重难点专题02解直角三角形及其应用9大类型突破（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题02解直角三角形及其应用9大类型突破 重难点一、已知直角三角形的两边解直角三角形 已知两边解直角三角形的方法 (1)已知两直角边：通常先利用勾股定理求出斜边，再利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，从而求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角. (2)已知斜边和一直角边：通常先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用已知直角边与斜边的比得到其中一个锐角的正弦值（或余弦值），从而求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4，解这个直角三角形． 2．（1）已知，在中，，，，分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． （2）在中，，，，求的长． 3．计算： (1)在中，，，，解这个直角三角形． (2)如图所示，在中，，，，求和． 4．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 重难点二、已知直角三角形的一锐角和一边解直角三角形 已知一锐角和一边解直角三角形的方法 (1)已知一锐角和斜边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦分别求出两条直角边. (2)已知一锐角和一直角边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边，当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边：当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边. 5．在中，，，，解这个直角三角形． 6．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝3，解这个直角三角形． 7．如图，在中，，，，解这个直角三角形． 8．（1）在中，，a、b、c分别是、、的对边，，，解这个直角三角形． （2）如图，中，，，，求的长． 重难点三、利用“化斜为直” 解非直角三角形 “化斜为直”一解非直角三角形的方法 一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作辅助线，构造出直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题.若条件中有线段的比或锐角三角函数值，则可以设一个辅助未知数，列方程求解 9．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 11．在中，，求的长． 12．如图，在中，，求和的长． 13．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 14．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 重难点四、利用解直角三角形解决不规则图形面积 解直角三角形中的不规则图形，核心是通过作辅助线（如作高、作垂线）将不规则图形分割或补全为直角三角形（或直角三角形+矩形/正方形），再利用勾股定理、锐角三角函数及直角三角形性质求解未知边或角。 常用辅助线方法如下： 1. 作高法：过非直角顶点作垂直于底边的高，分割出直角三角形、矩形。 ​ 2.补形法：对缺角的图形（如“L”形、含钝角的三角形），延长某边补成完整的直角三角形，利用整体减去部分求解。 3. 连对角线法：对四边形，连接对角线将其拆分为两个三角形，若其中一个为直角三角形，可优先利用直角三角形性质计算。 15．如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 16．图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．（结果保留根号） 17．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 重难点五、解直角三角形的应用：俯角和仰角问题 (1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯” (2)当实际问题中遇到仰角、俯角时，要把它们放在或转化到直角三角形中运用，并注意分辨水平线和视线 18．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知的坡度为且长为米，无人机飞行距离为米，求无人机离地面的高度的长．（参考数据：） 19．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 20．天府七中操场的主席台遮阳棚如图1所示，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A、B、C、D、E、F、G均在同一竖直平面内，求点E到地面BC的高度．（结果精确到米）参考数据：，，，． 21．我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，如图，线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，．从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米．求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：，，） 22．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 重难点六、解直角三角形的应用：方向角问题 (1)方向角通常是以南北方向线为基准，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东(西)” (2)观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此，通常借助此性质进行角度的转换. 23．某公园平面地图中景点在游客中心的正北方向10千米处，观景台在游客中心的西北方向且在景点的西南方向；在游客中心的北偏东方向有一条骑行栈道通往骑行俱乐部，骑行俱乐部在景点的北偏东方向上．（参考数据：，，） (1)请求出骑行栈道的长度；（结果保留根号） (2)为鼓励健康出行，公园推出“活力周末•健行未来”活动，设置两条路线：路线①沿步行，路线②沿骑行．公园规定：步行每走1千米可积累15个健康积分，骑行每走1千米可积累6个健康积分，健康积分可兑换丰富的奖品．请计算说明小铜选择哪条路线积累的健康积分更多．（结果保留整数） 24．如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 25．潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 26．如图．点A为某物流中心，B，C，D为三个驿站，B在A的正北方向处，D在A的正东方向，C在D的北偏西方向处、B在C的北偏西方向． (1)求驿站B与驿站C之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心A出发，以的速度沿着A﹣B﹣C﹣D的路线派送快递到各个驿站，快递员途经B，C两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站D？（参考数据：，，） 27．【阅读理解】如图1，在中，、、所对的边分别为、、，可以得到：． 【证明】：过点作，垂足为．在中，， ∴， ∴， 同理， ∴； 【学以致用】 (1)如图2，在中，，，，求的长． (2)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择、、三个测量点，在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上，根据以上信息，求、、三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：，，，结果取整数） 重难点七、解直角三角形的应用：坡度、坡角问题 (1)坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即i=tana. (2)坡度i也叫坡比，即i=h：l,一般写成1：m的形式 (3)物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓 (4)解决坡度的有关问题时，一般通过作高构造直角三角形来解决，其实质就是解直角三角形. 28．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 29．如图，数学小组为测量某楼的高度，在A处测得楼顶D的仰角为，沿坡度为的斜坡前行到达平台B处，测得楼顶D的仰角为，点D，E，C在同一条直线上．求该楼的高度（结果精确到，参考数据：，）． 30．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 31．小明约小华去某景点爬山，该景点的东门在西门的正东方向，从西门处有一条索道可以直达景点，爬升角，如果要步行上山，可从东门出发，先经过一条坡度的石板路到达景点，再从景点经过丛林穿越到达景点，从景点观测景点，仰角为，已知距离，距离（，，，，） (1)求西门到东门的距离（结果保留一位小数） (2)小明从处坐索道前往处，小华从处骑车前往处，两人同时出发，已知索道速度是小华骑车速度的4倍，小华和小明手里各有一部对讲机，接收信号距离最远为，请问当小华从西门骑行多远时，对讲机开始接收信号？（结果保留两位小数） 32．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 33．【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 重难点八、解直角三角形的新定义问题 锐角三角函数新定义问题的核心是严格遵循题目给出的新定义规则，结合锐角三角函数的基本性质（如边长关系、角度范围），将新定义转化为熟悉的数学运算（如线段比、方程求解）来解题，解题策略有： 1. 紧扣新定义：不套用课本中sin、cos、tan的原始定义，完全以题目给出的“新定义”（如新的线段比、新的运算规则）为准。 2. 结合直角三角形本质：无论定义如何新，均围绕“锐角所在的直角三角形”展开，需先明确新定义中涉及的两条线段（如“对边与斜边的一半的比”“邻边与对边的平方比”等）。​ 3. 特殊值验证（可选）：若新定义涉及特殊角（30°、45°、60°），可代入含该角的特殊直角三角形（如30°角对边为1、斜边为2）计算，快速验证或求解。 34．如果定义等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对，如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)______． (2)若，则的正对值的取值范围是____． (3)如图②，已知中，，，求的值． 35．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 36．【阅读材料】如图1，在中，设的对边分别为a，b，c，过点作于，在中，，， ， 同理可得：， 则的面积公式：， 由面积公式可得：，该结论称之为“正弦定理”． 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的结论——“余弦定理”： ①；②；③； 推理如下：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c， 过点作于，在Rt中，， 又∵在Rt和Rt中，， 整理得：， 同理可得． 请借鉴以上的阅读材料，完成下列问题： (1)如图3，在中，，求的值； (2)如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且，求的值； (3)如图5，在中，所对的边分别为的面积为，点为的中点，且，求的周长．（参考数据：） 重难点九、解直角三角形综合问题 解直角三角形综合问题的核心是利用勾股定理、锐角三角函数（sin、cos、tan）及直角三角形两锐角互余的性质，结合函数或几何图形组合（如与等腰、梯形、圆结合），求解未知边或角，涉及的数学思想方法有数形结合、方程思想、分类讨论等。 37．如图，在正方形中，E为上一点，点O为正方形的中心，连接，将绕点O顺时针旋转得到，连接，且与交于点P． (1)试判断点F是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点G，连接，当时，求的值． 38．如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 39．如图，是⊙O的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于F，连接，，，． (1)求证：，并判断直线与的位置关系． (2)求证： ． 40．如图1，在矩形 中 ，，点M 在线段上，连接．将线段绕点A 逆时针旋转α（）得到线段．线段绕点A 逆时针旋转α得到线段， 连接并延长交于点F，连接． (1)连接， 当时． ①求证：； ②若点M 在线段上，猜想的数量关系为 ；若点M 在线段 上，猜想的数量关系，并证明； ③若，求的面积； (2)如图2，若， 的面积为，请直接写出线段的长． 41．如图1，是的直径，以为边在内作等腰三角形，且，过点D作的垂线，交于C，E两点，连结，，． (1)①求证：； ②若，，，求的长． (2)当时，求的值． (3)如图2，连结，设，，求y关于x的函数表达式． 42．如图，在矩形和中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，与交于点M，与交于点F，连接．设时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02解直角三角形及其应用9大类型突破 重难点一、已知直角三角形的两边解直角三角形 已知两边解直角三角形的方法 (1)已知两直角边：通常先利用勾股定理求出斜边，再利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，从而求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角. (2)已知斜边和一直角边：通常先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用已知直角边与斜边的比得到其中一个锐角的正弦值（或余弦值），从而求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4，解这个直角三角形． 【答案】∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝8. 【详解】试题分析：首先利用正切求出的度数，根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数，最后算出斜边即可. 试题解析：在中，， 点睛:直有三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边和两个角，由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形. 2．（1）已知，在中，，，，分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形；掌握锐角三角函数的概念是关键； （1）由勾股定理求得斜边c的长，再由正弦函数求得，由互余关系可求得，从而得解； （2）过A作于D，在中，解直角三角形可求得，再在中，由勾股定理可求得，则即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， ， ， ； （2）如图，过A作于D， 在中，，， ， 由勾股定理得：； 在中，由勾股定理可得， 则． 3．计算： (1)在中，，，，解这个直角三角形． (2)如图所示，在中，，，，求和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形，关键是注意解直角三角形，要求出所有的未知元素； （1）由锐角的正弦定义求出，即可得到，从而求出； （2）过作于，由，求出，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）过作于， ，， ， ， ， ． 4．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握解直角三角形的基本知识． （1）利用求出的余弦值，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，进而求出长度. （2）利用求出的正切，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，利用含直角三角形性质进而求出长度. 【详解】（1）解：在中， ， . （2）解：在中， ， . 重难点二、已知直角三角形的一锐角和一边解直角三角形 已知一锐角和一边解直角三角形的方法 (1)已知一锐角和斜边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦分别求出两条直角边. (2)已知一锐角和一直角边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边，当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边：当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边. 5．在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据含度角直角三角形求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键 6．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝3，解这个直角三角形． 【答案】 ， ， 【分析】在直角三角形中，除直角外，一共还有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形；则只需根据解直角三角形的解法求解即可． 【详解】解： ， 由，得， ∴， ∴． 故答案为： ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的定义和解法是解题的关键． 7．如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，∠ A=60° 【分析】先求，利用直角三角形的边角间关系再求另一直角边和斜边． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， 即，， ∴，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 8．（1）在中，，a、b、c分别是、、的对边，，，解这个直角三角形． （2）如图，中，，，，求的长． 【答案】（1），，；（2） 【分析】题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定，特殊角的三角函数值等， 熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，先推出，可得， 再利用特殊角的三角函数值求出，的值，再求的长即可． 【详解】（1）解：依题意作图如下： ，， ， ，， 由勾股定理得， ，，． （2）解：如图2，过点C作于点D，则， ，， ， ， ， 又， ， ． 重难点三、利用“化斜为直” 解非直角三角形 “化斜为直”一解非直角三角形的方法 一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作辅助线，构造出直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题.若条件中有线段的比或锐角三角函数值，则可以设一个辅助未知数，列方程求解 9．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 10．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 11．在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 12．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 13．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 14．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 重难点四、利用解直角三角形解决不规则图形面积 解直角三角形中的不规则图形，核心是通过作辅助线（如作高、作垂线）将不规则图形分割或补全为直角三角形（或直角三角形+矩形/正方形），再利用勾股定理、锐角三角函数及直角三角形性质求解未知边或角。 常用辅助线方法如下： 1. 作高法：过非直角顶点作垂直于底边的高，分割出直角三角形、矩形。 ​ 2.补形法：对缺角的图形（如“L”形、含钝角的三角形），延长某边补成完整的直角三角形，利用整体减去部分求解。 3. 连对角线法：对四边形，连接对角线将其拆分为两个三角形，若其中一个为直角三角形，可优先利用直角三角形性质计算。 15．如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【答案】(1)步道BC的长为24米； (2)此次改建费用足够． 【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答． 【详解】（1）过点B作于点E，过C作于点F，于点G． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在矩形CGEF中，， ∴， 在，，且， ∴． ∴， ∴． 答：步道BC的长为24米． （2）在中1，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴ ， ∴总共花费：， ∵， 答：此次改建费用足够． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．（结果保留根号） 【答案】24 【分析】过点C作于F，过点D作于E，根据解直角三角形知识求出AE、EF、BF的长，再根据AB=AE+EF-BF得出AB的长，再根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：过点C作于F，过点D作于E，如图所示： ∵， ∴，， 在中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在Rt中，， ∴， ∴， ∴S垂尾模型ABCD． 【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的性质和判定，掌握三角函数的定义是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 17．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 重难点五、解直角三角形的应用：俯角和仰角问题 (1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯” (2)当实际问题中遇到仰角、俯角时，要把它们放在或转化到直角三角形中运用，并注意分辨水平线和视线 18．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知的坡度为且长为米，无人机飞行距离为米，求无人机离地面的高度的长．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作地面的垂线，交地面于点，过点作于点，由的坡度为且长为300米，结合勾股定理可得米，米，米，在中，，可得米，则米，根据可得出答案． 【详解】解：过点作地面的垂线，交地面于点，过点作于点， 的坡度为， ， 设米，则米， 由勾股定理可得米， ， 解得， 米，米， 米， 米， 在中，， 米， 米， （米． 无人机离地面的高度的长约为米． 19．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答． 【详解】解：依题意，，，， 四边形为矩形， ，， 设，则， ∵在中，， ， 在中，，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 20．天府七中操场的主席台遮阳棚如图1所示，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A、B、C、D、E、F、G均在同一竖直平面内，求点E到地面BC的高度．（结果精确到米）参考数据：，，，． 【答案】点E距离地面的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设点E到的距离为h米，点E距离地面的高度为H米，利用直角三角形的正切函数建立方程，结合与的间距关系，联立求解出点E到的距离，最终算出点E距地面的高度为米． 【详解】解：设点E到的距离为h米，点E距离地面的高度为H米， 与间的距离为米， ， 过点E作于点H，则，，， 设米，则，， 在中，，即， 得①， 在中，，即， 得②， 由①得，由②得，则， 解得， 代入②得， ． 答：点E距离地面的高度为米． 21．我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，如图，线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，．从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米．求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】4.4米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示出各边关系，构造方程求解． 过点作于点，于点，在中利用正弦和余弦的定义得到米，米，在中利用正切的定义得到，设米，则米，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 则， 在中，，， ∴（米），（米）， 由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， ∵， ∴， 在中，， 设米，则米， ∴米，米， ∴米， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴（米）， 答：匾额悬挂的高度的长为4.4米． 22．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）过点作于，则米，，再解求出即可求解； （）设米，则米，分别解和，得，，进而得到，解方程求出的值即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则米，， 由题意得，， 在中，， ∴米， ∴甲楼比乙楼高米； （2）解：设米，则米， 由题意得，，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：甲楼的高度为米． 重难点六、解直角三角形的应用：方向角问题 (1)方向角通常是以南北方向线为基准，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东(西)” (2)观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此，通常借助此性质进行角度的转换. 23．某公园平面地图中景点在游客中心的正北方向10千米处，观景台在游客中心的西北方向且在景点的西南方向；在游客中心的北偏东方向有一条骑行栈道通往骑行俱乐部，骑行俱乐部在景点的北偏东方向上．（参考数据：，，） (1)请求出骑行栈道的长度；（结果保留根号） (2)为鼓励健康出行，公园推出“活力周末•健行未来”活动，设置两条路线：路线①沿步行，路线②沿骑行．公园规定：步行每走1千米可积累15个健康积分，骑行每走1千米可积累6个健康积分，健康积分可兑换丰富的奖品．请计算说明小铜选择哪条路线积累的健康积分更多．（结果保留整数） 【答案】(1) (2)路线①沿步行健康积分多 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）如图，过点作于点．解直角三角形求出，可得结论； （2）分别求出步行，骑自行车的健康积分可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点H．延长至， ，，， ， 千米， （千米）， （千米）， 千米； （2）∵， ， （千米）， （千米）， ∴步行的健康积分（分）； （千米）， 千米（千米）， ∴骑自行车的健康积分（分）， ， ∴路线①沿步行健康积分多． 24．如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为． (2)快递员能在内到达驿站 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，过作于，作于，而，可得四边形为矩形，再进一步求解，，进一步可得答案． （2）利用路程除以速度结合快递员途经，两个驿站各停留存放快递，计算总时间，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于，作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴驿站与驿站之间的距离约为． （2）解：∵，，， ∴， ∴总时间为：， ∴快递员能在内到达驿站． 25．潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【答案】(1)3860米 (2)小南先到达M处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． （1）过点C作于H，，根据，，即可求解； （2）由（1）得，进而分别求得，分别计算小东和小南走所用的时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 过点C作于H，， ∴， ∴． ∴（米）， 即：小南家到图书馆A的直线距离为3860米； （2）小南先到达M处，理由如下： 由（1）知， ∵M为的中点， ∴， ∴小东到点M需用（分钟）； 在中，，， ∴， ， ∴ ∴小南到点M需用（分钟）， ． ∴小南先到达M处． 26．如图．点A为某物流中心，B，C，D为三个驿站，B在A的正北方向处，D在A的正东方向，C在D的北偏西方向处、B在C的北偏西方向． (1)求驿站B与驿站C之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心A出发，以的速度沿着A﹣B﹣C﹣D的路线派送快递到各个驿站，快递员途经B，C两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站D？（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)能 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；正确理解题意和熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过作于点，过点作于点，根据计算即可； （2）计算出快递员的路程，再根据速度得出时间进行比较得出结论． 【详解】（1）解：如图：过作于点，过点作于点， 由题意得，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； 答：驿站B与驿站C之间的距离为； （2）解：， 快递员路上所需时间为， 快递员在28分钟内可走路程为，， ∴快递员能在内到达驿站． 27．【阅读理解】如图1，在中，、、所对的边分别为、、，可以得到：． 【证明】：过点作，垂足为．在中，， ∴， ∴， 同理， ∴； 【学以致用】 (1)如图2，在中，，，，求的长． (2)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择、、三个测量点，在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上，根据以上信息，求、、三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：，，，结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据阅读理解中的三角形面积公式求解即可得到结论； （2）先计算的长，然后由可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 解得：， 即的长为； （2）∵在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 答：、、三点围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，三角形内角和定理，三角形面积，比例的性质，解题的关键是理解并运用公式解决问题． 重难点七、解直角三角形的应用：坡度、坡角问题 (1)坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即i=tana. (2)坡度i也叫坡比，即i=h：l,一般写成1：m的形式 (3)物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓 (4)解决坡度的有关问题时，一般通过作高构造直角三角形来解决，其实质就是解直角三角形. 28．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【答案】(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）过点作于H，根据直角三角形的边角关系求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，结合矩形的性质，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 29．如图，数学小组为测量某楼的高度，在A处测得楼顶D的仰角为，沿坡度为的斜坡前行到达平台B处，测得楼顶D的仰角为，点D，E，C在同一条直线上．求该楼的高度（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键． 根据，米，设，则，根据勾股定理求得，又设米，则米，米，求出，根据列出方程，解方程进而根据，即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 在中，，米， 设，则， 由， 得， 解得：， ∴米，米 又设米， 则米，米 在中，， 则， ∴（米）， 在中，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）． 30．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，坡比， 对于（1），先设二次函数的顶点式，再将代入可得答案； 对于（2），延长交x轴于点H，则，再根据坡比求出，进而求出，然后令求出y，比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 由题意，得图象的顶点坐标为， ∴抛物线的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：不能，理由如下： 如图，延长交x轴于点H，则， 由题意可知点E，C，H的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ∴， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∵， ∴点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 31．小明约小华去某景点爬山，该景点的东门在西门的正东方向，从西门处有一条索道可以直达景点，爬升角，如果要步行上山，可从东门出发，先经过一条坡度的石板路到达景点，再从景点经过丛林穿越到达景点，从景点观测景点，仰角为，已知距离，距离（，，，，） (1)求西门到东门的距离（结果保留一位小数） (2)小明从处坐索道前往处，小华从处骑车前往处，两人同时出发，已知索道速度是小华骑车速度的4倍，小华和小明手里各有一部对讲机，接收信号距离最远为，请问当小华从西门骑行多远时，对讲机开始接收信号？（结果保留两位小数） 【答案】(1) (2)当小华从西门骑行时，对讲机开始接收信号 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解题意，构造直角三角形． （1）过点作于点，过点作于点，过点作于点，解中，求出，，解， 求出，，则，解，求出，最后再由求解即可； （2）设小华从西门骑行到达点时，对讲机开始接收信号，则此时设索道到达点，由题意得，时，过点作于点，由题意得，，解得，，则，最后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：设小华从西门骑行到达点时，对讲机开始接收信号，则此时设索道到达点，由题意得，时，过点作于点， 由题意得，， 在中， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴ 整理得，， 解得，， ∵索道从点到达点时，小华骑车到达处， ∴， 故舍， ∴， 答：当小华从西门骑行时，对讲机开始接收信号． 32．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 33．【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【答案】探究：；运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由见解析 【分析】探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，可得，即得到，进而可得，设，则，，得到，再根据正切的定义解答即可求解； 运用：过作于点，由题可得，再解直角三角形求出即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴, 故答案为：； 运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由如下： 过作于点， 由题可得，， ∵， ∴， ∴小张不能够从此积水路段安全通过． 重难点八、解直角三角形的新定义问题 锐角三角函数新定义问题的核心是严格遵循题目给出的新定义规则，结合锐角三角函数的基本性质（如边长关系、角度范围），将新定义转化为熟悉的数学运算（如线段比、方程求解）来解题，解题策略有： 1. 紧扣新定义：不套用课本中sin、cos、tan的原始定义，完全以题目给出的“新定义”（如新的线段比、新的运算规则）为准。 2. 结合直角三角形本质：无论定义如何新，均围绕“锐角所在的直角三角形”展开，需先明确新定义中涉及的两条线段（如“对边与斜边的一半的比”“邻边与对边的平方比”等）。​ 3. 特殊值验证（可选）：若新定义涉及特殊角（30°、45°、60°），可代入含该角的特殊直角三角形（如30°角对边为1、斜边为2）计算，快速验证或求解。 34．如果定义等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对，如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)______． (2)若，则的正对值的取值范围是____． (3)如图②，已知中，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． （1）由正对的定义即可求解； （2）由正对的定义即可求解； （3）中，，，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ， ∵， ∴. （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，由（1）知，； ∴ （3）解：如图： 在中，，，则， ∴，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴，， ， ∴， ． 35．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 36．【阅读材料】如图1，在中，设的对边分别为a，b，c，过点作于，在中，，， ， 同理可得：， 则的面积公式：， 由面积公式可得：，该结论称之为“正弦定理”． 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的结论——“余弦定理”： ①；②；③； 推理如下：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c， 过点作于，在Rt中，， 又∵在Rt和Rt中，， 整理得：， 同理可得． 请借鉴以上的阅读材料，完成下列问题： (1)如图3，在中，，求的值； (2)如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且，求的值； (3)如图5，在中，所对的边分别为的面积为，点为的中点，且，求的周长．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先由余弦定理解得，易知（负值舍去），再由正弦定理计算的值即可； （2）连接，根据题意易得，进而可得，易知，再解得，即可获得答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，易得，进而可得，由平行线的性质可得；根据余弦定理解得，由三角形面积公式解得，进一步确定，，然后计算的周长即可． 【详解】（1）解：根据题意，在中，， 即， 由余弦定理，可得 ， ∴（负值舍去）， 由正弦定理可得，即， ∴，解得； （2）如下图，连接， ∵， ∴， 由题意可知，， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； （3）如下图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴，解得， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的周长． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、全等三角形的判定与性质、二次根式运算等知识，正确理解题意，熟练运用余弦定理和正弦定理是解题关键． 重难点八、解直角三角形综合问题 解直角三角形综合问题的核心是利用勾股定理、锐角三角函数（sin、cos、tan）及直角三角形两锐角互余的性质，结合函数或几何图形组合（如与等腰、梯形、圆结合），求解未知边或角，涉及的数学思想方法有数形结合、方程思想、分类讨论等。 37．如图，在正方形中，E为上一点，点O为正方形的中心，连接，将绕点O顺时针旋转得到，连接，且与交于点P． (1)试判断点F是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点G，连接，当时，求的值． 【答案】(1)点F在线段上，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程和相似三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题根据正方形的性质可得，，，再根据旋转的知识证得，得到，然后即可求解； （2）根据全等三角形的性质和正方形性质，证明，然后求得，然后即可求解； （3）延长交的延长线于点，然后根据相似三角形的判定和性质，求得，设，，则，，，得到，然后根据解一元二次方程和三角函数的知识即可求解 【详解】（1）解：点F在线段上，理由如下： 连接，，如图： ∵四边形是正方形，点O是正方形的中心， ∴，，． ∵绕点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即点F在线段上； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，，在中，， 由题可得：， ∴； （3）解：延长交的延长线于点，如图： ， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 由（1）知， 设，，则，，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 即 38．