黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2026-2027学年高三上学期8月26日数学作业

2026年08月23日数学作业 一、单选题 1.若曲线f(x)=e+cosx+m在点1，f(1)处的切线方程为nx-y+3=0,则m=（) A.2 B.e C.π D.4 2.已知函数f(x)=x-2x+1,则y=f(x)-x在(-1,2)上零点的个数为（) A.0 B.1 C.2 D.3 3.若函数f(x)=xx-a)2在x=1处取得极小值，则a的值为（) A.1 B.3 C.1或3 . 4.若cosa-2sinB=√2，sina+2cosB=-1,则sin(a-f)=() A.日 C.7 5.若函数网=×nx+1在其定义域内的一个子集日-a+)内存在极值，则实数0的 取值范围为() A.(别 B别 c.（ 6.设函数f(x) e+e,则不等式f2x-f(x+3)≤0的解集为（） 2 A.[-3,1] B.[-1,3] C.(-0,-3]U[1,+00)D.(-0,-1]U[3,+00) 7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(×),f(0)=1,且对任意的x满足 f'(x)<f(x),则不等式f(x)>e的解集是（) A.(-00,1) B.(-00,0) C.(0,+o) D.(1,+0o) 8.已知n(（侣小片，且0<x号，则sn后*o号+的值为() A.22 B.4W2 c. D. 试卷第1页，共3页 二、多选题 9.已知函数f(灯-=号8--2x+1,则函数1（内（） 2 A.单调减区间为(-2,1) B.在区间-3,3]上的最小值为-13 C.图象关于点 中心对称 D.极小值点是x=2 10.已知函数f(为=sin(2x+0<p<对的图象与函数9灯=sn2x月 的图象关于直线 x=对称，则（） 6 A.g月 B。9的图象关于点合0对称 C.将f(X)的图象向右平移”个单位长度后所得函数图象与9(X的图象重合 D.若g(x)的图象向左平移(B>0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则B的最 小值为号 11.函数f(x)=Asin(Wx+p) xo< 的图象如图所示，则下列说法正确的是() 9n 8 A.-月 B.函数f(x)的最小正周期为π C.f(X)取得最小值时，X=m-亚(k∈z) D.f(x)在区间 ππ 。12'4 上单调递增 试卷第1页，共3页 三、填空题 12.在△ABC中，sinA-cosA=1 ,则tanA= 13 13.设oe0》,90引，且am0-1n ,则2a-B= cosB 14.设a=b=e5,c=ln5-21n2,则a,b,c的大小关系是一( 用“<”连接) 四、解答题 15.已知函数f(×=sin2x+-sin xcos x-1 ,x∈R. (I)求f(x)在[0，π]的单调递减区间 2若f0-,a,3） 8’8 求sin2a的值. 6 16.已知函数f(x灯=V5 Bsinwx+2sin2+1(w>0),X,x是f(x的两个零点，且X-x,的 最小值是π. (1)求w的值； (2)求f(x)在 上的值域； 3)若对任意的×？， 不等式a[f(x)]了-f(x)+5a≥0恒成立，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 17.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 tan A+tan B+tan C=3 tan Atan B (1)求证：c=; 3 (2)求tan Atan B的最小值， 18.已知函数f(x=ax-(2a+1)1nx-2,其中a∈R.当a>0时，求函数f(×的单调区间。 X 19.已知函数f(x)=ae-(x+1). (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页《2026年08月23日数学作业》参考答案 题号 1 2 3 A 5 6 7 8 10 答案 D y D B B B BCD ABD 题号 11 答案 BCD 1.D 【详解】f(x)=e*+cosx+m,.f'(x)=e-πsinx; ∴.f'(1)=e,f(1)=e-1+m,则切点(1，e-1+m), .曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+e-1+m=ex-1+m,即 ex-y-1+m=0; ∴.-1+m=3,解得m=4. 2.C 【分析】令g(x)=f(x)-x，求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值和零点存在性定理 可得答案。 【详解】令g(x)=f(-x=x-3x+1,x∈(-1,2)，g'(x)=3x2-3, 令g(x)>0得x∈(1,2)，令g'(x)<0得x∈(-1,1)， 故g(x)在(-1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增， 其中g(-1)=-1+3+1=3>0,91)=1-3+1=-1<0,g(2)=8-6+1=3>0. .g(-1)g(1)<0,9(1)g(2)<0. ∴g(x)在(-1,1)内有一个零点，在(1,2)内有一个零点. .9(x)在(-1,2)内有两个零点. 