13.2 勾股定理的应用 讲义 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，承接勾股定理及逆定理的学习，通过求高度或距离、最短路径等六个题型，搭建从理论到实际问题解决的学习支架，涵盖几何直观与多样化应用场景。 资料特色在于融合《九章算术》古代问题与现代生活情境，以典例带变式，培养数学眼光（抽象现实问题为直角三角形模型）、数学思维（推理与运算能力），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过举一反三巩固知识，查漏补缺。

华师大版（2024）八年级上册 13.2 勾股定理的应用 题型专练 【题型1】求高度或距离 【典例】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（    ） A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 【举一反三1】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（ ） A.21 m B.24 m C.25 m D.35 m 【举一反三2】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为      （滑轮上方的部分忽略不计）． 【举一反三3】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长， (2)求门槛的长． 【举一反三4】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． (1)求旗杆的高度； (2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，且小迪与旗杆的水平距离相等，即．求小迪需要后退的距离的长度(结果保留根号)． 【题型2】水杯中的筷子问题 【典例】有一个长方体的铁盒，长、宽、高分别是，则这个铁盒中能放入的木棒最长为（    ）．（铁盒的厚度忽略不计）    A.7 B.8 C. D. 【举一反三1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（    ） A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 【举一反三2】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是                    ．    【举一反三3】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是      ． 【举一反三4】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ 【举一反三5】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【题型3】最短路径问题 【典例】如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A.18 B.20 C.22 D.24 【举一反三1】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（    ）    A. B.10 C. D. 【举一反三2】如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为     ． 【举一反三3】(1)如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【题型4】网格问题 【典例】如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A.6 B.8 C.10 D.12 【举一反三1】第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　）    A. B. C. D.5 【举一反三2】如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则      ． 【举一反三3】如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上 (1)四边形的周长为________； (2)求证：是直角． 【题型5】利用逆定理解决面积问题 【典例】如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为      ． 【举一反三1】如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为           ． 【举一反三2】如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【举一反三3】如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积． 【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（    ） A.东偏南 B.北偏西 C.东偏南或西偏北 D.无法确定 【举一反三1】有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金      元．    【举一反三3】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积． 华师大版（2024）八年级上册 13.2 勾股定理的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】求高度或距离 【典例】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（    ） A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 【答案】A 【解析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得： ， 解得： 所以，竹子折断处离地有尺． 故选：A． 【举一反三1】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（ ） A.21 m B.24 m C.25 m D.35 m 【答案】C 【解析】由两点之间线段最短可知，连接AC，如下图所示： 在Rt△ABC中，由勾股定理有：， 故选：C． 【举一反三2】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为      （滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【解析】设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 【举一反三3】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长， (2)求门槛的长． 【答案】解　(1)∵O是的中点， ∴， ∵， ∴； (2)设，则． ∵， 尺寸， ∴， 解得：， ∴． 【举一反三4】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． (1)求旗杆的高度； (2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，且小迪与旗杆的水平距离相等，即．求小迪需要后退的距离的长度(结果保留根号)． 【答案】解　(1)设旗杆的高度为米，则绳子的长为米， 由勾股定理，得：， 解得：； 即：旗杆的高度为米； (2)由(1)可知，绳子的长度为米， 由题意，得：米，米， ∴由勾股定理，得：米， ∴米， ∴（米）； 答：小迪需要后退的距离的长度为米． 【题型2】水杯中的筷子问题 【典例】有一个长方体的铁盒，长、宽、高分别是，则这个铁盒中能放入的木棒最长为（    ）．（铁盒的厚度忽略不计）    A.7 B.8 C. D. 【答案】C 【解析】连接，    ∵长方体的铁盒，长、宽、高分别是， ∴， ∴， ∴， ∴这个铁盒中能放入的木棒最长为， 故选：C． 【举一反三1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（    ） A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 【答案】C 【解析】设水池的深度为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：，即：水池的深度为12尺． 故选：C． 【举一反三2】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是                    ．    【答案】 【解析】作于，则，根据勾股定理，即可求解． 如图所示，    依题意，， 在中，， 即， 故答案为：． 【举一反三3】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是      ． 【答案】5 【解析】由图形可知，牙刷在水杯内的长度为， 牙刷的长为， ， 即牙刷露在杯子外面的长度是， 故答案为：5． 【举一反三4】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ 【答案】解　设竹竿长为x 尺，由题意，得： 解得， 答：竹竿长10尺． 【举一反三5】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【答案】解　设水池的深度为尺， 由题意得： 解得：， 则， 答：芦苇长13尺． 【题型3】最短路径问题 【典例】如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】C 【解析】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，（米）． 即滑行的最短距离为22米． 故选：C． 【举一反三1】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（    ）    A. B.10 C. D. 【答案】B 【解析】如图(1)所示： ； 如图(2)所示： ． 由于， 所以最短路径为10． 故选：． 【举一反三2】如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为     ． 【答案】 【解析】如图， 根据题意，， ， ∵点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故选：． 【举一反三3】(1)如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【答案】解　(1)如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； (2)如图， ∵盒高，盒底周长为， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是 ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 【题型4】网格问题 【典例】如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】∵与是直角三角形，， ， ． 故选：D． 【举一反三1】第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　）    A. B. C. D.5 【答案】D 【解析】如图所示，    黑、白两棋子在两直角边分别为的直角三角形中， 故距离为： 故选：D． 【举一反三2】如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则      ． 【答案】 【解析】如图，过点作，连接， 由勾股定理得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上 (1)四边形的周长为________； (2)求证：是直角． 【答案】解　(1)，，， ∴四边形的周长为； (2)连接， ∵，，     ∴ ∴是直角． 【题型5】利用逆定理解决面积问题 【典例】如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为      ． 【答案】 【解析】，，， ， ∴， 是直角三角形，， 阴影 ． 故答案为：． 【举一反三1】如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为           ． 【答案】 【解析】连接，过点D作于点F， 由题意，知，，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【举一反三2】如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【答案】解　连接，如图所示： ，，， ． ， ∴， 是直角三角形，， ． 【举一反三3】如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积． 【答案】解　∵ ∴， 为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（    ） A.东偏南 B.北偏西 C.东偏南或西偏北 D.无法确定 【答案】C 【解析】根据题意画出图形，然后在直角三角形中利用勾股定理逆定理解答． 根据题意，海里，海里， 又因为海里，， 所以， 根据勾股定理逆定理， 为直角三角形． 同理，为直角三角形． 所以， 又因为， 所以， ， 根据对顶角相等，， 则乙船的航向为东偏南或西偏北． 故选：C． 【举一反三1】有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 连接，如图， ∵， ， ∵米，米， ∴米， ∵米，米， ， ∴为直角三角形， ∴这块草坪的面积． 故选：B． 【举一反三2】如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金      元．    【答案】11700 【解析】连接，    、米，米， （米）， 米，米， ， 是直角三角形， 四边形的面积为： （平方米）， 则（元）， 即铺这块空地需要投入11700元， 故答案为：11700． 【举一反三3】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积． 【答案】解　∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $