第4章 一次函数 回顾与思考-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年八年级上册数学授课课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次函数的概念、表示方法、图象性质、表达式确定及应用，通过知识框架将函数定义、一次函数与正比例函数的关系、k和b对图象的影响等核心内容串联，帮助学生构建完整的函数知识体系。 其特色在于以“现实问题情境-数学模型构建-知识应用拓展”为主线，如通过分析行程问题中两人距离与时间的函数图象，培养学生的几何直观和模型意识，设计从概念辨析到实际应用的分层练习，让不同水平学生巩固知识，教师也能精准把握复习重点。

章末复习 第四章 一次函数 回顾与思考 1、请你举出现实生活中有关一次函数的几个例子。 2、举例说明一次函数的几种表示方式。你能通过它的一种表示方式获得其他表示方式吗? 3、正比例函数y=kx的图象、一次函数y=kx+b的图象有什么特征？两者之间有什么联系？ 4、k和b对一次函数的图象有什么影响？你能根据图象设法确定k和b吗？ 5、一元一次方程与一次函数有什么联系?请举例说明。 6、你能应用一次函数解决哪些问题?请举例说明。 7、本章是第一次系统地研究一个具体的函数，梳理本章内容，用适式星现全章知识结构，并与同伴进行交流。 丰富的现实背景 函数 一次函数 函数表达式 图象 函数表达式的确定 图象的应用 复习回顾 概念 表示 方法 一次 函数 函数 如果在一个变化过程中有两个变量x和y ，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称 y是x的函数.其中x是自变量. ①列表法 ②关系式法 ③图象法（列表、描点、连线） 【表达式】 【性质】 【表达式的 确定】 【应用】 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) ; 正比例函数y＝kx (k≠0) 当k＞0时，y随着x的增大而增大 当k＜0时，y随着x的增大而减小 k、b的取值决定 图象所在的象限 正比例函数需一个条件 一次函数需两个条件 与一元一次方程的关系 实际应用 知识梳理 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y ，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数.其中x是自变量. 函数 若两个变量 x,y 间的对应关系可以表示成y =kx+b( k ,b为常数,k≠0)的形式,则称 y是 x的一次函数.特别地,当b=0时,称 y 是 x 的正比例函数. 一次函数 1.已知 y=(m－2) x |m|－1+1是关于x 的一次函数,求m 的值. 解：因为y=(m－2) x |m|－1+1是关于x 的一次函数 所以|m|－1＝1，且m－2≠0，所以m＝－2. 2.甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵明阳跑步从甲地前往乙地,王浩月骑自行车从乙地前往甲地,两人同时出发,王浩月先到达目的地,两人之间的距离 s ( km)与运动时间t(h)的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是( ) A.两人出发0.5 h后相遇 B.赵明阳跑步的速度为6 km/ h C.王浩月到达目的地时两人相距4 km D.王浩月比赵明阳提前0.75 h到达目的地 C 【方法梳理】解决获取图象信息问题的一般方法: (1)理解题意,注意问题中变量之间的数量关系; (2)观察图象,注意图象中的交点﹑转折点及两坐标轴表示的意义等; ( 3)对这些信息进行处理,解决问题. k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象 性质 与y轴交点的位置 经过的象限 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 y的值随着x值的增大而增大 y的值随着x值的增大而减小 第一、二、三象限 第一、三象限 第二、四象限 第一、三、四象限 第二、三、四象限 第一、二、四象限 3.一次函数 y = k x + b 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. k<0 B. b=－1 C. y 的值随着 x 值的增大而减小 D.当 x>2 时, k x+ b<0 B 【方法点拨】(1)一次函数y= k x+ b 的图象和性质是由k , b的符号决定的;同样地, k ,b的符号也可由一次函数y = kx+ b的图象和性质确定. (2)图象在x轴上方的部分对应y>0,图象在x轴下方的部分对应y<0. 确定一次函数的表达式y =kx+b (k ,b为常数,k≠0) , 需要两个独立的条件, 这两个条件通常是 两个点的坐标 或 两对 x , y 的值. 只需求出 k ,b的值即可 4.(1)已知 y是x的一次函数,x与y的部分对应值如下表,则这个一次函数的表达式是( ) A . y=－2x B . y=x＋4 C . y=－x＋2 D . y = 2x－2 C (2)已知点P(1,2)关于x轴的对称点为P',且P'在直线 y =kx+3上,把直线 y =kx+3向上平移2个单位长度,所得直线的表达式为_____________. y =－5x+5 一次函数与一元一次方程 数 形 一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为0时x的值 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解 14 5.如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　 ． x＝﹣2　 解：∵OA＝2， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 【思路分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 6.为让更多的学生学会游泳,少年宫新建了一个游泳池,其容积为480 m3,该游泳池有甲、乙两个进水口,注水时每个进水口各自的注水速度保持不变.某次同时打开甲、乙两个进水口注水,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)根据图象求此次游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式,并求同时打开甲、乙两个进水口的注水速度; 解:(1)设y与t之间的函数关系式为y=kt+b. (0,100), (2,380)分别代入,得100=b,380=2k+b ,所以k=140. 所以y 与t 之间的函数关系式是 y =140t+100. 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是 (380-100)÷2=140 (m3/h). 16 (2)现将游泳池的水全部排空,对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍.则单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时? (2)设甲、乙两个进水口的注水速度分别为v甲 m3/h, v乙 m3/h,单独打开乙进水口注满游泳池所用时间为tl h,则单独打开甲进水口注满游泳池所用时间为tl h. 所以v甲· tl = v乙· tl,所以v乙 =v甲. 因为v甲+v乙= 140，即v甲+v甲= 140，所以v甲=60. 所以单独打开甲进水口注满游泳池需480÷60=8( h). 【方法梳理】利用一次函数的图象解决实际问题时,关键要紧扣图象上关键点的实际意义,利用关键点的坐标解决问题. 17 7.书籍是人类进步的阶梯.为了鼓励全民阅读,某图书馆开展了两种方式的租书业务:一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1 ，l2分别表示使用租书卡和会员卡时租书金额 y(元) 与租书时间 x(天) 之间的关系. (1)直接写出使用租书卡和会员卡时租书金额 y(元) 与租书时间 x(天)之间的函数表达式; 解:(1)使用租书卡时，y=0.3x；使用会员卡时，y=0.2x+20. 【方法梳理】解决一次函数的方案选择问题，可结合图像直接进行比较，也可根据表达式先计算再比较，从而选出最优方案. (2)小红准备租某本名著50天,选择哪种租书方式比较合算?小明准备花费90元租书，选择哪种租书方式比较合算？ (2)由图象可知,当 x = 50<200 时,选用租书卡租书的租金较少,所以小红准备租某本名著50天,选择租书卡租书比较合算. 由图象可知,当 y = 90>60 时,选用会员卡租书的时间较长,所以小明准备花费90元租书,选择会员卡租书比较合算. 1.　填空题： 　　有下列函数：① , ② ,③　 , ④ y=-4x+3 .其中过原点的直线是_____；函数y随x的增大而增大的是___________；函数y随x的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____. ② ①、②、③ ④ ③ 当堂检测 k___0，b___0 k___0，b___0 k___0，b___0 k___0，b___0 2.根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的符号： < > < > > > < < 3.在下列函数中， x是自变量， y是x的函数， 哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ (1)y=2x (2)y=-3x+1 (3)y=x2 (4) 4.某函数具有下列两条性质 （1）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线； （2）y的值随x值的增大而增大. 请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示） . y=3x 解：(1)(2)是一次函数，其中(1)是正比例函数. 5.函数 的图象与x轴交点的坐标为______, 与y轴的交点坐标为______. (-6,0) (0,4) 6.已知函数y=-x+2.当-1<x≤1时,y的取值范围是_______. 1≤y<3 7.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( 　) A 　　　　　 B 　 C 　 　D A 　8.一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（　 　） x y o x y o x y o x y o A B C D A 9.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（　　） A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园 C．小明在距学校12km处追上小亮 D．9：30小明与小亮相距4km D 10.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s（单位：米）随跑步时间x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象. 解:依题意得 { s=2x (0≤x≤5) s=10+6(x-5) (5<x≤10) 10 0 s(米) 5 0 x(秒) ① 40 10 s(米) 10 5 x(秒) ② x(秒） s(米) o · · · · 5 10 10 40 · · · s=2x (0≤x≤5) s=10+6(x-5) (5<x≤10) 11.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示. 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元） x(度） 75 解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x， ∵其经过（50，25），代入得25=50k1， ∴k1=0.5，∴y=0.5x ; 当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b， ∵其经过（50,25）、（100,70）， 得k2=0.9,b=-20,∴y=0.9x-20. ⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式； 28 ⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？ 解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算. 12.自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题． (1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式； (2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同； (3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲 蓄水池，又需多长时间？ (1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式； 解：(1)设它们的函数关系式为y＝kx＋b，根据甲的函数图象可知，当x＝0，y＝2；当x＝3时，y＝0， 将它们代入关系式y＝kx＋b中，得k＝ ，b＝2， 所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为：y＝ x＋2. 同理可得乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为：y＝x＋1； (2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同； (2) 由题意得 x＋2＝x＋1， 解得x＝ . 故当注水 小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同； (3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？ (3) 4÷(3÷3)＝4小时． 所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小时． 回顾本节课的内容，你获得哪些知识？ 课堂小结 $