3.A 【分析】根据题意求出函数f(x)的导函数f'(x),结合函数f(x)在x=1处取得极小值可得 f'(1)=0,进而得到a的值；最后将a的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即 可判断. 【详解】依题意f(x)=x(x2-2ax+a2)=x2-2ax2+a2×, 所以f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a), 所以f'(1)=(3-a)(1-a)=0,解得a=1,或a=3, 当a=1时，f'(x)=(3x-1)(x-1), 由>0户x行，或x1,所以1在 -00,1 (1,+0o)上单调递增； 由<0=<x<1,所以f( 1 上单调递减； 所以f(x)在x=1处取得极小值，符合题意； 当a=3时，f'(x)=3(x-1)(x-3), 由f'(x)>0三x<1,或x>3,所以f(x)在(-0,1)，(3，+o)上单调递增； 由f'(x)<0→1<x<3,所以f(x)在(1,3)上单调递减； 所以f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意； 综上，日的值为1. 4.D 【分析】对两个等式两边同时平方相加，再结合同角的三角函数关系式中的平方和公式、逆 用两角差的正弦公式求解即可。 【详解】因为cosa-2sinB=√2→cos2a-4 cos asin B+4sin2B=2①， sina+2cosB=-1→sin2a+4 sin acosB+4cos2B=1②， ①+②得：1+4 sin acosB-4 cos asin B+4=3, 化简得：5+4sin(a-f=3→4sin(a-B)=-2, 解得：sn(0-介=日 5.D 【分析】利用导数法求得极值点，再根据函数在(a-1,a+1)内存在极值建立关于a的不等式 求解即可. 【详解】f(=×-nx+1的定义域为0，+回，f'x=2x-1=2x+1)2x-1 2 2x 2x 令f'(X=0,可得：x=或x=-(舍)， 2 由f(x)在其定义域内的一个子集(a-1,a+1)内存在极值， a-1≥0 可得 a-1< 2,解得1≤a<3 1 日+1s 2 3 所以实数a的取值范围为 6.B 【分析】根据偶函数定义证明f(x)为偶函数，利用导数判断函数f(x)的单调性，结合函数 性质化简不等式f(2x)-f(x+3)≤0求其解集即可. 【详解】函数f(X=+e”的定义域为R,定义域关于原点对称， 2 且f(-x=e+e 2 =f(x), 所以f(x)为偶函数. 由于f'xe, 2 当x>0时，e*>e*,则f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增； 当x<0时，e*<ex,则f'(x)<0,所以f(x)在(-o,0)上单调递减； 由于f(2x)-f(x+3)≤0，即f(2x)≤f(x+3), 所以2≤x+3到，即(2x)2≤(x+3)2,解不等式得-1≤x≤3， 所以不等式f(2x)-f(x+3)≤0的解集为[-1,3]. 故选：B· 7.B 【分析1根据求解不等式可构造函数9（网=，求导得单调性，把求解不等式变形为 >1,即g(x)>g0),利用单调性比大小即可.。 ex 【详21金x=,则gx)=e=二（义<0， 所以g(x)在R上单调递减，因为f(0)=1,所以g(0)=1, 不等式f(x>e可变形为八凶>1，即g(x>90),可得x<0, 故选：B. 8.B 详由行海8号行又则o好-为--2华 63 3 所以5n(管+划o停+对=nr经--o胥-划=2唱为=5 6 3 3 9.BCD 【分析】根据导数与单调性、极值点与最值的关系判断ABD,根据对称中心的性质判断C. 【详解】f'(x)=x2-x-2=(×-2)(x+1). 令f'(x)=0,即(x-2)(x+1)=0,解得x=-1或x=2. 当x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当-1<x<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>2时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 对于A,f(x)的单调减区间为(-1,2)，A错误. 对于B,f(x)在[-3，-1)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，在(2,31上单调递增 则极大恒为f)×1广-2-+1=号 3 6 极小值为f12=子×2×2-2×2+1=子， 3 2 又f-3)=x-32-×-3)2-2×3)+1=1 f13=×gg2-2×31= 2 故（在区间33上的最小值为号，B正确 对于C,设f(x)图象关于(a,b)中心对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b. fat刘+0=刘=写0*-e*2o*1+5a=x--2-2a到1 -+ax43ar+×+g-3ax+3ax-]g+2x+t-28x+]小-2a+网+。]2 d+3-g+d-4如+2=2a父+后e-g-4g+2月 3 [2a-1=0 解得 2 所以2-a2-4a+2=2b 6= 12 故f(x图象关于点212 11 中心对称，C正确. 