第1章 勾股定理 回顾与思考-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年八年级上册数学授课课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理的内容、验证方法、逆定理及应用，通过知识框架图将定理表达式、几何语言、赵爽弦图等多种验证方法、逆定理判定条件及实际问题应用串联，帮助学生构建完整的勾股定理知识体系。 其亮点在于采用“问题驱动-多元验证-分层应用”的复习策略，如结合“猴子爬树取水果”实例培养数学建模意识，通过赵爽弦图和加菲尔德梯形法等发展推理能力，当堂检测设计基础到综合题满足分层需求。这种设计既巩固知识又提升核心素养，教师可精准把握学情提高复习效率。

章末复习 第一章 勾股定理 1.直角三角形的边、角之间分别存在着怎样的关系? 2.举例说明如何判断一个三角形是否为直角三角形. 3.请你列举一个生活中的实际问题，并运用勾股定理解决它. 4.你了解勾股定理的历史吗?请查阅资料，并与同伴进行交流. 5.梳理探索勾股定理的方法，你积累了哪些经验? 回顾与思考 勾股 定理 探索勾股定理 拼图验证法 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a，b分别表示直角三角形的两直角边，用c表示斜边，那么a2+b2=c2. 勾股定理的内容 直角三角形的判别条件 勾股定理的应用 判断直角三角形看三边长是否满足a2+b2=c2（c为最大边长） 勾股数：满足a2+b2=c2 在直角三角形中，已知两边长高求第三边长 求立体图形表面上两点间的最短距离 复习回顾 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. A C B b a c 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C = 90°， a2+b2=c2. 知识点1.勾股定理 知识梳理 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 高频考点一 勾股定理及其验证 （1）在△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 3，CD⊥AB 于点 D，则 CD = _______. 解析：由勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52-32 = 16， 所以 AC = 4. 因为 S△ABC = AC·BC = AB·CD， 1 2 1 2 所以 CD = = . 12 5 AC·BC AB 12 5 （2）若有理数 m，n 满足 |m－3| ＋(n－4)2 ＝ 0，且 m，n 恰好是直角三角形的两边长，则该直角三角形的斜边长为___________. 解析：因为 |m－3| ＋(n－4)2 ＝0，所以 m ＝3，n ＝ 4. 分两种情况讨论：①当 m，n 都是直角边长时，易求得直角三角形的斜边长为 5； ②当 n 是斜边长时，斜边长为 4. 5 或 4 （3）在 直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，BC，AC，AB 的长分别为 a，b，c，若 a + b = 14，c = 10，则 △ABC 的面积为________. 解析：由勾股定理，得 a2 ＋b2 ＝ c2 ＝100. 因为 a＋b ＝ 14，所以 (a＋b)2 ＝ 196， 即 a2＋b2 ＋2ab ＝196，所以 100＋2ab ＝196， 所以 ab ＝48，所以 S△ABC = ab = ×48 = 24 . 24 知识点2.勾股定理的证明 赵爽弦图 S大正方形=c2 =(b-a)2+4× ab 化简结果，得c2=a2+b2. 数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想 毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法 重新组合 S左=a2+b2+4× ab S右=c2+4× ab 因为S左=S右 所以a2+b2=c2 加菲尔德：梯形面积法 题设：Rt△ABC≌Rt△CDE 易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形 S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2 化简得：a2+b2=c2 达芬奇证明方法： 如何判定一个三角形是直角三角形呢？ 1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形. 2.两个内角互余的三角形是直角三角形. A C B b a c 勾股定理的逆定理 几何语言： 因为a2+b2=c2， 所以△ABC是直角三角形. 想一想 3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 高频考点二 勾股定理的逆定理及其应用 如图，A，B，C，D 四点都在由边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上. （1）你能判断 AD 与 CD 的位置关系吗？请说明理由. （2）AD 与 BC 平行吗？请说明理由. 解：如图，连接 AC，BD. 根据网格可知： AD2 = 22 + 12 = 5，CD2 = 42 + 22 =20， AC2 = 52 = 25，BC2 = 32 + 22 = 13， BD2 = 22 + 52 =29. （1）AD⊥CD. 理由如下： 因为 AD2 + CD2 = 5 + 20 = 25 = AC2， 所以△ACD 是直角三角形，∠ADC = 90°，所以 AD⊥CD. （1）你能判断 AD 与 CD 的位置关系吗？请说明理由. （2）AD 与 BC 平行吗？请说明理由. （2）AD 与 BC 不平行. 理由如下： 因为 CD2 + BC2 = 20 + 13 = 33 ≠ BD2， 所以∠BCD ≠ 90°. 由（1）知∠ADC = 90°， 所以∠ADC + ∠BCD ≠ 180°， 所以 AD 与 BC 不平行. 知识3.勾股定理的应用 实际问题 转化 建模 数学问题 高频考点三 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10 m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处往上爬到树顶 A 处，又沿滑绳 AC 到达 C 处，另一只猴子从 D 处下滑到 B 处，再由 B 处跑到 C 处.已知两只猴子所经过的路程都为 15 m，求树高 AB. 解：设 AD = x m，则 AC = (15-x) m， AB = (x+10) m，BC = 15-BD = 5 m. 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2 + BC2 = AC2， 即 (x+10)2 + 52 = (15-x)2， 解得 x = 2，所以 AB = 12 m. 答：树高 AB 为 12 m. 如图是一底面周长为 24 m，高为 6 m 的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面 1 m 的 A 处沿侧面爬行到对角 B 处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程. 高频考点四 利用勾股定理解决立体图形中的问题 【分析】画出圆柱的部分展开图，将所求问题转化为平面内的距离问题求解即可. 解：如图，将圆柱侧面沿 AC 和 BD 剪开， 将曲面平铺在平面上，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，连接 AB. 因为油罐的底面周长为 24 m，高为 6 m， 所以 AE ＝×24＝12 (m)，BE＝6－1＝5 (m). 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得 AB2 ＝AE2＋BE2 ＝122 ＋52 ＝169， 所以 AB ＝ 13 m. 所以老鼠爬行的最短路程为 13 m. 高频考点五 “勾股树” 中的面积问题 如图是一株美丽的“勾股树”，其作法为：从正方形 ① 开始，以它的一边为斜边， 向外作等腰直角三角形，然后再以等腰直角三角形的直角边为边，分别向外作两个正方形，记其中一个为 ②. 依此类推，若正方形 ① 的面积为 16，则正方形 ③ 的面积为________. 4 解析: 正方形 ① 的面积为 16，由三角形为等腰直角三角形及勾股定理，可得正方形 ② 的面积是正方形 ① 面积的一半，即为 8. 同理可得正方形 ③ 的面积为 4. 1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　） A.25 B.14 C.7 D.7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A.a=1.5，b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 D A 当堂检测 （1）8，15，17； （2）7，12，15； （3）12，15，20； （4）7，24，25. 能 不能 不能 能 82 + 152 = 172 72 + 122 ≠ 152 122 + 152 ≠ 202 72 + 242 = 252 3. 判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长. 4．如果直角三角形的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1）， 那么它的斜边长是（　　） A.2n B.n+1 C.n2－1 D.n2+1 5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm，c=10cm，则直角三角形ABC的面积是（　　） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 D A 6.在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________. 7.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的 高为__________. 13 20 8. B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile）． 因为162+302=1156，342=1156, 所以BM2+BP2=MP2, 所以△MBP为直角三角形，所以∠MBP=90° , 所以乙船是沿着南偏东300 方向航行的． 回顾本节课的内容，你获得哪些知识？ 课堂小结 $