l的夹角为，与l的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点E到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64，53 (2)此时伸缩杆的长度约为 【分析】本题考查了直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数求解即可． （1）延长交于G点，延长交于H点，则，，利用三角形外角的性质求出，再利用平角的定义求出即可； （2）在中，利用三角函数求出，进而得出，再得到，再在中求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于G点，延长交于H点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； （2）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：此时伸缩杆的长度约为． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某小区有一块四边形的空地，如图所示，．现计划将其建造成一块绿化地，物业工作人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)物业工作人员测量的是点____________与点____________之间的距离，且该两点之间的距离为____________m； (2)求四边形绿化地的面积； (3)为了更好地对绿地进行灌溉，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点M处铺设管道引水． 方案一：从水源点M处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点M作的垂线，垂足为N，先从水源点M处铺设管道到点N处，再从点N处分别向浇灌点E，F铺设管道． 若．从节约管道材料的角度考虑，应该选择哪个方案？ 【答案】(1)B，D，17 (2) (3)应该选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行计算即可； （2）由勾股定理逆定理可得，再利用计算面积即可； （3）可直接求出方案一铺设管道长度，利用勾股定理逆定理可得，再利用等面积法求出的长，进而得到方案二铺设管道长度，比较即可得出结论． 【详解】（1）物业工作人员测量的是点与点之间的距离， , ， 解得， 故答案为：B，D，17． （2）由（1）知， ， ， ， 答：四边形绿化地的面积为． （3）方案一：共铺设管道； 方案二：， ， ，即， 又， ， 即，解得， 所以方案二共铺设管道， ， 答：选择方案一更节省管道材料． 5．（2025·上海·模拟预测）三角铁（如图1）是一种金属乐器，用三角铁棒击打三角铁，可以发出美妙的声响．已知有一个三角铁，如图2，经测量，，的面积为30平方寸． (1)求的周长． (2)如图3，将三角铁的边水平悬挂，在点B处固定三角铁棒，棒头为小球D，取一根和棒同样型号的三角铁棒，摘下棒头，使棒杆刚好卡在A处和小球D间，且棒自然下垂．求棒的长． 【答案】(1) (2)寸 【分析】（1）如图所示，作于H，由得到，，然后推出，由的面积为30平方寸求出，进而求解即可； （2）如图所示，记交于点P，由得到，利用勾股定理求出，，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作于H ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵的面积为30平方寸 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴的周长（寸）； （2）如图所示，记交于点P， 根据题意得，，， ∴，即 ∴，即 ，， 设，则 ∵ ∴ 解得 答：棒的长为寸． 【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型一 解直角三角形的综合运用 1．（24-25九年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点、重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)连接、，如果四边形有两个内角互补，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的长为或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，，是中点， ∴. 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 2．（2025·上海徐汇·二模）如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，锐角三角函数，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设，在中，，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出； （2）可证明，中，可求出，进而求出长度，则可得结论； （3）分两种情形：当时或者当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 解得（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得； （2）解：设交线段于点，交边于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）（i）当时， ∵， ∴， 得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （ii）当时，延长交直线于点， ∵， ∴， 得， 即 求得， ∵， ∴， ∴， 得， 即， 求得， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2解直角三角形 题型一 解直角三角形的相关计算 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2026九年级·河北·专题练习）在中，，则 ， ． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知：在中，，若，，解这个直角三角形． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，，，，求的长． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，垂足是，若，，，求的值． 题型二 解非直角三角形 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 4．（13-14九年级上·北京顺义·期末）在中，，求的长． 5．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 8．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型一 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，，则 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 4．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 5．（21-22八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，，连接，，则 ． 6．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 7．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 8．（20-21九年级下·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 题型二 函数中的解直角三角形 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的顶点A，P在反比例函数的图像上，已知P的坐标为，（的自然数）；当，3，4…2010时，A的横坐标相应为，…，，则（　　） A． B．2021054 C．2022060 D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线， ．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（　　） A． B． C．8 D． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，平面直角坐标系中有一菱形，满足．一反比例函数经过点C且交线段于点P，那么 ． 5．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，，，反比例函数的图象经过点A，若，则k的值为 ． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，的角平分线交线段于点，已知，，，动点以每秒个单位长度的速度沿运动，到达点时停止．以点为顶点向下方作，交射线于点．设点的运动时间为秒，点与点的距离为，线段的长度与点的路程之比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与双曲线交于点． (1)求直线与双曲线的解析式． (2)连接，求的正弦值． 题型三 解直角三角形的实际应用 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东·阶段练习）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线l平行，与l的夹角为，与l的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点E到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某小区有一块四边形的空地，如图所示，．现计划将其建造成一块绿化地，物业工作人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)物业工作人员测量的是点____________与点____________之间的距离，且该两点之间的距离为____________m； (2)求四边形绿化地的面积； (3)为了更好地对绿地进行灌溉，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点M处铺设管道引水． 方案一：从水源点M处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点M作的垂线，垂足为N，先从水源点M处铺设管道到点N处，再从点N处分别向浇灌点E，F铺设管道． 若．从节约管道材料的角度考虑，应该选择哪个方案？ 5．（2025·上海·模拟预测）三角铁（如图1）是一种金属乐器，用三角铁棒击打三角铁，可以发出美妙的声响．已知有一个三角铁，如图2，经测量，，的面积为30平方寸． (1)求的周长． (2)如图3，将三角铁的边水平悬挂，在点B处固定三角铁棒，棒头为小球D，取一根和棒同样型号的三角铁棒，摘下棒头，使棒杆刚好卡在A处和小球D间，且棒自然下垂．求棒的长． 题型一 解直角三角形的综合运用 1．（24-25九年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点、重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)连接、，如果四边形有两个内角互补，直接写出的长． 2．（2025·上海徐汇·二模）如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $