1.3 勾股定理的应用-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年八年级上册数学授课课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理及逆定理的应用，通过装修工人检测瓷砖垂直问题导入，先用量卷尺验证直角（勾股定理逆定理），再用短刻度尺构造小直角三角形（9,12,15），搭建从直接应用到构造模型的学习支架，衔接实际问题与数学转化。 其亮点是以台风断树、梯子滑动等实际情境和《九章算术》芦苇问题为载体，突出建模与转化思想，培养数学眼光（抽象实际问题为直角三角形）、数学思维（推理与运算）。课堂小结结构化解题步骤，学生能发展应用意识，教师可借丰富实例提升教学效率。

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 情境引入 学习目标 1.应用“勾股定理”解决实际问题。体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径”的问题。树立转化思想。 2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。 3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? 导入新课 解:连接对角线BD，只要分别量出AD、AB、BD的长度即可. AD2+AB2=BD2 △ABD为直角三角形 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗? 解:AD2+AB2=302+402=502=BD2， 由勾股定理的逆定理，得∠DAB=90° 所以AD边垂直于AB边. A B C D A B C D （3）如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于AB边吗？ 解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN的长度是否是15，若是，则AD边垂直于AB边；若不是，则不垂直. M N 尝试·思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落在点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？ 解：设DF的长为xcm.由折叠可知CF=EF， 因为CD=8cm， 所以CF=EF=（8-x）cm. 因为AD=8cm,点E为边AD的中点， 所以DE=4cm. 在Rt△DEF中,由勾股定理得： DE2+DF2=EF2 ，即 42+x2=（8-x）2 ， 解得 x=3. 所以DF的长为3cm. 例：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意:如图1-18，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解：设水池的水深OA为 x 尺， 则这根芦苇长OB=OC=（x+1）尺， 在Rt△ABC中，AC=5尺 由勾股定理得，AC2+OA2=OC2 即 52+ x2= (x+1)2 解得 x=12 12+1=13. 答：水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 练习：在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 所以这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 【方法点拨】此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题． 1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm B 当堂检测 13 2. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么? 2m 1m A B D C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过. 分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过. A B D C O 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， 所以OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m. 3. 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 4. 如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离． 解：如图，过点B作BE∥AD. 所以∠DAB＝∠ABE＝53°. 因为37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， 所以∠CBA＝90°， 所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002， 所以AC＝500m， 即A、C两点间的距离为500m. E 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 解决 课堂小结 $