对于D,极小值点是x=2,D正确. 10.ABD 【详解】对于A,因为函数f(X)的图象与函数g(x)的图象关于直线x=亚对称， 所以对于x都有sn2x+=sn2行急， 即sin(2x+p)=sin(匹-2X=cos2x恒成立， 2 所以0=受+2keZ,因为0<<，所以0-行，A正确； 对于B,9侣】n0=0,所以9内的圈象关于点侣0对称，B正确， 对于C,由A选项可知f=sn2x+, 格其图象向右平移号个单位长度后所得通数为y=92x一号》n(2x君》， 与g(x)的图象不重合，C错误； 对于D,将9(×的图象向左平移9个单位长度后所得函数为y=sn2x+20-】 因为y=sin2x+2日-关于y轴对称，所以20-亚=亚+km,keZ, 6 62 解得8=亚+，kez,因为日>0， 32 所以当k=0时，9的最小值为子 11.BCD 【分析】利用图象求出函数f(x)的最小正周期、解析式，可判断AB选项；利用正弦型函 数的最值可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于AB选项，由图象可知A=√2， 设函数的最小正周期为7，则7晋-晋-誓，则7，所以=仁-2， 所以f(x)=V2sin(2x+p), 又因为（得-5n号+e5n+小-，所以sng+-1, 因为子至，所以好+要誓，则0受故。=牙，A错B对 π A 对于C适顶，由A如选项可知1=n2x-男引， 当2x=2m受kez)时，即当x=m日kez)时，函数（灯取最小值万，C对： 对于D选项，当音x号时，段2x牙牙 44 因为爱引引，故通数0在区问晋引 L12'4 上单调递增，D对. 12.-5/-12 1275 【分析】易知角A是钝角，联立 /sin4-cosA=1☑ 13可解得sinA和cosA的值，最后根据 sin2A+cos2A=1 anA=sinA计算即可得解. cos A 17 17 【详解】已知sinA-cosA= 13 将等式两边平方，得到(sinA-cosA 13 化简得1-2 sinAcosA= 289 60 解得sinAcosA= 169 169 在△ABC中，A∈(0，π)，.sinA>0,又sinA-cosA= 17 sinA>cosA. :sico5A=60<0,cOsA<0,则角A是钝角， 169 16969sinA+cosA= (sinA+cosA)=1+2sinAcosA=1+2x-60=49 13 当sinA十co5A=乙时，联立sinA-co5A= 13 13 3,则an4-nA12 ，cosA=5 解得sinA=12 cos A5 当sinA+co5A=-乙时，联立sinA-cosA= 17 13 13 解得nA=号，coA=片.则and=音 12 综上所述，anA=-5或-12 12 5 13. T-2 【详解】将tana= nC代入已知等式得ng-1+sin2 交叉相乘并移项整理 cos cos a cOS sin acos B-cos asin B=cos a, 即sna-A=cas0.由诱号公式可得sna-月=sn(经a 已知6，引，因此a(引，月a(o引 由于正孩函数在区间习上单调递增，若两个角的正弦值相等，则两角相等， 即a-B= -Q，移项得2a-B= 2 2 14.c<a<b 【分析】构造函数f(x)=e*-x,利用导数研究单调性比较a,b,构造函数g(x)=In(x+1)-×, 利用导数研究单调性比较c,a,进而得到答案. 【详解】令函数f(x)=e-x,则f'(x)=e-1, 当x>0时，e*>1, ∴.f'(x)>0在(0，+0)恒成立，所以函数f(x)在(0，+o)上单调递增， 所以 f10=1>0,即e>0,所以6=6>=9. 4 令函数g(为=In(x+1)-x,则g(x灯=1 1, 当x>0时，0<1 <1, +1 ∴.g(x)<0在(0，+0)恒成立，所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以8g0,=0,即n及<0， 44 所t以c=1n5-21n2=1n三<1=a, 44 综上，c<a<b, 15.(88] 3π7π (2)5+4 6 【分析】(1)利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的性质即可求解； 2)由(o)=怎得n个2：马引片，进而得co20身引，再利用三角恒等变换即可求 解。 样解】()由题意得：f为=sin2x+sin xcosx上=-cos2+sin2x 22 n) 2 由经+2ms2x+2m,大ez,解得+msx匹+m,k2, 42 8 又x∈0，π]，所以f(x)的单调递减区间为 又（晋，所以e(引， 所以a2anre习29。 所以n2a=n20+》n个e月》o经+o2a-升n月 =1×正+25x互-5+4」 32 3 26 16.(1)w=2 (2)1,4] 「5 (3)0+w 【分析】(1)化简函数为f(x)=2 sin wx- +2,结合题意，得到f(x)的最小正周期为π， 结合最小正周期的公式，即可求解； )由，得到2x[ 结合正弦函数的性质，即可求解； (3)设t=f,得到te4,程据题意，转化为不等式a5在4上恒成立，结 合基本不等式，即可求解， π 【详解】(1)由f(x=V5 Bsinwx+2sin2+1=V5 3sinwx-cOSWX+2=2 2sinwx- +2, 6 因为x,x是f(x)的两个零点，且X-x的最小值是π， 即X,%是2nax8》+2=0的两个根，即sn(@x-君-1的两个根， 可得函数f(x)的最小正周期为T=π， 又因为w>0,可得最小正周期7=2严=π，解得w=2. 2)由0知w=2n22, 因为引，可得2x[ 当2x亚=压，即x=2时，f(x)取得最小值，f(×n=f =1; 66 当2x-”=π 6, 即x=时，f(x)取得最大值，f(Xmx=f 3 所以在县 上的值域为1,4]， 3)因为e匠， 设t=f(x),x∈ 由（2）)可知t∈1,41， 不等式a[f(x)]-f(x)+5a≥0在 上恒成立， 即不等式at2-t+5a≥0在1,4]上恒成立， 在，4上恒成立，即()， 即不等式a之+5 t 1 15 因为+5 t+52510,当且仅当t=5时，等号成立. t 「 所以日的取值范围是 ,00 10 17.(I)证明：由A+B+c=π，所以tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC, 展开得anA+anB =-tan C 1-tan Atan B tan A+tan B+tan C tan Atan B tan C, 代入条件tanA+tanB+tanC=√3 tan Atan B得 3 tan Atan B=tan Atan B tan C, 锐角三角形中nng>0,故anC=5,C=行， (2)3 【分析】(I)利用A+B+c=π，所以tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,证明恒等式 tanA+tanB+tanC=tan Atan B tan C,再代入条件即可证明； (2)利用(1)可知tanC=√3，化简tanA+anB+anc=√5 tan Atan B,从而得到 tanA+tanB=V3(tan Atan B-1),再利用基本不等式求出tan Atan B的最小值. 【详解】(1)略 (2)由(1)得tanC=V3,又tanA+tanB+tanc=V5 tan Atan B 所以，tanA+tanB+V5=V3 tan Atan B,tanA+tanB=V(tan A tan B-1) 基本不等式tanA+tanB≥2 tan Atan B,V3(tan Atan B-1)≥2 tan Atan B, 令t=tan Atan B>0,则V3(t-1)≥2t即V5t2-2t-V5≥0 (t-5)(3t+1)≥0（注意：因为t>0,所以V5t+1>0,故t≥V5), 故tan Atan≥3，当且仅当A=B=于（等边三角形）时取等号， 故tan Atan B的最小值为3. 18.当0<a<2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,2)， 任，单调递减区间为2 当a=二时，函数f(x的单调递增区间为(0，+oo), 无单调递减区间； 2 当。时，数f的单调递区间为》，2，单调速减区间为[行 【分析】求导，分0<<1， ,>三种情况讨论求解即可。 2 【详解】由f(x)=ax-(2a+1)lnx-二，x>0,a>0,定义域是(0，+o), 则fX=a-2a+1+2=ax-(2a+1)x+2-(ax-1)(x-2 x? + 当0<a<2时，>2， 令f'x>0,得0<x<2或x>1,令f'(x<0,得2<x< 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)， （仁+，单调递减区间为2，： 当a=时，}=2，此时x≥0， 则函数f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间； 当a>时，1<2， 令f'(x>0,得0<x<1或x>2,令f'(x)<0,得二<x<2, 1 所以函数f(x)的单调递增区间为0，二， 2+,单调递减区间为仁2 综上所述，当0<a<时，函数（的单调递增区间为0,2），（仁+， 单调递减区间为 当a=时，函数1的单调递增区间为(0+o,无单调递减区间： 当>时，画数的单调递猫区间为》，2四，单调莲减区间为仔2 19.(1)单减区间为(-0,0)；单增区间为(0，+o) (2)(0,1) 【分析】(1)当a=1时，利用导数与函数单调性的关系可求出函数f(x)的增区间和减区间； (2)由1=0得a-士，问题转化为直线y=a与9幻出的图象有2个交点，利 用导数分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=e-x-1,f'(x)=e-1, 由f'(x)<0得x<0,由f'(x)>0得x>0, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-o,0),单调递增区间为(0，+∞). (2)令f(x)=ae*-(x+1)=0得a=+1 e*, 令g=出，其中xER, 则函数1（有且仅有2个零点等价于函数y日与9(-中的图象有2个交点， g(=。产，由g>0得x<0,由g(<0得x>0, 所以函数9(x)的增区间为(-0,0)，减区间为(0，+∞)， 所以函数9(x)的极大值为9(0)=1， y=g(x) 二d 当x→00时，9(x)→-∞，当x→+0时，9(x)→0且g(x)>0, 所以a的取值范围是(0,1).