1.1.2 验证勾股定理-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年八年级上册数学授课课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理的验证与简单应用，通过回顾上节课勾股定理内容，以“如何验证勾股定理”设问导入，搭建“旧知回顾-问题驱动-方法探究”的学习支架，衔接探索与验证环节。 其亮点在于融合毕达哥拉斯证法、赵爽弦图、美国总统证明法等多种验证方式，结合军事演习测距、村庄出口选址等生活实例，以数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）为核心，通过例题变式与当堂检测强化应用。帮助学生发展推理能力与应用意识，教师可借助结构化内容提升教学效率。

1.1 探索勾股定理 第2课时 验证勾股定理 第一章 勾股定理 1.学会用几种方法验证勾股定理．（重点） 2.能够运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点） 学习目标 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢 ？ 导入新课 3 b 思考·交流 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图1-5、图1-6。 （1）将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的式子表示出来。 （2）图1-5，图1-6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？ （3）你能分别利用图1-5，图1-6验证勾股定理吗？ a a a a b b b b c c c c c a b c a b c a b c 图1-5 图1-6 a a a a b b b b c c c c 【方法点拨】我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 验证方法一：毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4• ab 因为 (a+b)2 = c2 + 4×ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab 所以 a2+b2=c2 5 c a b c a b b c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . 因为 c2= 4• ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 所以 a2+b2=c2 c2 4• ab+(b-a)2 验证方法二：赵爽弦图法 b c a b c a A B C D 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 化简,得 验证方法三：美国总统证明法 例1.在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 公路 B C A 400m 500m 解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以BC=300. 蓝方汽车10s行驶了300m,那么它1s行驶的 距离为300÷10=30m 即蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s。 8 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？观察下图（方格纸中每个小方格的边长均为1）,说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 思考·交流 1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C处测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ ） A B C A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 130 120 ? A 练一练 A B C 2.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC有多长? 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2， AC2=902+1202， AC=150(cm). 答:太阳能真空管AC长150 cm. 例2.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和． 解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， 所以AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km. 变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处? D A E B C 15 10 25-x x 1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ．(写出一组即可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可.答案：3，4，5（满足题意的均可） 2.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_________. 200m2 当堂检测 15 3.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高? 12 m 9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m， 根据勾股定理得 解得x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m. 16 4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，所以AC=5m， 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2－AC2，所以CD=12m， S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD= AB•BC+ AC•DC = (3×4+5×12)=36 m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. D A B C E F 解：在Rt△ABF中,由勾股定理, 得 BF2=AF2－AB2=102－82， 所以BF=6(cm). 所以CF=BC－BF=4. 设EC=x ，则EF=DE=8－x ， 在Rt△ECF中,根据勾股定理, 得 x2+ 42=(8－x)2，解得 x=3. 所以EC的长为3 cm. 6.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别为1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？请说明理由． 解：能放进储藏室，理由如下： 设四边形ABCD是矩形， 则AB∥CD，AB＝CD＝1.2m，OA＝1.2m， 作OE⊥AB交AB于点E，则OE平分AB，连接OA， 所以AE＝0.6， 所以OE2＝OA2﹣AE2＝1.22﹣0.62＝1.08， 因为0.82＝0.64，1.08＞0.64， 所以长，宽，高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室． 探索勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 课堂小结 a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 知识链接 a b c A B C D E F O 达·芬奇对勾股定理的证明 Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得 欧几里得证明勾股定理 $