如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了圆的综合知识，涉及了切线的证明，全等三角形的判定与性质、三角函数等知识点，掌握圆的相关结论是解题关键． （1）连接，根据平分，得；根据，得；推出，；即可求证； （2）由题意得，；推出，即可求解； （3）作，证，得；再证，得，即可解答； 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 即， 解得：； ∴半径的长为； （3）证明：作，如图所示： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 39．如图，是⊙O的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于F，连接，，，． (1)求证：，并判断直线与的位置关系． (2)求证： ． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解决问题（2）的关键． （1）利用两个角相等得，得，再根据两边成比例且夹角相等证明；根据圆周角定理得，则，从而有，即可证明结论． （2）通过证明得到，再证明出，根据面积之比等于相似比的平方得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：与相切，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O是中点， ∴， ． 40．如图1，在矩形 中 ，，点M 在线段上，连接．将线段绕点A 逆时针旋转α（）得到线段．线段绕点A 逆时针旋转α得到线段， 连接并延长交于点F，连接． (1)连接， 当时． ①求证：； ②若点M 在线段上，猜想的数量关系为 ；若点M 在线段 上，猜想的数量关系，并证明； ③若，求的面积； (2)如图2，若， 的面积为，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②；；证明见解析；③ (2)5或 【分析】（1）① 根据旋转的性质，等式的性质，边角边全等原理证明即可； ②根据矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质； ③过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G,利用等边三角形的性质，三角函数，解答即可． （2）过点E 作交 于点P,过点N 作交于点R,交 的延长线于点Q,利用三角函数，四点共圆，矩形的性质，分类计算即可． 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段． ∴, ∴， ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段， ∴, ∴, ∴， 在和中 ∴; ②解：点M 在线段上时，； ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段， ∴, ∴是等边三角形， ∴, ∵矩形， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 若点M 在线段 上时，， 证明如下：如解图①,由①可知，, ∴, ∴, ∵线段绕点A 逆时针旋转α得到线段, ∴, ∴为等边三角形， ∴, ∴ ∴, ∴; 故答案为：； ③解：如解图②,过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G, 由②得为等边三角形，, ∵, , , 由四边形是矩形， ∴ ∴, 在中， ∵, ． （2）解：如图，过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G, ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 由四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点A，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得； 如图，过点E 作交 于点P,过点N 作交于点R,交 的延长线于点Q, ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 由四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点A，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得； 综上所述，线段BM 的长为5或． 41．如图1，是的直径，以为边在内作等腰三角形，且，过点D作的垂线，交于C，E两点，连结，，． (1)①求证：； ②若，，，求的长． (2)当时，求的值． (3)如图2，连结，设，，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)①见解析；②8； (2)； (3) 【分析】（1）①可得，，从而； ②根据得出，从而，进而得出结果； （2）连接，根据，得出，可证得，从而得出，即，根据得出，设，，则，，从而得出，进一步得出结果； （3）作于G，连接，可证得，从而，从而得出，根据定义得出，从而得出，从而得出结果． 【详解】（1）①证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：由①知， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 连接， 由①知， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； （3）解：如图2， 作于G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 42．如图，在矩形和中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，与交于点M，与交于点F，连接．设时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在这个时刻，使在的平分线上 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数、勾股定理、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作交于，证明是等腰三角形，得到的三角函数值，当时，，证明是等腰三角形，根据解直角三角形求解； （2）根据化简即可； （3）过点作交于，连接，当点在的平分线上时，，根据求出代数式，再结合（2）中的式子列方程即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于， 由题意知，，， ∴， ∴是等腰三角形，， ，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，； 当时，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴点运动到点就停止运动； 由（1）知，，，，，， ， ∴； （3）解：如图，过点作交于，连接， 当点在的平分线上时，； 由（2）知，，，，，， ∴，， ∴， 而 ， ∴ ， 结合（2）中的结果，有： ， 解得：； ∵， ∴不存在这个时刻，使在的平分线上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $